ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ ΠΟΥ ΤΕΜΝΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΜΙΑ ΑΛΛΗ

Posted on 15 Μαρτίου 2015 by mgerovasili
Εικόναοι ευθείες ε1 και ε2 είναι παρ/λες
  • Οι γωνίες που βρίσκονται ανάμεσα στις ευθείες ε1 και ε2ονομάζονται «εντός» (των ευθειών) και όλες οι άλλες «εκτός».
    Εικόνα
Εικόνα
  • Οι γωνίες που βρίσκονται προς το ίδιο μέρος της ευθείας δονομάζονται «επί τα αυτά» (μέρη της ευθείας)
 Εικόνα
  • Δύο γωνίες που βρίσκονται η μία στο ένα κι η άλλη στο άλλο ημιεπίπεδο της ευθείας δ, λέγονται μεταξύ τους «εναλλάξ».
 Εικόνα
  • Από τον συνδυασμό των παραπάνω προκύπτει ότι θα έχουμε τις παρακάτωέξι ονομασίες για τα 16 διαφορετικά ζευγάρια των γωνιών.
    (α) εντός εναλλάξ και (β) εκτός εναλλάξ
    (γ) εντός και επί τα αυτά και (δ) εκτός και επί τα αυτά
    (ε) εντός – εκτός εναλλάξ και (στ) εντός – εκτός επί τα αυτά.
Posted in Α' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ, ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ | Leave a comment

ΚΛΙΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ

Posted on 15 Μαρτίου 2015 by mgerovasili

Η κλίση της ευθείας y = αx

Στην ευθεία y = αx ο λόγος είναι πάντα σταθερός και ίσος με α, δηλαδή:

O λόγος αυτός λέγεται κλίση της ευθείας y = αx. Για παράδειγμα, η ευθεία y = ?2x έχει κλίση ?2.

Posted in ΑΛΓΕΒΡΑ, Β' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ | Leave a comment

ΜΗΚΟΣ ΚΥΚΛΟΥ

Posted on 15 Μαρτίου 2015 by mgerovasili

Το μήκος του κύκλου υπολογίζεται από τη σχέση:L=δπ ή L=2πρ
π = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971…

0 π είναι ο μόνος άρρητος και υπερβατικός, -όπως λέγεται- αριθμός που συναντάται στη φύση.

Στην Παλαιά Διαθήκη φαίνεται ότι ο π θεωρούνταν ίσος με το 3.

Οι Βαβυλώνιοι περίπου το 2.000 π.Χ. θεωρούσαν ότι ο π είτε είναι ίσος με το 3 είτε με το .

Οι Αιγύπτιοι στον πάπυρο του Rhind (1500 π.Χ.) θεωρούσαν ότι το εμβαδόν ενός κύκλου ισούται με όπου δ η διάμετρος του κύκλου, οπότε, π ? 3,16049…

Ωστόσο, οι αρχαίοι Έλληνες ξέφυγαν από τις «χονδρικές» εκτιμήσεις των Βαβυλωνίων και των Αιγυπτίων και έδωσαν επιστημονική μέθοδο για τον υπολογισμό του π. Το συνδύασαν με ένα από τα περίφημα «άλυτα» προβλήματα της Αρχαιότητας: με το πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου, δηλαδή την κατασκευή με κανόνα και διαβήτη τετραγώνου ισεμβαδικού με δοσμένο κύκλο.
Εκτιμήσεις του π
Πολλοί επιστήμονες από την αρχαιότητα (με πρωτόγονα μέσα) μέχρι σήμερα (με σύγχρονους υπερυπολογιστές), προσπάθησαν να βρουν προσεγγίσεις του π με όσο το δυνατόν περισσότερα δεκαδικά ψηφία. Μερικές από αυτές τις προσπάθειες είναι οι παρακάτω:

Posted in Β' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ, ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ | Leave a comment

ΔΥΝΑΜΕΙΣ

Posted on 15 Μαρτίου 2015 by mgerovasili

Πολλές φορές συναντάμε γινόμενα των οποίων όλοι οι παράγοντες είναι ίσοι. Στην περίπτωση αυτή, χρησιμοποιούμε ονομασίες και συμβολικές εκφράσεις όπως φαίνεται παρακάτω.
Εικόνα
  • Το γινόμενο α·α·α· … · α, που έχει ν παράγοντες ίσους με το α, λέγεται δύναμη του α στη ν ή νιοστή δύναμη του α και συμβολίζεται με αν.
  • Ο αριθμός α λέγεται βάση της δύναμης και ο ν λέγεται εκθέτης.
  

Εικόνα
  • Η δύναμη του αριθμού στη δευτέρα, δηλαδή το α2, λέγεται και τετράγωνο του α.
 Εικόνα
  • Η δύναμη του αριθμού στην τρίτη, δηλαδή το α3, λέγεται και κύβος του α.
 Εικόνα
  • Το α1, δηλαδή η πρώτη δύναμη ενός αριθμού α είναι ο ίδιος ο αριθμός α.
 Εικόνα
  • Οι δυνάμεις του 1, δηλαδή το 1ν, είναι όλες ίσες με 1.
 Εικόνα
Posted in Α' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ, ΑΛΓΕΒΡΑ | Leave a comment

ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

Posted on 15 Μαρτίου 2015 by mgerovasili

Γενικά
Ταυτότητα λέγεται κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και αληθεύει για όλες τις τιμές των μεταβλητών της.

Ταυτότητες υπάρχουν πολλές, ορισμένες από αυτές τις συναντάμε πολύ συχνά και γι” αυτό αξίζει να τις θυμόμαστε. Αξιοσημείωτες ταυτότητες είναι:

α) Τετράγωνο αθροίσματος

(α + β)2 = α2 + 2αβ + β2

β) Τετράγωνο διαφοράς

(α – β)2 = α2 – 2αβ + β2

γ) Κύβος αθροίσματος – διαφοράς

(α + β)3 = α3 + 3α2, + 3αβ2 + β3

(α – β)3 = α3 – 3α2β + 3αβ2 – β3

δ) Γινόμενο αθροίσματος επί διαφορά

(α + β)(α – β) = α2 – β2

ε) Διαφορά κύβων – Άθροισμα κύβων

(α – β)(α2 + αβ + β2) = α3 – β3

(α + β)(α2 – αβ + β2) = α3 + β3

 

Posted in ΑΛΓΕΒΡΑ, Γ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ | Leave a comment