εικόνα τίτλου

Η καμπύλη  και  η Χιονονιφάδα  του  Koch
 

eikona Koch.jpeg   

     Ο Σουηδός  μαθηματικός Helge von Koch  το  1904 εισήγαγε μια καμπύλη  η οποία φέρει το όνομα
     του και είναι ένα από τα πιο διάσημα  φράκταλ.

Για  την κατασκευή της καμπύλης ξεκινάμε από ένα ευθύγραμμο τμήμα (επίπεδο 0), το οποίο χωρίζουμε σε τρία ίσα μέρη και αντικαθιστούμε το μεσαίο τμήμα με δύο άλλα ώστε να σχηματίζουν μαζί με το τμήμα που έχουμε αφαιρέσει ένα ισόπλευρο τρίγωνο (επίπεδο 1). Στο επίπεδο 1 ορίζεται το βασικό μοτίβο το οποίο στη συνέχεια  επαναλαμβάνεται σε κάθε πλευρά του σχήματος και περνάμε στο επίπεδο 2 .Στη συνέχεια σε κάθε πλευρά του σχήματος που προκύπτει επαναλαμβάνεται το μοτίβο του επιπέδου 1 κ.ο.κ.Στο παρακάτω applet μπορείτε να κατασκευάσετε μέχρι 8 επίπεδα της καμπύλης.

eikona sximata/sxima1.jpg
eikona sximata/sxima2.jpg
eikona sximata/sxima3.jpg

 


 

Η  καμπύλη  του Koch  έχει μια σημαντική ιδιότητα ,χαρακτηριστική σε απλά φράκταλ .Αν παρατηρήσουμε τις παρακάτω εικόνες θα δούμε ότι :

  • Η καμπύλη στο επίπεδο 1 μπορεί  να διαιρέθεί  σε Μ=4 τμήματα τα οποία είναι  όμοια με το αρχικό και μικρότερα κατά μια κλίμακα r = 1/3.
  • Όμοια η καμπύλη στο επίπεδο 2 μπορεί να διαιρεθεί σε 4 τμήματα όμοια με το αρχικό(επι1) αλλά μικρότερα κατά 1/3.Το ίδιο συμβαίνει και στα επόμενα επίπεδα.Η ιδιότητα αυτή λέγεται  αυτοομοιότητα υπό αλλαγή κλίμακας.
eikona epipeda/epi1w.jpg
eikona epipeda/epi2w.jpg
eikona epipeda/epi3w.jpg

Ο λόγος   eikona apod/log.jpg λέγεται  διάσταση ομοιότητας του φράκταλ  .

Στην περίπτωση μας  είνα D=1,2619 .Ο λόγος αυτός  δείχνει την τάση  της καμπύλης να γεμίσει  το χώρο .

 

Η  χιονονιφάδα του  Koch κατασκευάζεται  παίρνοντας ένα ισόπλευρο τρίγωνο και εφαρμόζοντας σε κάθε πλευρά του το μοτίβο της καμπύλης του Koch. Στο παρακάτω applet  μπορείτε να κατασκευάσετε  8 επίπεδα της χιονονιφάδας
 

Παρακάτω υπολογίζουμε μερικά ενδιαφέροντα στοιχεία της   χιονονιφάδας  του  Koch.

eikona apod/apod1.jpg
eikona apod/apod2.jpg
eikona apod/apod3.jpg
eikona apod/apod4.jpg
            eikona apod/apod41.jpg
      eikona apod/apod5.jpg
      eikona apod/apod6.jpg
Στο βιβλίο της  Άλγεβρας  Β -Λυκείου σελ 94  παρουσιάζεται σαν άσκηση η χιονονιφάδα του Koch.

 

Back to Top