εικόνα τίτλου

Εφαπτομένη οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου

Εισαγωγικές έννοιες

Γνωρίζουμε ήδη την έννοια της γωνίας.Στο παρακάτω σχήμα βλέπουμε τη γωνία xoy, την οποία μπορούμε να ονομάσουμε και γωνία ω δηλ με το μικρό γράμμα που έχουμε τοποθετήσει μέσα σ’ αυτήν.

Γνωρίζουμε και το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και πως ονομάζουμε τις πλευρές του.

Στο σημερινό μάθημα θα γνωρίσουμε μια ιδιότητα της γωνίας , η οποία θα μας δώσει την δυνατότητα να κάνουμε εκπληκτικούς υπολογισμούς, όπως π.χ να υπολογίσουμε το ύψος του παρακάτω πύργου


Πρέπει να έχετε ενεργοποίηση java

Στο διπλανό σχήμα έχουμε μια γωνία ω, πάνω στη μία πλευρά της, έχουμε πάρει ένα σημείο Α και έχουμε φέρει την κάθετο ΑΒ προς την άλλη πλευρά της. Φαίνονται επίσης τα μήκη των τμημάτων ΟΒ και ΑΒ. Έχουμε υπολογίσει το πηλίκο και ενδιαφερόμαστε να δούμε, αν το πηλίκο αυτό εξαρτάται από τη θέση του σημείου Α πάνω στην πλευρά της γωνίας. Για να απαντήσουμε στο ερώτημα αυτό θα μετακινήσουμε το σημείο Α για να δούμε αν το πηλίκο θα μεταβληθεί .

Μετακινήστε την μπάρα κάτω από το σχήμα για να μετακινηθεί το Α προς το Ο και παρατηρήσετε τις αλλαγές που θα γίνουν.

Επαναλάβετε κινώντας το Α προς το Y ή αντίθετα. Εύκολα μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι, στις μετακινήσεις αυτές, τα μήκη των τμημάτων ΑΒ ,ΟΒ αλλάζουν, το πηλίκο όμως παραμένει σταθερό. Το πηλίκο λοιπόν δεν εξαρτάται από τη θέση του σημείου Α πάνω στην πλευρά της γωνίας.

Αυξήσετε τώρα τη γωνία για να δείτε αν το πηλίκο θα μεταβληθεί (πατήστε το ποντίκι στο μικρό τετραγωνάκι στην άκρη της ΟΥ και μετακινήστε πάνω ή κάτω ). Παρατηρούμε ότι, το πηλίκο μεταβάλλεται όταν η γωνία αυξάνεται ή ελαττώνεται. Το πηλίκο λοιπόν αυτό εξαρτάται μόνο από τη γωνία ω και όχι από τη θέση του σημείου Α .

Το πηλίκο αυτό το ονομάζουμε, εφαπτομένη της γωνίας ω ,το συμβολίζουμε με εφω , και γράφουμε

Όπως βλέπουμε, για να το υπολογίσουμε χρειαζόμαστε τα μήκη των τμημάτων ΑΒ και ΟΒ δηλ μπορούμε να δουλέψουμε στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΟ.

Έτσι παρακάτω θα πάρουμε μόνο αυτό το τρίγωνο.

και έχουμε

Παρατηρούμε ότι η πλευρά ΑΒ βρίσκεται απέναντι από τη γωνία ω ,ενώ η ΟΒ είναι προσκείμενη στην ω, γι' αυτό μπορούμε να δώσουμε τον παρακάτω ορισμό.

Εφαπτομένη μιας οξείας γωνίας ενός ορθογωνίου τριγώνου ονομάζουμε το πηλίκο της απέναντι κάθετης πλευράς προς την προσκείμενη κάθετη πλευρά της γωνίας ω.


Θα εφαρμόσουμε τα παραπάνω για να υπολογίσουμε τις εφαπτόμενες των οξειών γωνιών στα παρακάτω ορθογώνια τρίγωνα.


Άσκηση 1.

Να υπολογίσετε τις εφαπτόμενες των οξειών γωνιών στο παρακάτω ορθογώνιο τρίγωνο


Άσκηση 2

Να υπολογίσετε τις εφαπτόμενες των οξειών γωνιών στο παρακάτω ορθογώνιο τρίγωνο .

Λύση


Μεταβολή της εφαπτομένης όταν η γωνία αυξάνεται

Χρησιμοποιώντας την παραπάνω εφαρμογή απαντήστε στο ερώτημα

Όταν μια οξεία γωνία αυξάνεται τότε και η εφαπτομένη της

Back to Top