Ανδρέας Ιωάννου Κασσέτας

Το φαινόμενο Doppler

1. Η οικοδόμηση των ΕΝΝΟΙΩΝ

α . Η έννοια ΜΕΤΩΠΟ ΚΥΜΑΤΟΣ

Η διάδοση του αόρατου ήχου στον αόρατο αέρα μπορεί να μας δημιουργήσει κάποια αναπαράσταση με την βοήθεια της εικόνας- έννοιας «μέτωπο κύματος». Αν η πηγή του ήχου είναι μια σημειακή πηγή η οποία βρίσκεται σε σημείο Π και σε κάποια στιγμή ενεργοποιείται , σε ορισμένη χρονική στιγμή του μέλλοντος θα υπάρχει μια σφαίρα – θεωρούμε το μέσο ομογενές - η οποία διαχωρίζει τα σημεία του αέρα που έχουν ήδη «επαναστατήσει» από εκείνα που δεν . . . ακόμα . Η σφαίρα αυτή όλο και μεγαλώνει και η εξωτερική της επιφάνεια είναι ένα ΜΕΤΩΠΟ ΚΥΜΑΤΟΣ , μια αόρατη επιφάνεια η οποία προχωράει προς το αυτί μας με ταχύτητα c. Το μέτωπο κύματος είναι και «ισοφασική επιφάνεια» δεδομένου ότι σε όλα τα γεωμετρικά σημεία της βρίσκονται υλικά σημεία τα οποία, σε ορισμένη χρονική στιγμή, έχουν την ίδια φάση. Εφόσον ένα από αυτά τα υλικά σημεία παρουσιάζει, σε κάποια χρονική στιγμή, τη μέγιστη - λόγου χάρη- διαταραχή του , στην ίδια κατάσταση θα βρίσκονται και τα υπόλοιπα.

Τα μέτωπα αυτού του είδους, ισοφασικές δηλαδή επιφάνειες με υλικά σημεία τα οποία εκδηλώνουν, όλα και συγχρόνως, μέγιστη διαταραχή έχουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον για τη διδασκαλία. Μπορούμε να τα λέμε και «μέτωπα μέγιστης διαταραχής» .

Εννοείται ότι κατά τη διάδοση του κύματος εμφανίζονται μέτωπα μηδενικής διαταραχής, μέτωπα ενδιάμεσης διαταραχής και μέτωπα μέγιστης διαταραχής αλλά το να εστιάζουμε την προσοχή του διδασκόμενου σε μέτωπα μέγιστης διαταραχής εξυπηρετεί καλύτερα τον στόχο του «να κατανοηθούν» οι έννοιες που θα ακολουθήσουν.

β. Η έννοια « ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΗΧΟΥ »

Φανταζόμαστε μια κοπέλα που εκτός από κοπέλα είναι πηγή ήχου γιατί σε κάποια χρονική στιγμή βγάζει μια δυνατή φωνή. Η κοπέλα φωνάζει και «εμείς» ακούμε . Το «εμείς» σημαίνει κάποιος από εμάς, που διαθέτει

καλή ακοή. Για να μετρήσουμε «εμείς» την ταχύτητα του ήχου - ακροατές ακίνητοι ως προς τον αέρα, άρα και ως προς το έδαφος - μετράμε

α. την απόσταση ΑΠ «από το σημείο Π στο οποίο βρισκόταν όταν έβγαλε τη φωνή μέχρι το σταθερό σημείο Α στο οποίο εμείς βρισκόμαστε » και

β. τον χρόνο που απαιτήθηκε για να φθάσει ο ήχος σε μας

και στη συνέχεια κάνουμε διαίρεση. Αν η απόσταση ΑΠ είναι 85 μέτρα και το χρονικό διάστημα 0,25 s, η διαίρεση δίνει c = 340m/s. Εύκολα μπορούμε να πείσουμε έναν συνομιλητή μας ότι θα είχαμε το ίδιο αποτέλεσμα και εάν «η κοπέλα τη στιγμή που έβγαλε τη φωνή είχε ορισμένη ταχύτητα». Κι αυτό γιατί θα κάναμε την ίδια διαίρεση δεδομένου ότι αριθμητής είναι η απόσταση «από το σημείο που ΒΡΙΣΚΟΤΑΝ ΟΤΑΝ ΕΒΓΑΛΕ ΤΗ ΦΩΝΗ » μέχρι το σημείο Α στο οποίο βρίσκεται ακίνητος ο ακροατής.

Όλες οι σχετικές μετρήσεις δείχνουν ότι

Η ταχύτητα του ηχητικού κύματος στον αέρα ΔΕΝ εξαρτάται

από το «εάν η πηγή κινείται ή είναι ακίνητη»

Ας υποθέσουμε τώρα ότι καθώς η ακίνητη κοπέλα φωνάζει εμείς βρισκόμαστε σε κίνηση, έχουμε ως προς τον αέρα ταχύτητα μέτρου υ_Α και πλησιάζουμε προς αυτήν κινούμενοι προς

την «αντίθετη κατεύθυνση» από εκείνη που «έρχεται ο ήχος» προς εμάς. Σε αυτή την περίπτωση θα ακούσουμε τον ήχο πιο γρήγορα και θα έχουμε την εντύπωση ότι διαδόθηκε με μεγαλύτερη ταχύτητα. Αν η αρχική απόσταση της κοπέλας (ηχητικής πηγής) από μας είναι d στο χρονικό διάστημα t₁ θα ισχύει ct₁ + υ_At₁ = d το πηλίκο δηλαδή d/t₁ θα είναι ίσο με το άθροισμα (c + υ_A). Αλλά το πηλίκο αυτό είναι η (ως προς εμάς) ταχύτητα του ήχου.

Σε γλώσσα φυσικής λέμε ότι η ταχύτητα με την οποία μας πλησιάζει το ΜΕΤΩΠΟ ΚΥΜΑΤΟΣ είναι ίση με c + υ_A και αυτό είναι κάτι ανάλογο με την σχετική ταχύτητα ενός αυτοκινήτου το οποίο πλησιάζει προς εμάς με ταχύτητα (μέτρου) υ και εμείς βρισκόμαστε σε μοτοσικλέτα κινούμενη με ταχύτητα (μέτρου) υ΄. Το αντιλαμβανόμαστε να μας πλησιάζει με ταχύτητα υ+υ΄ Αν η ως προς το έδαφος ταχύτητά του είναι 20 μέτρα το δευτερόλεπτο και η δική μας είναι 8 μέτρα το δευτερόλεπτο, καταλαβαίνουμε ότι «κάθε δευτερόλεπτο που περνάει μας πλησιάζει κατά 28 μέτρα». Το «πόσο γρήγορα» μας πλησιάζει είναι «η ως προς εμάς ταχύτητά του». Στην περίπτωση του ήχου «το αυτοκίνητο» θα μπορούσε να είναι ένα ΜΕΤΩΠΟ ΚΥΜΑΤΟΣ με σημεία μέγιστης διαταραχής. Αν υποθέσουμε ότι εμείς έχουμε υ_Α = 35 m/s, το μέτωπο μετακινούμενο - ως προς τον ακίνητο αέρα- με 340 m/s μας πλησιάζει έτσι που κάθε δευτερόλεπτο η απόστασή μας από αυτό μειώνεται κατά 340+35 μέτρα. Η ταχύτητά του ως προς εμάς είναι συνεπώς c_φ = c + υ_A. Με ανάλογο τρόπο μπορούμε να συμπεράνουμε ότι εάν η κίνησή μας είναι στην ίδια κατεύθυνση με εκείνη του μετώπου κύματος η ταχύτητα c_φ του μετώπου ως προς εμάς είναι ίση με c - υ_A.

Η ταχύτητα την οποία αντιλαμβανόμαστε ως ταχύτητα του ηχητικού κύματος - ταχύτητα του μετώπου ως προς εμάς –

ΔΙΑΦΟΡΟΠΟΙΕΙΤΑΙ ανάλογα με το πώς κινούμαστε εμείς – ο ακροατής – σε σχέση με τη φορά διάδοσης του ήχου και

ΔΕΝ ΕΞΑΡΤΑΤΑΙ από εάν η πηγή κινείται ή δεν κινείται .

Αν πρόκειται για κύμα ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟ, η ταχύτητά του, εκτός από το ότι είναι ανεξάρτητη από την κίνηση της πηγής, ΔΕΝ εξαρτάται και από την κίνηση του παρατηρητή . Η Ειδική θεωρία της Σχετικότητας μας δίδαξε ότι η ταχύτητα του φωτός είναι ανεξάρτητη από την κίνηση του παρατηρητή και το γεγονός έχει συνέπειες στον προσδιορισμό της τιμής της σχετικής ταχύτητας αλλά και στη διαμόρφωση της εξίσωσης για το φαινόμενο Doppler στο φως .

γ. Η έννοια «ΜΗΚΟΣ ΚΥΜΑΤΟΣ ενός ήχου»

προερχόμενου από κινούμενη ηχητική πηγή

Ας υποθέσουμε – για λόγους απλούστευσης- ότι το μέσο διάδοσης είναι έτσι ώστε να επιβάλλει ίδιες τιμές ταχύτητας προς κάθε κατεύθυνση-

Εφόσον η ηχητική πηγή είναι ακίνητη - ως προς

το έδαφος- τα μέτωπα κύματος είναι ομόκεντρες

σφαίρες με κέντρο την ακίνητη σημειακή πηγή.

Μπορούμε να κάνουμε ένα σχέδιο - ΣΤΙΓΜΙΟΤΥΠΟ

αναφερόμενο στη χρονική στιγμή t = 4Τ.

Στο στιγμιότυπο αυτό,

α. η εξωτερική σφαίρα (ακτίνας 4λ ) θα είναι

ένα μέτωπο με σημεία μέγιστης διαταραχής

που «εκπέμφθηκε» τη στιγμή t = 0,

β. η ακτίνας 3λ σφαίρα θα είναι

το μέτωπο που εκπέμφθηκε τη στιγμή t = Τ ( περίοδος )

γ. η ακτίνας 2λ σφαίρα θα είναι το μέτωπο

που εκπέμφθηκε τη στιγμή t = 2Τ και

δ. η σφαίρα ακτίνας λ θα είναι το μέτωπο που εκπέμφθηκε τη στιγμή t = 3Τ.

Η απόσταση δύο διαδοχικών μετώπων ( μέγιστης διαταραχής ) κατά τη διεύθυνση μιας ΚΥΜΑΤΙΚΗΣ ΑΚΤΙΝΑΣ ΔΙΑΔΟΣΗΣ είναι το ΜΗΚΟΣ ΚΥΜΑΤΟΣ και θα έχει την ίδια τιμή με οποιονδήποτε τρόπο κι αν το μετρήσει ένας κινούμενος ή ακίνητος παρατηρητής.

Ας δούμε τώρα τι συμβαίνει όταν κινείται η ηχητική πηγή. Το μέτωπο - με σημεία μέγιστης διαταραχής- το οποίο «εμφανίζεται» τη χρονική στιγμή t = T είναι σφαίρα ακτίνας λ με γεωμετρικό κέντρο τη θέση που ΕΙΧΕ η πηγή τη στιγμή t = 0 ΚΑΙ ΟΧΙ ΤΗ ΘΕΣΗ ΠΟΥ ΕΧΕΙ Η ΠΗΓΗ ΤΗ ΧΡΟΝΙΚΗ ΣΤΙΓΜΗ t = T διότι στο χρονικό διάστημα η πηγή έχει μετακινηθεί κατά υ_πΤ. Έτσι, κατά τη φορά διάδοσης του ήχου, τη χρονική στιγμή t = T η απόσταση πηγής – μετώπου θα είναι λ- υ_πΤ. Η απόσταση της πηγής από το πλησιέστερο μέτωπο - μέγιστης διαταραχής - είναι το φαινομενικό μήκος κύματος λ_φ, αυτό δηλαδή που ένας παρατηρητής μετράει ως μήκος κύματος λ_φ = λ - υ_πΤ . Κατά την αντίθετη από τη φορά διάδοσης του ηχητικού κύματος η αντίστοιχη απόσταση θα είναι μεγαλύτερη από το λ κατά υ_πΤ, θα είναι συνεπώς λ_φ = λ + υ_πΤ

Μπορούμε να κάνουμε ένα σχήμα που να συνιστά το «στιγμιότυπο» για τη χρονική στιγμή t= 4T . Στο σχήμα αυτό θα εμφανίζονται μέτωπα μέγιστης διαταραχής

α. Η - εξωτερική - σφαίρα 1 θα είναι το ακτίνας 4λ

μέτωπο ( μέγιστης διαταραχής ) το οποίο

«εκπέμφθηκε» τη στιγμή

t = 0, τότε που η πηγή ήταν στο S₀,

β. Η σφαίρα 2 θα είναι το (ακτίνας 3λ)

μέτωπο το οποίο εκπέμφθηκε

τη στιγμή t = Τ, τότε που η πηγή ήταν στο S₁,

γ. Η σφαίρα 3 θα είναι το (ακτίνας 2λ) μέτωπο

S₃ S₂ S₁ S₀

το οποίο εκπέμφθηκε τη στιγμή t = 2Τ

τότε που η πηγή ήταν στο S₂, και

δ. Η σφαίρα 4 θα είναι το (ακτίνας λ)

μέτωπο που εκπέμφθηκε τη

στιγμή t = 3Τ, τότε που η πηγή ήταν στο S₃.

Η εικόνα που δημιουργήσαμε μας προσφέρει την αναπαράσταση της πύκνωσης των μετώπων – μέγιστης δαιταραχής - κατά την κατεύθυνση κίνησης της πηγής και της αραίωσης προς την αντίθετη κατεύθυνση. Η απόσταση δύο διαδοχικών μετώπων εκλαμβάνεται ως ΜΗΚΟΣ ΚΥΜΑΤΟΣ λ_φ για έναν οποιονδήποτε παρατηρητή είτε αυτός είναι κινούμενος είτε είναι ακίνητος. Στην κατεύθυνση κίνησης της πηγής η απόσταση αυτή είναι ίση με λ- υ_πΤ

Συμπέρασμα: Το μετρούμενο μήκος κύματος λ_φ εξαρτάται από την – ως προς τον αέρα - κίνηση της πηγής και δεν εξαρτάται από το εάν κινείται ο ακροατής.

Εάν η πηγή κινείται κατά τη φορά διάδοσης του κύματος το λ_φ = λ - υ_πΤ

Εάν η πηγή κινείται σε αντίθετη φορά από εκείνη της διάδοσης του κύματος λ_φ = λ+ υ_πΤ

Να συνοψίσουμε

Η μετρούμενη ταχύτητα του ηχητικού κύματος cφ	Το μετρούμενο μήκος κύματος λφ
Είναι ανεξάρτητη από το εάν κινείται η πηγή	Είναι ανεξάρτητο από το εάν κινείται ο ακροατής
Εξαρτάται από το εάν και πώς κινείται ο ακροατής Εάν ο ακροατής κινείται κατά τη φορά διάδοσης του ήχου cφ = c - uA Εάν ο ακροατής κινείται σε αντίθετη φορά από εκείνη της διάδοσης του κύματος cφ = c + uA	Εξαρτάται από το εάν και πως κινείται η πηγή του ήχου Εάν η πηγή κινείται κατά τη φορά διάδοσης του κύματος λφ = λ - υπΤ Εάν η πηγή κινείται σε αντίθετη φορά από εκείνη της διάδοσης του κύματος λφ = λ+ υπΤ

δ. Η έννοια «ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ του ήχου»

Με βάση την έννοια «μέτωπο κύματος» μπορούμε να ορίσουμε και τη ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ την οποία αντιλαμβάνεται ένας ακροατής. Είναι το « πόσα μέτωπα μέγιστης διαταραχής επισκέπτονται το αυτί του σε κάθε δευτερόλεπτο».

2. το ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ

Εάν όλα τα παραπάνω συνδυαστούν με τις σχέσεις c = λf και c_φ = λ_φf_φ

μας οδηγούν στο συμπέρασμα ότι «η αντιληπτή» συχνότητα διαμορφώνεται και από την – ως προς τον αέρα - κίνηση του ακροατή

και από την – ως προς τον αέρα - κίνηση της πηγής.

Πρόκειται για το ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ DOPPLER.

Μέσα από την οικοδόμηση των εννοιών που προηγήθηκε μπορούμε να οδηγηθούμε και στον ΝΟΜΟ στον οποίο υπακούει η διαμόρφωση της τιμής της αντιληπτής συχνότητας.

Ο ΝΟΜΟΣ διατυπώνεται με τις παρακάτω εξισώσεις

α. Οι εξισώσεις ( με μέτρα ταχυτήτων ) για κάθε περίπτωση

1. Εφόσον η πηγή είναι ακίνητη και ο ακροατής πλησιάζει προς αυτήν άρα και προς τα μέτωπα του κύματος

c_φ = c + u_A λ_φ = λ c_φ = λ_φ f_φ c = λf

f_φ = f(c + u_A ) / c

2. Εφόσον η πηγή είναι ακίνητη και ο ακροατής απομακρύνεται προς αυτήν άρα έχει την ίδια φορά με εκείνη της διάδοσης του κύματος

c_φ = c - u_A λ_φ = λ c_φ = λ_φ f_φ c = λf

f_φ = f(c - u_A ) / c

3. Εφόσον ο ακροατής είναι ακίνητος και η πηγή κινείται προς αυτόν έχει συνεπώς – η πηγή - την ίδια φορά με εκείνη της διάδοσης του κύματος

c_φ = c λ_φ = λ - υ_πΤ= λ - υ_π/f c_φ = λ_φ f_φ c = λf

f_φ = c/(λ - υ_π/f) f_φ = fc / (c - υ_π)

4. Εφόσον η πηγή απομακρύνεται από τον ακίνητο ακροατή έχει αντίθετη φορά με εκείνη της διάδοσης του κύματος

c_φ = c λ_φ = λ + υ_πΤ= λ+ υ_π/f c_φ = λ_φ f_φ c = λf

f_φ = c / λ + υ_π/f f_φ = fc / (c+ υ_π)

5. Εφόσον ο ακροατής και η πηγή κινούνται προς την ίδια κατεύθυνση με εκείνον να βρίσκεται μπροστά

α. ο ακροατής έχει την ίδια φορά κίνησης με εκείνη της διάδοσης του κύματος άρα c_φ = c - u_A

β. η πηγή έχει την ίδια φορά με εκείνη της διάδοσης του κύματος άρα λ_φ = λ - υ_π/f.

Από τις σχέσεις αυτές και τις c_φ = λ_φ f_φ c = λf προκύπτει ότι f_φ = f(c- u_A) / (c - υ_π)

6. Εφόσον ο ακροατής και η πηγή κινούνται προς την ίδια κατεύθυνση με εκείνον να την ακολουθεί

α. ο ακροατής έχει την αντίθετη φορά κίνησης με εκείνη της διάδοσης του κύματος άρα c_φ = c + u_A

β. η πηγή έχει την αντίθετη φορά από εκείνη της διάδοσης του κύματος που φθάνει στον ακροατή άρα λ_φ = λ + υ_π/f. Από τις σχέσεις αυτές και τις c_φ = λ_φ f_φ c = λf προκύπτει ότι f_φ = f(c+ u_A) / (c + υ_π)

7. Εφόσον ο ακροατής και η πηγή κινούνται σε αντίθετες κατευθύνσεις και πλησιάζουν

α. ο ακροατής έχει την αντίθετη φορά κίνησης με εκείνη της διάδοσης του κύματος άρα c_φ = c + u_A

β. η πηγή έχει την ίδια φορά με εκείνη της διάδοσης του κύματος που φθάνει στον ακροατή άρα λ_φ = λ - υ_π/f.

Από τις σχέσεις αυτές και τις c_φ = λ_φ f_φ c = λf προκύπτει ότι f_φ = f(c+ u_A) / (c - υ_π)

8. Εφόσον ο ακροατής και η πηγή κινούνται σε αντίθετες κατευθύνσεις και απομακρύνονται.

α. ο ακροατής έχει την ίδια φορά κίνησης με εκείνη της διάδοσης του κύματος άρα c_φ = c - u_A

β. η πηγή έχει την αντίθετη φορά κίνησης από εκείνη της διάδοσης του κύματος που φθάνει στον ακροατή άρα λ_φ = λ +- υ_π/f.

Από τις σχέσεις αυτές και τις c_φ = λ_φ f_φ c = λf προκύπτει ότι f_φ = f(c- u_A) / (c+ υ_π)

β. Μια γενικότερη σχέση, με αλγεβρικές τιμές

Στα παραπάνω με τα σύμβολα υ_Α , υ_Π παριστάνουν τα ΜΕΤΡΑ των αντίστοιχων ταχυτήτων. Αν θέλουμε μία γενικότερη σχέση που να καλύπτει κάθε περίπτωση πρέπει να χρησιμοποιήσουμε τα σύμβολα αυτά ως ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΤΙΜΕΣ, οπότε

Π Α

+

Το c παριστάνει την αλγεβρική τιμή της ταχύτητα του ήχου, το υ_Α την αλγεβρική τιμή της ταχύτητας του ακροατή (Α),

το υ_Π την αλγεβρική τιμή της ταχύτητας της πηγής (Π).

Αν ο προσανατολισμός του άξονα γίνει με + από Π σε Α - με θετικό δηλαδή πρόσημο

προς τη κατεύθυνση που διαδίδεται ο ήχος προς τον ακροατή- , θα είναι C > 0 .

Για να είναι f_φ > f για να αντιλαμβάνεται δηλαδή ο ακροατής συχνότητα ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΗ

πρέπει c- υ_Α > c- υ_{Π ή} υ_Π > υ_Α ( τα σύμβολα υ_Π , υ_Α παριστάνουν αλγεβρικές τιμές )

Αυτό συμβαίνει σε κάθε περίπτωση που ο Ακροατής

αντιλαμβάνεται την πηγή να τον ΠΛΗΣΙΑΖΕΙ

Για να είναι f_φ < f για να αντιλαμβάνεται δηλαδή ο ακροατής συχνότητα ΜΙΚΡΟΤΕΡΗ

πρέπει c- υ_Α < c- υ_{Π ή} υ_Π < υ_Α ( τα σύμβολα υ_Π , υ_Α παριστάνουν αλγεβρικές τιμές )

Αυτό συμβαίνει σε κάθε περίπτωση που ο ακροατής

αντιλαμβάνεται την πηγή να ΑΠΟΜΑΚΡΥΝΕΤΑΙ από αυτόν

Για να είναι f_φ = f_φ για να αντιλαμβάνεται δηλαδή ο ακροατής συχνότητα

ΙΣΗ με αυτή που εκπέμπει η πηγή πρέπει c- υ_Α = c- υ_Π υ_Π = υ_Α

( τα σύμβολα υ_Π , υ_Α παριστάνουν αλγεβρικές τιμές )

Αυτό συμβαίνει εφόσον οι δύο «ενδιαφερόμενοι» έχουν ταχύτητες ίσων αλγεβρικών τιμών με το ίδιο δηλαδή μέτρο και την ίδια κατεύθυνση, οπότε ο ακροατής αντιλαμβάνεται την πηγή να είναι ως προς αυτόν ακίνητη.

Σε περίπτωση που οι ταχύτητες της πηγής και του ακροατή ΔΕΝ ανήκουν στην ευθεία πηγή- ακροατής

η εξίσωση με τις αλγεβρικές τιμές διαμορφώνεται στην f_φ = f(c- u_Ax) /(c - υ_Πx), όπου u_Ax και υ_Πx

είναι οι αλγεβρικές τιμές των προβολών των διανυσμάτων u_A και υ_Π στον άξονα πηγή- ακροατής προσανατολισμένο με + κατά τη φορά διάδοσης του ηχητικού κύματος

3. Φαινόμενο Doppler . Τα εμπειρικά δεδομένα

μέσα από την «ιστορική του διαδρομή».

4. Φαινόμενο Doppler . Στην Τεχνολογία και στην Επιστήμη