Η τέχνη των ψευδαισθήσεων και οι τεχνικές τους

 

Μαθηματικές και λογικές πλάνες

Στον χώρο των μαθηματικών και της λογικής, θα πίστευε κανείς ότι τα παράδοξα δεν έχουν θέση. Κι όμως! Μερικές από τις πιο εντυπωσιακές πλάνες του μυαλού και των αισθήσεων, ανήκουν εδώ.

Τα παραδείγματα είναι πάρα πολλά, κι εδώ θα δούμε μερικά από τα πιο ωραία:

 

Το χαμένο ευρώ

Στα 27 ευρώ που έδωσαν και οι τρεις μαζί, συμπεριλαμβάνονται και τα 2 ευρώ του φιλοδωρήματος. Πρέπει να αφαιρέσουμε και όχι να προσθέσουμε το φιλοδώρημα στο ποσό που πλήρωσαν. Το αποτέλεσμα θα είναι η αξία του κρασιού. Πράγματι: 27 - 2 = 25 ευρώ.

 

Το παράδοξο του Πρωταγόρα

Το παράδοξο δημιουργείται από τη στιγμή που ο όρος της συμφωνίας τους εφαρμοστεί πάνω στη μεταξύ τους δίκη.

Έτσι ο δικαστής πρέπει κατ' αρχήν να θεωρήσει πως η παρούσα δίκη δεν είναι μέρος της μεταξύ τους συμφωνίας. Τότε θα είναι ελεύθερος να αποφασίσει αν η συμφωνία του Πρωταγόρα με τον Αρίστιππο είναι έγκυρη, οπότε ο Αρίστιππος δεν θα πρέπει να πληρώσει ακόμα, ή άκυρη, οπότε ο Αρίστιππος θα πρέπει να πληρώσει τον Πρωταγόρα.

Ας υποθέσουμε τώρα πως ο δικαστής πράγματι θεωρεί πως η παρούσα δίκη δεν είναι μέρος της μεταξύ τους συμφωνίας και επιπλέον θεωρεί τη συμφωνία τους έγκυρη, οπότε αποφασίζει να μην πληρώσει ο Αρίστιππος τον Πρωταγόρα. Τότε το καλύτερο που έχει να κάνει ο Πρωταγόρας είναι να καταγγείλει για δεύτερη φορά στο δικαστήριο τον Αρίστιππο. Ο δικαστής αφού θεώρησε έγκυρη τη συμφωνία τους στην πρώτη δίκη, το ίδιο θα πρέπει να κάνει και στη δεύτερη. Όμως αφού ο Αρίστιππος έχει κερδίσει ήδη μία δίκη θα πρέπει τώρα να πληρώσει!

 

Ανταλλαγή φακέλων

Το λάθος είναι πως στον τύπο υπολογισμού του κέρδους, η Αλίκη δεν θεωρεί το ποσό x ως το μεγάλο ή το μικρό ποσό, αλλά ως ένα ενδιάμεσο που μπορεί είτε να διπλασιασθεί είτε να υποδιπλασιασθεί και γι αυτό καταλήγει εσφαλμένα σε θετική απόδοση.

Ο σωστός τρόπος υπολογισμού του κέρδους είναι πρώτα να θέσει σαν x το μικρό ποσό και σαν 2x το μεγάλο. Αν αλλάξει φακέλους τότε έχει πιθανότητα 1/2 να έχει το μικρό ποσό (x), οπότε το κέρδος της θα είναι x και πιθανότητα 1/2 να έχει το μεγάλο ποσό (2x), οπότε το κέρδος της θα είναι -x. Άρα το αναμενόμενο κέρδος της είναι:

(1/2) * x + (1/2) * -x = 0.

Αυτό σημαίνει πως δεν μπορεί να περιμένει ούτε κέρδος ούτε ζημιά από την αλλαγή φακέλων, οπότε το αν θα δεχθεί να αλλάξει ή όχι εξαρτάται από τη διάθεσή της να ρισκάρει το ποσό που έχει μέσα ο φάκελός της.

 

Το χαμένο τετράγωνο

 

Θέλετε ένα σοκολατάκι;

Με τον ίδιο τρόπο με το προηγούμενο παράδειγμα, το κομμάτι που περισσεύει, αφαιρείται στην πραγματικότητα από την μέση, αφού έπειτα από τις τομές και την αναδιάταξη των κομματιών το συνολικό ύψος της σοκολάτας τελικά γίνεται μικρότερο (Η κινούμενη εικόνα κλέβει λιγάκι!).

 

Αποδείξτε ότι 2=1

Το λάθος γίνεται όταν κάνουμε απαλοιφή του παράγοντα (a - b) από τις δύο πλευρές τις εξίσωσης. Για να γίνει η απαλοιφή πρέπει να διαιρέσουμε με τον παράγοντα (a – b), που όμως επειδή από την αρχή κάναμε την παραδοχή a = b, έχουμε a – b = 0. Άρα διαιρώντας με το (a - b), διαιρούμε με το 0 που δεν είναι δυνατόν!

 

Τα δεκαπέντε ξωτικά

Κοιτάζοντας την πρώτη εικόνα υποθέτουμε (κάπως αυθαίρετα), ότι υπάρχουν στην εικόνα δεκαπέντε ξωτικά, που όλα τους εμφανίζονται τόσο στο άνω μισό της εικόνας, όσο και στο κάτω μισώ της εικόνας. Αυτό δεν είναι απόλυτα σωστό! Υπάρχουν δύο ξωτικά που το ένα βρίσκεται εξ’ ολοκλήρου στο άνω μισό της εικόνας, και το άλλο εξ’ ολοκλήρου στο κάτω μισό της εικόνας, χωρίς να υπάρχει το αντίστοιχό τους.

Στην επόμενη εικόνα, μετά την αναδιάταξη, τα δύο αυτά ξωτικά φαίνεται να «δανείζονται» τμήματα από άλλα ξωτικά!

Έτσι «απασχολούν» ένα άνω μισό και ένα κάτω μισό από τα ξωτικά, που τώρα μετρώντας τα βρίσκουμε δεκατέσσερα!

 

 << Επιστροφή στην προηγούμενη σελίδα >>