Σημειώσεις πάνω στις Μαθηματικές Αρχές της Σχετικιστικής Μηχανικής
Μοντέλα και Εφαρμογές
Synopsis
Οι "Σημειώσεις" αυτές προέκυψαν από την ανάγκη του γράφοντος να συστηματοποιήσει τις γνώσεις του γύρω από δύο ζητήματα: (α) πώς μπορούμε να περιγράψουμε τη Σχετικιστική Μηχανική ως ένα αξιωματικό μαθηματικό σύστημα, και (β) πώς συνθέτουμε εφαρμογές και μοντέλα που περιγράφουν φυσικά φαινόμενα, στο πλαίσιο του συστήματος αυτού.
Τόσο η Ελληνική, όσο και η διεθνής βιβλιογραφία δεν παρουσιάζει ιδιαίτερο πλούτο αναφορικά με τα ζητήματα που θίγονται στις ενότητες του παρόντος πονήματος. Έτσι, πέρα από την προσωπική ανάγκη, ελοχεύει και η προσδοκία της συνεισφοράς στα ενδιαφέροντα ανθρώπων που η σκέψη τους έλκεται από σχετικές με τις "Σημειώσεις" θεματικές περιοχές.
Το μαθηματικό υπόβαθρο που απαιτείται για την πλοήγηση στις ενότητες των "Σημειώσεων" περιλαμβάνει μια καλή γνώση του Απειροστικού Λογισμού, Γραμμικής Άλγεβρας και Αναλυτικής Γεωμετρίας, όπως διδάσκονται σε Πανεπιστημιακά Τμήματα Μαθηματικών ή Φυσικών σπουδών. Πέραν τούτων θα χρειαστούν και γνώσεις Εφαρμοσμένης Διαφορικής Γεωμετρίας, οι οποίες όμως περιλαμβάνονται εξ ολοκλήρου στα Παραρτήματα των "Σημειώσεων".
Τα θέματα που αναλύονται στις ακόλουθες ενότητες περιστρέφονται γύρω από μια ακολουθία ερωτημάτων: 'Ποια είναι η γεωμετρική δομή του χωροχρονικού συνεχούς εντός του οποίου περιγράφουμε την κίνηση των σωματιδίων;', 'Πώς θα διαμορφώσουμε τις εξισώσεις κίνησης ενός σωματιδίου, κατ' αντιστοιχία με τη Νευτώνεια Μηχανική;', 'Πώς γενικεύεται η έννοια της δύναμης στη Σχετικιστική Μηχανική;', 'Ποιες μορφές "δύναμης" είναι επιτρεπτές στο πλαίσιο της Σχετικιστικής Μηχανικής;', 'Πώς θα διαμορφώσουμε τα σχετικιστικά μοντέλα γνωστών φυσικών συστημάτων και πώς θα τα συγκρίνουμε με τα αντίστοιχα Νευτώνεια;', 'Πώς θα βρούμε τη χωρική γεωμετρία ενός στιγμιότυπου του χωροχρονικού συνεχούς;'
Βασικές έννοιες και σχέσεις
Χωροχρονικό συνεχές - Καμπύλες - Εφαπτόμενοι χώροι του χωροχρονικού συνεχούς - Διανυσματικά πεδία - Εφαπτόμενη δέσμη - Μετασχηματισμοί συντεταγμένων - Μετρικός τανυστής - Χώρος Minkowski - Αδρανειακό σύστημα αναφοράς - Μετασχηματισμοί Lorentz - Κοσμικές γραμμές - Ιδιόχρονος - Συγχρονισμός χρονομέτρων σε χώρο Minkowski - Παγκόσμιος χρόνος (world-time) - Τετρα-ορμή - Τετρα-δύναμη (δύναμη Minkowski) - Εξισώσεις κίνησης σωματιδίου - Συνοχή - Παράλληλη μετατόπιση διανύσματος κατά μήκος μιας καμπύλης - Συναλλοίωτη διαφόριση διανυσματικού πεδίου - Τα σύμβολα Christoffel - Τανυστής καμπυλότητας - Καμπυλότητα σε ένα επίπεδο Riemannian
Με click στην εικόνα, μπορείτε να μεταφορτώσετε την εργασία σε μορφή αρχείου pdf, αλλιώς (και εφόσον το επιτρέπει ο φυλλομετρητής σας), μπορείτε να τη μελετήσετε απ'ευθείας πάνω στην παρούσα σελίδα.
Αναφορές
Classical Mechanics: Goldstein, Poole & Safko, Addison Wesley, 3d edition.
Electrodynamics and Classical Theory of Fields and Particles: A.O.Barut, Dover edition 1980.
Introduction to Classical Mechanics with Problems and Solutions: David Morin Harvard
University, Cambridge University Press 2008.
Οι "Σημειώσεις" αυτές προέκυψαν από την ανάγκη του γράφοντος να συστηματοποιήσει τις γνώσεις του γύρω από δύο ζητήματα: (α) πώς μπορούμε να περιγράψουμε τη Σχετικιστική Μηχανική ως ένα αξιωματικό μαθηματικό σύστημα, και (β) πώς συνθέτουμε εφαρμογές και μοντέλα που περιγράφουν φυσικά φαινόμενα, στο πλαίσιο του συστήματος αυτού.
Τόσο η Ελληνική, όσο και η διεθνής βιβλιογραφία δεν παρουσιάζει ιδιαίτερο πλούτο αναφορικά με τα ζητήματα που θίγονται στις ενότητες του παρόντος πονήματος. Έτσι, πέρα από την προσωπική ανάγκη, ελοχεύει και η προσδοκία της συνεισφοράς στα ενδιαφέροντα ανθρώπων που η σκέψη τους έλκεται από σχετικές με τις "Σημειώσεις" θεματικές περιοχές.
Το μαθηματικό υπόβαθρο που απαιτείται για την πλοήγηση στις ενότητες των "Σημειώσεων" περιλαμβάνει μια καλή γνώση του Απειροστικού Λογισμού, Γραμμικής Άλγεβρας και Αναλυτικής Γεωμετρίας, όπως διδάσκονται σε Πανεπιστημιακά Τμήματα Μαθηματικών ή Φυσικών σπουδών. Πέραν τούτων θα χρειαστούν και γνώσεις Εφαρμοσμένης Διαφορικής Γεωμετρίας, οι οποίες όμως περιλαμβάνονται εξ ολοκλήρου στα Παραρτήματα των "Σημειώσεων".
Τα θέματα που αναλύονται στις ακόλουθες ενότητες περιστρέφονται γύρω από μια ακολουθία ερωτημάτων: 'Ποια είναι η γεωμετρική δομή του χωροχρονικού συνεχούς εντός του οποίου περιγράφουμε την κίνηση των σωματιδίων;', 'Πώς θα διαμορφώσουμε τις εξισώσεις κίνησης ενός σωματιδίου, κατ' αντιστοιχία με τη Νευτώνεια Μηχανική;', 'Πώς γενικεύεται η έννοια της δύναμης στη Σχετικιστική Μηχανική;', 'Ποιες μορφές "δύναμης" είναι επιτρεπτές στο πλαίσιο της Σχετικιστικής Μηχανικής;', 'Πώς θα διαμορφώσουμε τα σχετικιστικά μοντέλα γνωστών φυσικών συστημάτων και πώς θα τα συγκρίνουμε με τα αντίστοιχα Νευτώνεια;', 'Πώς θα βρούμε τη χωρική γεωμετρία ενός στιγμιότυπου του χωροχρονικού συνεχούς;'