1. Στη νευτωνική Μηχανική η έννοια ‘’δύναμη’’ εισάγεται ως αιτία μεταβολής της κινητικής κατάστασης. Προκειμένου για υλικό σημείο η μεταβολή της κινητικής κατάστασης περιγράφεται με την έννοια ‘’επιτάχυνση’’ και η σχέση ανάμεσα στην «αιτία» (δύναμη) και στο «αποτέλεσμα» επιτάχυνση εκφράζεται με τον θεμελιώδη νόμο της Μηχανικής μέσα από την εξίσωση F= ma.

Στον θεμελιώδη αυτό νόμο έναν ιδιαίτερο ρόλο παίζει η - συμβολιζόμενη με m- μάζα (αδράνειας). Αποτελεί μέτρο της αδράνειας («δυσφορίας», αντίστασης) την οποία εκδηλώνει το σώμα κατά τη μεταβολή της κινητικής του κατάστασης. Αυτά όμως ισχύουν για υλικό σημείο σε οποιαδήποτε κίνηση.

α. Τι συμβαίνει για ένα στερεό σώμα σε μεταφορική κίνηση;

β. Τι συμβαίνει για ένα στερεό σώμα σε στροφική κίνηση;

2. Σε τι αναφέρεται η έννοια ροπή αδράνειας; Ποια είναι η μονάδα μέτρησης ; Από τι εξαρτάται η τιμή της; Τι εκφράζει;

3. Θεωρούμε ένα συγκεκριμένο στερεό και 100 άξονες παράλληλους μεταξύ τους. Ως προς καθένα από αυτούς το σώμα έχει μια ορισμένη ροπή αδράνειας. Είναι δυνατόν δύο από τις τιμές αυτές να συμπίπτουν; Ποια από αυτές είναι η μικρότερη;

1^α. Ισχύει ότι και για την κίνηση του υλικού σημείου

1^β. Στην περίπτωση του στρεφομένου στερεού η αντίστοιχη με την ταχύτητα έννοια με την οποία περιγράφεται η κινητική κατάσταση είναι η γωνιακή ταχύτητα και η αντίστοιχη προς την επιτάχυνση έννοια είναι η γωνιακή επιτάχυνση. Όσο για «αιτία» της μεταβολής πρέπει να θεωρήσουμε την (ολική) ροπή. Ποια έννοια όμως θα εκφράσει την αδράνεια (δυσφορία) του στρεφόμενου στερεού στις μεταβολές της στροφικής κίνησης; Αν θεωρήσουμε το στρεφόμενο στερεό ως «σύνολο υλικών σημείων» τα οποία κινούνται κυκλικά και εφαρμόσουμε τον θεμελιώδη νόμο σε ένα από αυτά –μάζας m₁ -θα έχουμε¹

F₁ = m₁a₁ άρα F₁r₁ = m₁ar₁ (και επειδή υ = ωr, οπότε a= α_γωνr ) F₁ r₁ = m₁α_γωνr₁² .

Η ποσότητα F₁r₁ είναι η ροπή της ασκούμενης στο υλικό σημείο (συνισταμένης) δύναμης, η r₁ η ακτίνα της κυκλικής τροχιάς και η α_γων η -κοινή για όλα τα υλικά σημεία του στρεφομένου στερεού- γωνιακή επιτάχυνση. Αν κάνουμε το ίδιο για όλα τα υλικά σημεία του στερεού και προσθέσουμε κατά μέλη θα έχουμε F₁ r₁ = Ολική ροπή = Σm₁α_γωνr₁² . Η τιμή της α_γων είναι ένας κοινός παράγων σε όλους τους όρους του αθροίσματος οπότε τολ = α_γωνΣm_i r_i² .

Καταλήγουμε σε μια σχέση αναλογίας ανάμεσα στην αιτία (ολική ροπή) και στο αποτέλεσμα (γωνιακή επιτάχυνση). Στη θέση της μάζας «διακρίνουμε» την ποσότητα Σm_i r_i². Η ποσότητα αυτή αποτελεί έννοια/ μέγεθος η οποία στη μηχανική του στρεφομένου στερεού «παίζει τον ρόλο που παίζει η μάζα αδράνειας στη μηχανική του υλικού σημείου». Λέγεται ροπή αδράνειας του σώματος ως προς άξονα και συμβολίζεται με το κεφαλαίο Ι, αρχικό της λατινικής λέξης Inertia. (Σε άλλες ευρωπαϊκές γλώσσες η έννοια έχει το όνομα Moment of inertia, Moment d’ inertie, Trägheitsmoment, Momento de inerzia, Momento de la inercia, Tröghetsmomentet).

Η προκύπτουσα εξίσωση

τ_ολ = Ια_γων

είναι η μαθηματική έκφραση ενός νόμου ο οποίος λέγεται

θεμελιώδης νόμος της στροφικής κίνησης

και αποτελεί μια εφαρμογή του δεύτερου νευτωνικού νόμου για το φαινόμενο στροφική κίνηση.

2. Η έννοια ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ αναφέρεται σε συγκεκριμένο σώμα και σε συγκεκριμένο άξονα. Μονάδα μέτρησης είναι το 1 kgm². Η τιμή της εξαρτάται από το «πώς κατανέμεται» η μάζα του στερεού σε σχέση με τον άξονα. Εκφράζει την αδράνεια (δυσφορία) του σώματος κατά τη μεταβολή της στροφικής κινητικής του κατάστασης περί τον συγκεκριμένο άξονα. Όσο μεγαλύτερη ροπή αδράνειας παρουσιάζει το σώμα, τόσο μικρότερη θα είναι η γωνιακή επιτάχυνση την οποία θα «αποδεχθεί» υπό την επίδραση ορισμένης ροπής. Αυτό εκφράζεται και με την εξίσωση α_γων = τολ/ Ι

3. Το θεώρημα Steiner οδηγεί στην απάντηση. Σύμφωνα με αυτό, εάν είναι Ι η ροπή αδράνειας του σώματος ως προς οποιονδήποτε άξονα και Ι_ΚΒ η ροπή αδράνειας του ίδιου σώματος ως προς άξονα παράλληλο προς αυτόν και διερχόμενον από το κέντρο βάρους ισχύει

Ι= Ι_ΚΒ + md²

όπου m η μάζα του σώματος και d η απόσταση των δύο αξόνων. Οι ροπές αδράνειας συμπίπτουν εφόσον οι άξονες ισαπέχουν από το κέντρο βάρους. Η μικρότερη από όλες είναι η Ι_ΚΒ .

1. 1. Η συνολική δύναμη αναλύεται σε δύο συνιστώσες, σε εφαπτόμενη στην τροχιά (η οποία καθορίζει τις αυξομειώσεις της ταχύτητας, αντιστοιχεί στην επιτρόχιο επιτάχυνση και η ροπή της ως προς τον άξονα είναι F₁ r₁) και στην κατευθυνόμενη προς το κέντρο της τροχιάς F_κ (η οποία αντιστοιχεί στην κεντρομόλο επιτάχυνση και η ροπή της είναι μηδενική).

η ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ της ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣ