Ανδρέας Ιωάννου Κασσέτας

Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑΣ

των ταυτόχρονων κινήσεων Δ.

Πέντε παραδείγματα για την κατανόησή της

I. Το φαινόμενο ΟΜΑΛΗ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

α. Σημειακός δορυφόρος σε κυκλική τροχιά

Καθισμένος στο θρανίο ο μαθητής, κοιτάζει το σχήμα στον πίνακα και

αναρωτιέται αν η κίνηση του δορυφόρου θα μπορούσε να αναλυθεί

α. στην ευθύγραμμη ομαλή την οποία θα έκανε «εάν δεν υπήρχε η δράση του πεδίου βαρύτητας» και

β. στην ευθύγραμμη επιταχυνόμενη την οποία θα έκανε εάν δεν υπήρχε η ταχύτητα.

Παίρνει θάρρος, σηκώνει το χέρι, και κάνει την ερώτηση στον καθηγητή.

«Εκείνος» οφείλει να του απαντήσει ότι δεν έχει ελέγξει «εάν οι δύο αυτές κινήσεις είναι ανεξάρτητες». Και εάν το ελέγξει θα διαπιστώσει ότι οι δύο κινήσεις δεν είναι ανεξάρτητες.

Η δράση του πεδίου βαρύτητας περιγράφεται με μια δύναμη κατευθυνόμενη προς το κεντρο της Γης και η δράση αυτή – οπότε και η αντίστοιχη κίνηση - αλλοιώνεται από την «άλλη» κίνηση την ευθύγραμμη ομαλή .

Μπορεί επίσης να του πει ότι η πρότασή του για ανάλυση ισχύει ΜΟΝΟ για μια στοιχειώδη μετατόπιση σε στοιχειώδες χρονικό διάστημα.

β. Το πρωτόνιο σε ομογενές μαγνητικό πεδίο με ταχύτητα κάθετη στις δυναμικές γρραμμές

Εκτιμώ ότι η εμβάθυνση στον χαρακτήρα « της δύναμης του μαγνητικού πεδίου σε πρωτόνιο », συμβάλλει στην κατανόηση του θέματος

Κατά την κίνηση του σωματιδίου σε μαγνητικό πεδίο, η δύναμη του μαγνητικού πεδίου ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΗ από την ταχύτητά του .

Η ΥΠΑΡΞΗ ΤΗΣ ΒΑΣΙΖΕΤΑΙ ΣΤΗΝ ΤΑΧΥΤΗΤΑ. Αν η ταχύτητα δεν υπάρχει, δεν υπάρχει η δύναμη αυτή, όταν μεγαλώνει η ταχύτητα μεγαλώνει και «αυτή», όταν αλλάζει κατεύθυνση η ταχύτητα αλλάζει κατεύθυνση και «αυτή».

Αν κάποιος μαθητής σκεφτεί να αναλύσει την κίνηση πρωτονίου το οποίο εμφανίζεται σε μαγνητικό πεδίο με ταχύτητα κάθετη σε αυτό

α. σε μια κίνηση ευθύγραμμη ομαλή την οποία θα έκανε αν δεν υπήρχε το μαγνητικό πεδίο και

β. σε μιά άλλη ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη που θα έκανε λόγω της ασκούμενης δύναμης

από το μαγνητικό πεδίο αν δεν υπήρχε ταχύτητα ,

εύκολα θα μπορούσαμε να τον πείσουμε ότι «εάν δεν υπάρχει ταχύτητα η δύναμη του μαγνητικού πεδίου δεν υφίσταται» .

Η κίνηση του πρωτονίου είναι τελικά ομαλή κυκλική αλλά οι ανεξάρτητες κινήσεις που φαντάστηκε ο μαθητής δεν υφίστανται .

Η ομαλή κυκλική κίνηση, οποιουδήποτε υλικού σημείου σε οποιοδήποτε περιβάλλον, μπορεί να αναλυθεί σε δύο ανεξάρτητες κινήσεις αλλά όχι σε αυτές τις δύο που αναφέρθηκαν. Μπορεί να αναλυθεί σε δύο αρμονικές ταλαντώσεις με ίσα πλάτη και συχνότητες, κάθετες μεταξύ τους με διαφορά φάσης π/2 . Μπορεί επίσης να αναλυθεί σε μία ευθύγραμμη ομαλή και σε μία κυκλοειδή.

II. Το πρωτόνιο σε περιοχή με ομογενές μαγνητικό και ομογενές ηλεκτρικό πεδίο αντίθετων κατευθύνσεων,

με ταχύτητα κάθετη στα δύο πεδία.

Η κίνηση που θα ακολουθήσει καθορίζεται από την ταχύτητα υ₀ , από τη δράση του ηλεκτρικού πεδίου και από τη δράση του μαγνητικού πεδίου.

Σε αυτή την περίπτωση η δράση του ηλεκτρικού πεδίου είναι ανεξάρτητη από την ταχύτητα αλλά η δράση του μαγνητικού εξαρτάται από την ταχύτητα

Ας υποθέσουμε ότι ένας μαθητής σκεφτεται ότι

« α. εάν δεν υπήρχε το μαγνητικό πεδίο και υπήρχε μόνο το ηλεκτρικό και η κάθετη ταχύτητα υ₀ το πρωτόνιο θα έκανε παραβολική κίνηση, ενώ

β. εάν δεν υπήρχε η δράση του ηλεκτρικού και υπήρχε το μαγνητικό πεδίο και η κάθετη ταχύτητα υ₀ θα έκανε ομαλή κυκλική,

άρα η κίνηση είναι σύνθεση μιας παραβολικής και μιας ομαλής κυκλικής σε επίπεδα κάθετα μεταξύ τους».

Εάν ο μαθητής διατυπώσει τη σκέψη του, ο εκπαιδευτικός οφείλει

να τον βοηθήσει να διακρίνει ότι

την - με ταχύτητα υ₀ - ευθύγραμμη ομαλή κίνηση

ΤΗΝ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΗΣΕ ΔΥΟ ΦΟΡΕΣ.

Ας υποθέσουμε ότι ένας άλλος μαθητής

ακούει τη συζήτηση και λέει:

«Η ταχύτητα υ₀ και η δράση του μαγνητικού πεδίου αλληλοεξαρτώνται αλλά η κίνηση του πρωτονίου χωρίς δράση ηλεκτρικού πεδίου θα ήταν σίγουρα ΟΜΑΛΗ ΚΥΚΛΙΚΗ

Εφόσον έχω ήδη χρησιμοποιήσει την ταχύτητα υ₀ και δεν πρέπει να την ξαναχρησιμοποιήσω, νομίζω ότι η κίνηση του πρωτονίου χωρίς μαγνητικό πεδίο και χωρίς ταχύτητα θα ήταν ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΗ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ κάθετα στο επίπεδο της ομαλής κυκλικής .

Αναρωτιέμαι εάν οι ΔΥΟ κινήσεις στις οποίες κατέληξα , η ΟΜΑΛΗ ΚΥΚΛΙΚΗ και η ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΗ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ κάθετη στο επίπεδο του κύκλου είναι ανεξάρτητες

Και ο καθηγητής : Έχω τη γνώμη ότι είναι ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΕΣ .

Η επιταχυνόμενη κίνηση του πρωτονίου στον άξονα z δεν επηρεάζει την ομαλή κυκλική κίνηση στο επίπεδο yΟx. H ομαλή κυκλική εκδηλώνεται με τον ίδιο τρόπο μολονότι αλλάζει η συνιστώσα της ταχύτητας στον z .

Κι αυτό διότι, ενώ η δύναμη του ηλεκτρικού πεδίου επηρεάζει την κατά τον z συνιστώσα της ταχύτητας, δεν επηρεάζει τις - στο επίπεδο yox - δύο συνιστώσες της ταχύτητας οι οποίες διαμορφώνουν την ομαλή κυκλική στο επίπεδο yox.

Αλλα και το , κατά τον άξονα z , μαγνητικό πεδίο δεν ασκεί δράση σε συνιστώσα ταχύτητας στον άξονα z

Ας το δούμε και μέσα από τις σχετικές εξισώσεις κίνησης .

x = (mυ/Βq)ημ (Βqt/m) υ_x = υ συν(Βqt/m)

y = (mυ/Βq) - (mυ/Βq)συν(Βqt/m) υ_y = υημ(Βqt/m)

z = - ½(Eq/m)t² . υ_z = Eqt/m

Και μέσα απο τις εξισώσεις, φαίνεται ότι η κίνηση κατά τον άξονα z δεν αλλοιώνει την εξέλιξη της ομαλής κυκλικής στο επίπεδο yox.

ΣΧΕΤΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ. Την ανεξαρτησία των δύο κινήσεων -και τη δυνατότητα να τις συνθέσουμε- μπορούμε να την διακρίνουμε και με τον εξής τρόπο:

Φανταζόμαστε τον εαυτό μας ( με ταχύτητα μηδενική στην αρχή των χρόνων ) κινούμενο στην κατεύθυνση του ηλεκτρικού πεδίου με επιτάχυνση Eq/m και παρατηρούμε το πρωτόνιο.

Η κατά τον άξονα z σχετική ταχύτητά του είναι μηδενική και η ταχύτητα την οποία αντιλαβανόμαστε είναι η κάθετη στις δυναμικές γραμμές του μαγνητικου πεδίου, οπότε η κίνηση την οποία αντιλαμβανόμαστε είναι ομαλή κυκλική με αυτή την ταχύτητα . Κι αυτό διότι η μόνη δύναμη που ασκείται στο σωματίδιο είναι η δύναμη του μαγνητικού πεδίου, δεδομένου ότι η δύναμη του ηλεκτρικού πεδίου στο πρωτόνιο εξουδετερώνεται από τη δύναμη αδρανείας. Ας μην ξεχνάμε ότι

ο μεταφορικά κινούμενος επιταχυνόμενος παρατηρητής σημείωνει στο παρατηρούμενο αντικείμενο και μία δύναμη αδρανείας

III . Το πρωτόνιο εμφανίζεται σε περιοχή με ομογενές μαγνητικό και ομογενές ηλεκτρικό πεδίο ΚΑΘΕΤΑ μεταξύ τους,

με ταχύτητα κάθετη στα δύο πεδία.

Αν υπήρχε μόνο η ταχύτητα του πρωτονίου και η δράση του μαγνητικού πεδίου στο πρωτόνιο θα είχαμε ΟΜΑΛΗ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ στο επίπεδο xoy.

Από τη δράση του ηλεκτρικού πεδίου στο – χωρίς αρχική ταχύτητα - πρωτόνιο

προκύπτει μια κίνηση ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΗ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ στον άξονα x.

Η ερώτηση : Μπορώ να θεωρήσω ότι οι δύο αυτές κινήσεις είναι ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΕΣ και να προχωρήσω στη σύνθεσή τους ;

Η απάντηση : Όχι . Οι δύο κινήσεις ΔΕΝ είναι ανεξάρτητες. Η κίνηση του πρωτονίου στο επίπεδο yox λόγω δράσης μαγνητικού πεδίου – αυτή την οποία θα εκτελούσε το πρωτόνιο αν δεν υπήρχε ηλεκτρικό πεδίο - επηρεάζεται από την εξέλιξη της άλλης κίνησης, της ευθύγραμμης επιταχυνόμενης στον άξονα x, λόγω της δράσης ηλεκτρικού πεδίου.

Από τις δύο συνιστώσες της ταχύτητας ( υ_x , υ_y ) οι οποίες διαμορφώνουν την κυκλική κίνηση στο επίπεδο xoy,

η υ_y επηρεάζεται από τη δράση του ηλεκτρικού πεδίου.

Με πιο απλά λόγια : Η δράση του ηλεκτρικού πεδίου δεν αφήνει το πρωτόνιο να εκτελέσει την ομαλή κυκλική την οποία θα εκτελούσε εάν δεν υπήρχε το ηλεκτρικό πεδίο

Ας το δούμε και μέσα από τις εξισώσεις κίνησης .

x = (mυ/Βq)ημ (Βqt/m) υ_x = υ συν(Βqt/m)

y = (mυ/Βq)-(mυ/Βq)συν(Βqt/m)-½ Eqt²/m υ_y = υημ(Βqt/m)- Eqt/m

z = 0 υ_z = 0

Προκειμένου για την ανάλυση μιας κίνησης, οι διδάσκοντες ενίοτε χρησιμοποιούν το νοητικό μοντέλο

« εάν δεν υπήρχε η μία αιτία, το σώμα θα έκανε μια ορισμένη κίνηση και αυτή τη λέμε κίνηση 1, ενώ αν δεν υπήρχε η άλλη αιτία το σώμα θα έκανε μια άλλη κίνηση και αυτή τη λέμε κίνηση 2, οπότε η κίνηση μπορεί να αναλυθεί στην κίνηση 1 και στην κίνηση 2 » .

Το μοντέλο όμως αυτό μπορεί να αξιοποιηθεί

μόνο εάν οι κινήσεις 1 και 2 είναι ανεξάρτητες,

διαφορετικά δεν πρόκειται για ΑΝΑΛΥΣΗ μιας κίνησης

και η ΥΠΕΡΘΕΣΗ δεν έχει νόημα

ΣΧΕΤΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ. Το ότι δεν υπάρχουν δύο κινήσεις ανεξάρτητες – μία ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κατά τον x και μια ομαλή κυκλική στο επίπεδο xoy - μπορούμε να το διακρίνουμε και με τον εξής τρόπο: Φανταζόμαστε τον εαυτό μας κινούμενο στην κατεύθυνση του ηλεκτρικού πεδίου με επιτάχυνση Eq/m και παρατηρούμε το πρωτόνιο. Μπορούμε, να συμπεράνουμε, ότι η σχετική του κίνηση δεν είναι ομαλή κυκλική. Πρέπει να θυμίσουμε ότι ο -μεταφορικά κινούμενος- επιταχυνόμενος παρατηρητής σημείωνει στο παρατηρούμενο αντικείμενο και μία δύναμη αδρανείας .

IV. Το πρωτόνιο σε μαγνητικό πεδίο με ταχύτητα

που να σχηματίζει τυχαία γωνία

με τις δυναμικές γραμμές.

Αναλύουμε την ταχύτητα υ σε δύο κάθετες συνιστώσες υ_x και υ_z έτσι ώστε η υ_z να είναι παράλληλη με το μαγνητικό πεδίο .

Ο συνδυασμός της υ_x με τη δράση του μαγνητικού πεδίου οδηγεί σε μία ομαλή κυκλική κίνηση στο επίπεδο yox, και εφόσον το μαγνητικό πεδίο δεν επιδρά στο σωματίδιο με την υ_z , γεννιέται το ερώτημα εάν οι δύο κινήσεις

α. η ομαλή κυκλική στο επίπεδο yox και

β. η ευθύγραμμη ομαλή με την ταχύτητα υ_z κάθετα στο επίπεδο της κυκλικής

είναι ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΕΣ,

οπότε θα μπορούμε να εφαρμόσουμε ΥΠΕΡΘΕΣΗ για να προβλέψουμε τη θέση του πρωτονίου στο μέλλον αλλά και για να κατανοήσουμε την τροχιά του .

Η απάντηση είναι ότι «οι δύο κινήσεις είναι ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΕΣ». Η ευθύγραμμη ομαλή κίνηση στον άξονα z δεν επηρεάζει την εξέλιξη της ομαλής κυλικής.

Σύμφωνα με την αρχή της ανεξαρτησίας μπορούμε να θεωρήσουμε ότι η κίνηση του πρωτονίου αναλύεται σε μια ευθύγραμμη ομαλή κατά τον z και σε μία ομαλή κυκλική στο επίπεδο yox Θεωρώντας ότι στην αρχή των χρόνων βρίσκεται στην αρχή των αξόνων Ο, μπορούμε να προβλέψουμε τη θέση του μετά από χρονικό διάστημα t εάν το φανταστούμε επί χρόνο t να κινείται κυκλικά στο επίπεδο yox με ταχύτητα μέτρου υ_x οπότε προσδιορίζεται ένα σημείο Ρ και στη συνέχεια, επίσης επί χρόνο t, να μετατοπίζεται από το σημείο Ρ κατά τον άξονα z με σταθερή ταχύτητα υ_z. Προσδιορίζεται έτσι ένα σημείο Μ στο οποίο τελικά θα βρεθεί μετά χρόνο t.

ΣΧΕΤΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ. Την ανεξαρτησία των δύο κινήσεων μπορούμε να την διακρίνουμε και με τον εξής τρόπο: Φανταζόμαστε τον εαυτό μας κινούμενο με σταθερή ταχύτητα υ_z και παρατηρούμε το πρωτόνιο. Η σχετική ταχύτητά του είναι η υ_x κάθετη στις δυναμικές γραμμές του μαγνητικου πεδίου οπότε η κίνηση την οποία αντιλαμβανόμαστε είναι ομαλή κυκλική με ταχύτητα υ_x .

V. Το φαινόμενο ΚΥΛΙΣΗ.

Η χωρίς ολίσθηση κύλιση ενός δίσκου - rigid body - δύο διαστάσεων σε οριζόντια αναλλοίωτη επιφάνεια με σταθερή ταχύτητα του κέντρου μάζας μπορεί να θεωρηθεί ως στιγμιαία περιστροφή περί άξονα που διέρχεται από το κάθε φορά σημείο επαφής.

Μπορεί όμως να θεωρηθεί και ως υπέρθεση δύο ανεξάρτητων κινήσεων

α. μιας μεταφορικής κίνησης με την ταχύτητα του κέντρου μάζας και

β. μιας στροφικής περί άξονα συμμετρίας του δίσκου κάθετο στο επίπεδό του.

Εστιάζοντας σε ένα υλικό σημείο Α της επιφάνειας του δίσκου το οποίο, ως προς παρατηρητή στο έδαφος, εκτελεί μία κίνηση, μπορούμε, να θεωρήσουμε ότι η μία αυτή κίνησή του αναλύεται σε δύο ανεξάρτητες κινήσεις υπό την έννοια ότι η εξέλιξη της μιας δεν αλλοιώνεται από την ύπαρξη της ταυτόχρονης «άλλης».

Μία ευθύγραμμη ομαλή με την ταχύτητα του κέντρου μάζας και μία κυκλική περί το κέντρο μάζας

ΣΧΕΤΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ. Την ανεξαρτησία των δύο κινήσεων - και τη δυνατότητα να τις συνθέσουμε- μπορούμε να την διακρίνουμε και με τον εξής τρόπο:

Φανταζόμαστε τον εαυτό μας αδρανειακό παρατηρητή με, ως προς το έδαφος, ταχύτητα οριζόντια ίση με την ταχύτητα του κέντρου μάζας. Η κίνηση του υλικού σημείου Α είναι , για μας, μια ομαλή κυκλική κίνηση.

Βασιζόμενοι στην ανάλυση της κίνησής του υλικού σημείου Α σε δύο ανεξάρτητες κινήσεις, μπορούμε να προβλέψουμε «που θα βρίσκεται το Α σε κάθε χρονική στιγμή στο μέλλον».

Μπορούμε επίσης να προβλέψουμε τη μορφή της τροχιάς του.

Η σχετική μελέτη δείχνει ότι η τροχιά θα είναι κυκλοειδής, συμπέρασμα που εναρμονίζεται με την πράγματι παρατηρούμενη, ως προς το έδαφος, τροχιά.

x = x_μ + x_στ x = υ_cmt - Rημωt

y = y_μ + y_στ y = R - Rσυνωt

υ_x = υ_xμ + υ_xστ υ_x = υ_cm - ωRσυνωt

υ_y = υ_yμ + υ_yστ υ_y = ωRημωt

Σε επίπεδο της τρέχουσας διδασκαλίας σε Λύκειο, η υπέρθεση μπορεί να περιοριστεί

στο γνωστά αθροίσματα διανυσμάτων

υ = υ_μ + υ_στ και α = α_μ + α_{στ ( τα bold παριστάνουν διανύσματα)}

Μια επισήμανση . Όταν αναλύουμε την κύλιση, σε δύο ανεξάρτητες κινήσεις με τον συγκεκριμένο τρόπο ΑΠΟΔΕΙΚΝΥΕΤΑΙ ότι Η ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ του κυλιόμενου σώματος, είναι ΙΣΗ ΜΕ ΤΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΛΟΓΩ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΚΑΙ ΚΙΝΗΤΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΛΟΓΩ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ . Πρέπει να τονίσουμε ότι αυτό ειναι συνέπεια της σωστής εφαρμογής των νόμων και της ισχύουσας συμμετρίας σε αντικείμενα όπως ο ομογενής κύλινδρος , και δεν απορρέει από την αρχή της ανεξαρτησίας, η οποία εξάλλου δεν αναφέρεται στην έννοια ενέργεια .

Ανεξαρτησία των κινήσεων και

μεταβιβαζόμενη ενέργεια