Ακολουθία Fibonacci

Το πρόβλημα που ενέπνευσε τους μεταγενέστερους μαθηματικούς είναι το πρόβλημα που γέννησε την περίφημη ακολουθία Φιμπονάτσι.Στο τρίτο μέρος του liber abaci εμφανίζεται το εξής πρόβλημα:

"Κάποιος τοποθέτησε σε έναν αποκλεισμένο τόπο ένα ζευγάρι κουνελιών. Τα κουνέλια αυτά αναπαράγονται με ρυθμό ένα νέο ζευγάρι τον μήνα και κάθε νέο ζευγάρι γίνεται γόνιμο δύο μήνες μετά κι αναπαράγεται με τον ίδιο ρυθμό. Πόσα ζευγάρια κουνελιών έχουν παραχθεί σε έναν χρόνο από το αρχικό ζεύγος;"

Το αποτέλεσμα είναι η ακολουθία Ο, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,34,55,89, 144, 233, 377, 610 ,987, 1597, 2584,4181, 6765, 10946 ... (ο Φιμπονάτσι παρέλειψε τον πρώτο όρο στο Liber abaci).

Εδώ λοιπόν κάθε νέος όρος είναι το άθροισμα των δύο προηγουμένων όρων.
Η ακολουθία Φιμπονάτσι (Fibonacci) δημιουργεί μία ακολουθία αριθμών που ονομάζονται αριθμοί Φιμπονάτσι και ορίζονται από τον εξής αναδρομικό τύπο: .

Ο αριθμός ζευγαριών των κουνελιών που υπήρχαν στην έναρξη κάθε μήνα είναι : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,

Iδιότητες

Η ακολουθία αυτή έχει πολλές και σημαντικές ιδιότητες. Για παράδειγμα , κάθε δυο διαδοχικοί όροι είναι πρώτοι μεταξύ τους. Επίσης οι αριθμοί Fibonacci εμφανίζονται στο τρίγωνο Pascal. Κάθε διαγώνιος έχει ένα χρώμα. Το άθροισμα κάθε μιας διαγωνίου δίνει ένα αριθμό Φιμπονάτσι

Μεγάλο ενδιαφέρον παρουσιάζει η απεικόνιση της ακολουθίας Fibonacci μέσω των ομώνυμων ορθογωνίων

Επίσης το πηλίκο δύο διαδοχικών αριθμών Φιμπονάτσι τείνει στην χρυσή τομή

Η ακολουθία έχει αποδειχθεί εξαιρετικά χρήσιμη στην Επιστήμη. Η ακολουθία αυτή βρίσκεται παντού στην φύση, στην βάση των ανανάδων και των κουκουναριών, στις κεφαλές των ηλιοτροπιών και στον αριθμό των πετάλων και των φύλλων, ανθέων και φυτών, τη ρύθμιση των φύλλων γύρω από το μίσχο και στον προσδιορισμό θέσης των φύλλων, των τμημάτων και των σπόρων.

(Βλέπε εικόνες)