Η τέχνη των ψευδαισθήσεων και οι τεχνικές τους

 

Μαθηματικές και λογικές πλάνες

Στον χώρο των μαθηματικών και της λογικής, θα πίστευε κανείς ότι τα παράδοξα δεν έχουν θέση. Κι όμως! Μερικές από τις πιο εντυπωσιακές πλάνες του μυαλού και των αισθήσεων, ανήκουν εδώ.

Τα παραδείγματα είναι πάρα πολλά, κι εδώ θα δούμε μερικά από τα πιο ωραία:

 

Το χαμένο ευρώ

Τρεις φίλοι μπαίνουν σε μια κάβα και αγοράζουν ένα μπουκάλι κρασί που κοστίζει 30 ευρώ δίνοντας 10 ευρώ ο καθένας. Φεύγοντας, τους προλαβαίνει ο υπάλληλος και τους λέει πως έκανε λάθος γιατί το μπουκάλι στοιχίζει 25 και όχι 30 ευρώ και γι' αυτό τους επιστρέφει 5 ευρώ ρέστα.

Αυτοί, αφού δεν μπορούν να μοιράσουν τα 5 ευρώ στα τρία, παίρνουν από 1 ευρώ ο καθένας και δίνουν 2 ευρώ φιλοδώρημα στον υπάλληλο για την καλή του πράξη. Στο τέλος όμως σκέφτονται: Έδωσε ο καθένας μας 10 ευρώ και πήρε ένα πίσω, άρα ο καθένας πλήρωσε 9 ευρώ. Τρεις φορές το 9 μας κάνει 27 και 2 ευρώ για το φιλοδώρημα, 29. Τι έγινε το ένα ευρώ;

 

Το παράδοξο του Πρωταγόρα

Ο Αρίστιππος ζήτησε από τον Πρωταγόρα να του διδάξει Νομική. Επειδή όμως δεν είχε λεφτά να τον πληρώσει, συμφώνησαν ο Πρωταγόρας να πληρωθεί μόλις ο Αρίστιππος κερδίσει την πρώτη του δίκη.

Ο Αρίστιππος όμως δεν τα κατάφερνε καθόλου καλά στο δικαστήριο και έτσι ο Πρωταγόρας του ζήτησε την καταβολή των χρημάτων του, παρόλο που δεν είχε κερδίσει ακόμα καμία δίκη. Ο Αρίστιππος αρνήθηκε επικαλούμενος τη συμφωνία τους και το θέμα έφτασε στα δικαστήρια.

Ο δικαστής που άκουσε την υπόθεση βρέθηκε στο παρακάτω λογικό παράδοξο:

Αν δικαίωνε τον Αρίστιππο με απόφαση να μην πληρώσει τον Πρωταγόρα τότε ο Αρίστιππος θα είχε μόλις κερδίσει την πρώτη του δίκη και για το λόγο αυτό θα έπρεπε να πληρώσει τον Πρωταγόρα.

Αν από την άλλη, δικαίωνε τον Πρωταγόρα με απόφαση να πληρωθεί από τον Αρίστιππο τότε ο τελευταίος δεν θα είχε κερδίσει ακόμα την πρώτη του δίκη και έτσι δεν θα έπρεπε να πληρώσει τον Πρωταγόρα.

Πώς θα βγει ο δικαστής από αυτό το αδιέξοδο;

 

Ανταλλαγή φακέλων

Η Αλίκη και ο Βασίλης τραβάνε στην τύχη από έναν κλειστό φάκελο ο καθένας. Ο οργανωτής του παιχνιδιού τους λέει πως ο κάθε φάκελος έχει μέσα ένα χρηματικό ποσό το οποίο το έχουν ήδη κερδίσει. Τους λέει επίσης ότι ο ένας φάκελος έχει το διπλάσιο ποσό από τον άλλον, χωρίς να τους αποκαλύψει ποιος. Στη συνέχεια τους δίνεται το δικαίωμα αν θέλουν να ανταλλάξουν μεταξύ τους φακέλους.

Η Αλίκη υπολογίζει το κέρδος που αναμένεται να έχει αν δεχτεί να αλλάξει φακέλους ως εξής:

Αν x είναι το ποσό που έχει μέσα ο φάκελός της, τότε με πιθανότητα 1/2 διπλασιάζει το ποσό της, οπότε θα έχει κέρδος x, ενώ με πιθανότητα 1/2 υποδιπλασιάζει το ποσό της, οπότε θα έχει κέρδος -x/2. Σύμφωνα με αυτόν τον συλλογισμό το αναμενόμενο κέρδος της είναι:

(1/2) * x + (1/2) * -x/2 = x/4.

Άρα έχει 25% αναμενόμενο κέρδος αν αλλάξει φακέλους και συνεπώς δέχεται να κάνει την αλλαγή.

Τον ίδιο συλλογισμό κάνει και ο Βασίλης από τη δική του πλευρά και καταλήγει φυσικά στο ίδιο συμπέρασμα, ότι δηλαδή τον συμφέρει κι αυτόν να αλλάξει φακέλους.

Έτσι πραγματοποιείται η αλλαγή. Πριν όμως ανοίξουν τους φακέλους τους και αποκαλυφθούν τα ποσά που κρύβουν, η Αλίκη επαναλαμβάνει τον συλλογισμό της και βρίσκει πως η εκ νέου αλλαγή φακέλων θα της αποφέρει ένα επιπλέον κέρδος λίγο μεγαλύτερο του 25%, το οποίο προκύπτει αν αντί του x στον τύπο βάλουμε το x + x/4 που είναι το ποσό που αναμένει να έχει τώρα στον φάκελό της. Το ίδιο υπολογίζει και ο Βασίλης, οπότε ξανα-αλλάζουν φακέλους και ο καθένας τους θεωρεί πως τώρα έχει ένα αναμενόμενο κέρδος λίγο μεγαλύτερο του 50%. Με το ίδιο σκεπτικό συνεχίζουν να αλλάζουν φακέλους μέχρι να γίνουν και οι δύο πάμπλουτοι.

Στην παραπάνω λογική κάτι πρέπει να πηγαίνει τελείως λάθος, αλλά τι ακριβώς;

 

Το χαμένο τετράγωνο

Παίρνουμε ένα τετράγωνο χαρτόνι και το διαγραμμίζουμε σε δεκατρία επί πέντε, ίσα μικρότερα τετράγωνα. Στη συνέχεια κόβουμε το χαρτόνι πάνω στις γραμμές που φαίνονται στο πρώτο σχήμα.

Αναδιατάσσουμε τα κομμάτια ώστε να σχηματίσουμε το ίδιο σχήμα, με διαφορετική όμως τοποθέτηση των κομματιών όπως φαίνονται στο δεύτερο σχήμα.  

Προς μεγάλη μας έκπληξη λείπει ένα τετραγωνάκι. Αφού όμως τα κομμάτια είναι ίδια και το σχήμα ίδιο, που πήγε το χαμένο τετραγωνάκι;

 

Θέλετε ένα σοκολατάκι;

Από πού περισσεύει το κομμάτι;

 

Αποδείξτε ότι 2=1

Πού είναι το λάθος;

 

Τα δεκαπέντε ξωτικά

Στην παρακάτω κάρτα φαίνονται δεκαπέντε ξωτικά.

Κόβουμε την κάρτα στα σημεία που δείχνουν οι γραμμές και τα αναδιατάσσουμε:

Μετράμε πάλι τα ξωτικά, και είναι δεκατέσσερα! Που πήγε το δεκατοπέμπτο;

 

Μπορείτε να δείτε τις λύσεις εδώ: ΛΥΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΞΗΓΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΔΟΞΩΝ

 

Και δύο "μαγικά" παιχνίδια για τους αγγλόφωνους:

 

 << Επιστροφή στην αρχική σελίδα >>