Μαθηματικές Σπαζοκεφαλιές
Μαθηματικοί γρίφοι
(Οι αστερίσκοι στο πλάι των επικεφαλίδων υποδεικνύουν τον βαθμό δυσκολίας
του κάθε γρίφου)
Γρίφος 1 ‘’Τα τρία χωριά’’(***)
Στο
παρακάτω σχήμα τα σημεία Α,Β,Γ,Ο απεικονίζουν τέσσερα χωριά. Το χωριό Α απέχει από
το χωριό Ο πέντε χιλιόμετρα, Το χωριό Β από το χωριό Ο επτά χιλιόμετρα και το χωριό
Γ από το χωριό Ο δέκα χιλιόμετρα.
Η βενζίνη όμως που έχει φτάνει
για 44 χιλιόμετρα ακριβός.
Η ερώτηση είναι θα φτάσει
η βενζίνη για να κάνει όλη αυτή την απόσταση;
Γρίφος 2’’Τα πρόβατα’’(***)
Ο καπετάν Γιάννης αισθάνεται
το τέλος του. έχει 3 γιους στους οποίους θέλει και να μοιράσει, όπως αυτός πιστεύει
δίκαια, την περιούσια του.
Η περιούσια του είναι μόνο 19 πρόβατα. Ούτε 18 ούτε 20, 19.
στον πρώτο του γιο ως και πρωτότοκος θέλει να αφήσει το 1/2 των πρόβατων.
Στον δεύτερο το 1/4 των πρόβατων. και στο τρίτο και τελευταίο το 1/5. Σε καμία περίπτωση
δεν θέλει οι γιοι του
να χωρίσουν τα πρόβατα σε κομμάτια, σκοτώνοντας τα. Βλέπεις αγαπάει τα πρόβατα σαν
παιδία του. Τι πρέπει οι γιοι του να κάνουν?
Η λύση αν και στηρίζεται σε στοιχειώδη μαθηματικά είναι πολλή όμορφη.
Γρίφος 3’’Οικογενειακά’’
(**)
Ο Πέτρος και η Μαρία ζουν
μαζί με τα 12 παιδιά τους. Κάποια από αυτά είναι από τον προηγούμενο γάμο του Πέτρου
και κάποια από τον προηγούμενο γάμο της Μαρίας. Ο καθένας τους συνδέεται άμεσα με
9 από τα παιδιά αυτά. Πόσα παιδιά απέκτησαν μαζί;
Γρίφος 4’’Ο τοξότης’’ (*)
Ένας τοξότης έχει ένα τόξο
και εξήντα βέλη. Αν ρίξει το πρώτο του βέλος στις 12:00 το μεσημέρι και συνεχίσει
να ρίχνει ένα βέλος κάθε λεπτό, τι ώρα θα του τελειώσουν τα βέλη;
Γρίφος 5’’Ο πονηρός επιχειρηματίας’’
(*)
Γρίφος 6’’Αγώνας δρόμου’’(**)
Ο Ανδρέας και ο Βασίλης έτρεξαν
σε μια κούρσα 100 μέτρων. Όταν ο Ανδρέας τερμάτισε, ο Βασίλης βρισκόταν στα 90 μέτρα.
Ο Ανδρέας πρότεινε στον Βασίλη να ξανατρέξουν αλλά αυτή τη φορά θα ξεκινούσε 10
μέτρα πίσω απ' τον Βασίλη για να είναι πιο αμφίρροπο το αποτέλεσμα. Αν κρατηθούν
όλες οι άλλες συνθήκες ίδιες, θα κερδίσει ο Ανδρέας, ο Βασίλης ή θα τερματίσουν
ταυτόχρονα;
Γρίφος 7 ‘’οι λύρες’’
(****)
Σημειώνεται ότι διαθέτουμε ζυγαριά ακριβείας και ότι μπορούμε να πάρουμε από τα
πιθάρια όσες λίρες θέλουμε για το ζύγι.
Γρίφος 8’’Παράξενος δεκαψήφιος’’
(*****)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Στις 10 θέσεις του παραπάνω σχήματος γράψτε έναν δεκαψήφιο αριθμό, ώστε το ψηφίο
στην πρώτη θέση να δείχνει τον συνολικό αριθμό των μηδενικών του αριθμού, το ψηφίο
στη θέση με την ένδειξη 1 να δείχνει τον συνολικό αριθμό των 1 και ούτω καθεξής,
μέχρι την τελευταία θέση, το ψηφίο της οποίας πρέπει να δείχνει τον συνολικό αριθμό
των 9 στον αριθμό. Η απάντηση είναι μοναδική.
Γρίφος 9’’Δώρο γενεθλίων’’
(**)
Γρίφος 10’’Αγώνας τένις’’
(***)
Δύο άντρες παίζουν τένις.
Έπαιξαν πέντε σετ και ο καθένας κέρδισε τρία σετ. Πώς έγινε αυτό;
Γρίφος 11’’Τα τρία μπιφτέκια’’
(*)
Κάποιος θέλει να ψήσει τρία
μπιφτέκια σ' ένα μπάρμπεκιου που χωράει μόνο δύο. Χρειάζονται 5 λεπτά για να ψηθεί
η κάθε πλευρά του μπιφτεκιού, οπότε υπολογίζει πως χρειάζεται 10 λεπτά για να ψήσει
τις δύο πλευρές των δύο πρώτων μπιφτεκιών και άλλα 10 για να ψήσει το τρίτο. Μήπως
υπάρχει κανένας συντομότερος τρόπος;
Γρίφος 12’’Μεταφορές νερού’’
(***)
Έχουμε τρία δοχεία. Το ένα
χωράει 10, το άλλο 7 και το τρίτο 3 λίτρα νερό. Αυτό που χωράει 10 είναι γεμάτο
και τ' άλλα δύο άδεια. Πως μπορούμε να βάλουμε σε ένα από τα δοχεία ακριβώς 5 λίτρα
νερό, χωρίς ζυγαριά, κάνοντας μόνο μεταφορές νερού απ' το ένα δοχείο στο άλλο;
Γρίφος 13’’Μαθηματικό πρόβλημα’’(***)
Ένα απλό μαθηματικό πρόβλημα....Μπορείτε
να μου πείτε πώς και γιατί;
Λοιπόν:
-2 = -2
=>
1-3 =
4-6 =>
1-6/2 =
4-12/2 =>
1-6/2 +
9/4 = 4 - 12/2 + 9/4
(1-3/2)2
= ( 2 - 3/2 )2 (Είναι τέλεια τετράγωνα (α-β)2=α2+β2-2αβ
οκ;) τετράγωνο με τετράγωνο φεύγουν όπως
α2=β2 άρα α=β
έτσι
1-3/2 =
2- 3/2
Εδώ είναι το λάθος
1-3/2 = - (2-3/2) ή - (1-3/2) = 2-3/2
1 = 2
Πώς; (New)
Γρίφος 14’’Το τούβλο’’ (**)
Γρίφος 15’’Μια δύσκολη διαίρεση’’
(**)
Γρίφος 16’’Χαμένη δραχμή’’
(****)
Τρεις φίλοι μπαίνουν σε μια
κάβα και αγοράζουν ένα μπουκάλι κρασί που κοστίζει 300 δρχ. δίνοντας 100 δρχ. ο
καθένας. Φεύγοντας, τους προλαβαίνει ο υπάλληλος και τους λέει πως έκανε λάθος γιατί
το μπουκάλι στοιχίζει 295 και όχι 300 δρχ. και γι' αυτό τους επιστρέφει 5 δρχ. ρέστα.
Αυτοί αφού δεν μπορούν να μοιράσουν τις 5 δρχ. στα τρία, παίρνουν ο καθένας από
1 δρχ. και δίνουν 2 δρχ. φιλοδώρημα στον υπάλληλο για την καλή του πράξη. Στο τέλος
όμως σκέφτονται: Έδωσε ο καθένας μας 100 δρχ. και πήρε μία πίσω, άρα 99 δρχ. Τρεις
φορές το 99 μας κάνει 297 και 2 δρχ. για το φιλοδώρημα, 299. Τι έγινε η μία δραχμή;
Γρίφος 17 Ένας υπομονετικός βάτραχος
Αναζητώντας
επίμονα νερό, ένας βάτραχος έπεσε σε ένα πηγάδι 30 μέτρων. Στη προσπάθεια
του να βγει ο βάτραχος ακολούθησε την εξής περίεργη πορεία. Κάθε μέρα σκαρφαλώνει
3 μέτρα ενώ τη νύχτα που ακολουθούσε έπεφτε κατά 2 μέτρα. Πόσες
μέρες χρειάστηκε συνολικά ο βάτραχος για να βγει από το πηγάδι; |
|
Γρίφος 18 ..
κι η Δευτέρα να 'ταν μόνο κανα-δυό φορές τον χρόνο
Επτά κορίτσια οι Α, Β, Γ,
Δ, Ε, Ζ και Η
διαφωνούσαν για το τι μέρα είναι.
Λένε τα εξής:
Α: Μεθαύριο είναι Τετάρτη.
Β: Όχι σήμερα είναι Τετάρτη.
Γ: Κάνετε λάθος, αύριο είναι Τετάρτη.
Δ: Ανοησίες, σήμερα δεν είναι ούτε Δευτέρα, ούτε Τρίτη, ούτε Τετάρτη.
Ε: Είμαι σίγουρος ότι χτες ήταν Πέμπτη.
Ζ: Όχι αύριο είναι Πέμπτη.
Η: Εγώ ξέρω ότι χτες δεν ήταν Σάββατο.
Αν μόνο μια πρόταση από τις
παραπάνω είναι αληθής
τότε ποιά μέρα ήταν (όταν συζητούσαν) ;;;
Γρίφος
19 Το παρακάτω
πρόβλημα είναι του J.A.H. Hunter:
>
>
Εχουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Ποιος είναι ο μικρότερος αριθμός κομματιών στα οποία μπορούμε να το τεμαχίσουμε,
>
αν κάθε κομμάτι πρέπει να είναι οξυγώνιο τρίγωνο (δηλαδή, με κάθε γωνία μικρότερη των 90 μοιρών) και πως
γίνεται ο
>
σχετικός τεμαχισμός;
Γρίφος
20 Προστατέψτε το δάσος Το
δασαρχείο εποπτεύει ένα δάσος από έλατα που απλώνεται σε μια τριγωνική περιοχή
ΑΒΓ. Οι πλευρές του τριγώνου έχουν τα εξής μήκη: ΑΒ=975m, ΒΓ=845m, ΓΑ=910m.
Για να προστατευτεί το δάσος από πυρκαγιές είναι απαραίτητο να χτιστούν τρία παρατηρητήρια
ένα σε κάθε πλευρά του τριγώνου. Το δασαρχείο θέλει να συνδέσει μεταξύ τους
τα παρατηρητήρια με ευθύγραμμα μονοπάτια, τα οποία θα χρησιμεύουν ως διάδρομοι
πυρασφάλειας, αλλά θα διευκολύνουν και την επικοινωνία. Η κατασκευή των
μονοπατιών, όμως είναι δαπανηρή και απαιτεί το κόψιμο μερικών δέντρων. Γι΄
αυτό είναι απαραίτητο να χτιστούν τα παρατηρητήρια Δ Ε Ζ, έτσι ώστε το μήκος
ΔΕ+ΕΖ+ΖΔ να είναι το ελάχιστο δυνατό. Που πρέπει να τοποθετηθούν τα παρατηρητήρια; |
|
Μία άλλη κατασκευή (που πρότεινε
και ο <korbas@vol.forthnet.gr>)
είναι να βρούμε τον εγγεγραμμένο κύκλο στο ορθογώνιο τρίγωνο. Στη
συνέχεια τεμαχίζουμε τα δύο ισοσκελή τρίγωνα που έχουν κορυφές τις οξείες γωνίες
του ορθογωνίου τριγώνου και οι βάσεις τους εφάπτονται στον κύκλο. Μας απομένει ένα
πεντάγωνο. Αυτό το τεμαχίζουμε σε πέντε τρίγωνα με κορυφή το κέντρο του κύκλου και
βάσεις τις πλευρές του
πενταγώνου. Το αποτέλεσμα είναι ένας παρόμοιος τεμαχισμός με τον παραπάνω. Για την
ακρίβεια, το σημείο που ενώνονται οι διχοτόμοι των γωνιών είναι και το κέντρο του
εγγεγραμμένου κύκλου. Ετσι η διαφορά των δύο μεθόδων (αν υπάρχει) θα είναι μικρή.
Πάντως για αυτή τη μέθοδο δεν έχω απόδειξη οτι δίνει πάντα σωστό τεμαχισμό και αυτή
τη στιγμή δεν προλαβαίνω να το ψάξω.
Σωστούς τεμαχισμούς έδωσαν
οι "Korbas" <korbas@vol.forthnet.gr>
και "Valia M." <bactiridio@hotmail.com>
Απόδειξη οτι τεμαχισμός δεν
γίνεται σε λιγότερα από 7 οξυγώνια τρίγωνα δεν έδωσε κανείς.
Η απόδειξη αυτή έχει ως εξής:
Υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο
μέσα στο ορθογώνιο τρίγωνο που είναι κορυφή σε ένα τεμάχιο που προκύπτει. Αλλιώς
κάθε γραμμή που φέρουμε για τεμαχίσουμε μια ορθή ή αβλεία γωνία σε δύο ξείες γωνίες
τέμνει μία πλευρά και δημιουργεί είτε δύο νέες ορθές είτε μία νέα οξεία και μία
νέα αμβλεία γωνία. Αφού ξεκινάμε με μία οργή γωνία αυτό σημαίνει οτι πάντα θα έχουμε
μία γωνάι που δεν είναι οξεία και επομένως δεν θα επιτύχουμε ποτέ τον ζητούμνο τεμαχισμό.
Από αυτό το εσωτερικό σημείο,
ξεκινάνε τουλάχιστον πέντε γραμμές. Αλλιώς θα υπήρχε μία τουλάχιστον γωνία με κορυφή
αυτό το σημείο που δεν θα ήταν οξεία. Επομένως, υπάρχουν πέντε τουλάχιστον τρίγωνα
με κορυφή το εσωτερικό σημείο.
Από τις γραμμές που ξεκινούν
από το εσωτερικό σημείο, σε ένα σωστό και βέλτιστο τεμαχισμό, δεν είναι δυνατόν
τρεις από αυτές
να καταλήγουν στην ίδια πλευρά του αρχικού ορθογωνίου τριγώνου (περιλαμβανομένων
των κορυφών) γιατί τότε ένα τουλάχιστον από τα δύο τρίγωνα που θα δημιουργούνταν
δεν θα ήταν οξυγώνιο (και άρα ή ο τεμαχισμός θα ήταν λάθος ή δεν θα ήταν βέλτιστος
γιατί το τρίγωνο αυτό θα έπρεπε να τεμαχιστεί σε τουλάχιστον όσα τρίγωνα θα έδινε
ο βέλτιστος τεμαχισμός για το αρχικό πρόβλημα).
Επομένως, αν τρεις από αυτές
τις πέντε γραμμές καταλήγαν στις κορυφές του αρχικού τριγώνου τότε οι δύο άλλες
γραμμές δεν θα μπορούσαν να καταλήγουν σε καμμία πλευρά. Επίσης, αν δύο από τις
γραμμές καταλήγαν σε κορυφές του αρχικού τριγώνου τότε καμμία από τις άλλες τρείς
δεν θα μπορούσε να καταλήγει στην πλευρά που ενώνει τις δύο αυτές κορυφές, ενώ μόνο
από μία γραμμή θα μπορούσε να καταλήγει σε κάθε μία από τις άλλες πλευρές.
Και στις δύο παραπάνω περιπτώσεις
τουλάχιστον μία γραμμή θα έπρεπε να καταλήγει σε ένα άλλο δεύτερο εσωτερικό σημείο.
Αυτό όμως σημαίνει πως αυτό το δεύτερο σημείο θα ήταν κορυφή για πέντε τουλάχιστον
τρίγωνα, από τα οποία μόνο δύο μπορεί να είναι ίδια με τα πέντε τρίγωνα που έχουν
κορυφή το πρώτο εσωτερικό σημείο. Επομένως ένας τέτοιος τεμαχισμός θα έδινε τουλάχιστον
8 τρίγωνα.
Αρα σε ένα βέλτιστο τεμαχισμό,
από τις πέντε γραμμές που ξεκινούν από το εσωτερικό σημείο το πολύ μία γραμμή καταλήγει
σε κορυφή του αρχικού τριγώνου. Αυτό όμως σημαίνει πως οι δύο άλλες κορυφές δεν
ανήκουν σε κανένα από τα πέντε προαναφερθέντα τρίγωνα. Υπάρχουν, λοιπόν, τουλάχιστον
άλλα δύο τρίγωνα. Επομένως ένας βέλτιστος τεμαχισμός έχει τουλάχιστον 7 οξυγώνια
τρίγωνα.
Ήταν κάποτε ένας πόντιος
ξυλοκόπος ο οποίος βλέπει μια διάφημιση σε ένα περιοδικό για ένα καινούριο πριόνι
το οποίο μπορεί να κόβει 100 ξύλα την ημέρα. Eντυπωσιασμένος τρέχει στο μαγαζί που
το πουλάει, το αγοράζει.Ξυπνάει την άλλη μέρα πρωι πρωί αρχίζει να κόβει ξύλα αλλά
το βράδυ που τα μετράει ήταν 50.Δεν μπορεί λέει θα έιναι χαλασμένο το πριόνι.Μετά
όμως θυμάται οτι στη διαφήμιση του περιοδικού το διαφήμιζε ένας μπρατσαράς, οπότε
σκέφτεται οτι θα φταιέι οτι αυτός είναι κοκκαλιάρης. Αρχίζει λοιπόν κάνει γυμναστικές,
ξυπνάει την επόμενη μέρα κόβει πάλι ξύλα με το καινούριο του πριόνι, τα μετράει
το βράδυ, ήταν 70.Αποκλείεται σκέφτεται , το πριόνι έιναι σίγουρα χαλασμένο.Το πάει
λοιπόν πίσω στο μαγαζί που το αγόρασε και εξηγεί στον υπάλληλο τι συνέβει. Τότε
ο υπάλληλος παίρνει το πριόνι να το εξετάσει αν είναι χαλασμένο.Τραβάει το κορδόνι
για να ξεκινήσει να λειτουργει το πριόνι και βλέποντας τον , τον ρωτάει ο Πόντιος
-Πως το έκανες αυτό το κόλπο με το κορδόνι;;;;;;;;;;;;
Η μοιρασιά Ένας Γέρος Άραβας, λίγο πριν πεθάνει, μάζεψε γύρω από το
κρεβάτι του τους τρεις γιους του και τους ανακοίνωσε πως ήθελε να μοιραστούν το
βιός του. Μοναδική του περιουσία ήταν 23 καμήλες. Ο Αχμέντ ο μεγαλύτερος
γιος έπρεπε να πάρει τις μισές, ο Αζίζ έπρεπε να πάρει το ένα τρίτο και ο Αμντούλ
ο μικρότερος το ένα όγδοο. |
|