3.4 Η Υπερβολή |
|
Α. Θεωρία |
Β. Ασκήσεις |
Πακέτο θεωρίας σχολικού βιβλίου |
Aσκήσεις ανάπτυξης |
Παραμετρικές εξισώσεις καμπύλης |
Aσκήσεις πολλαπλής επιλογής |
|
Aσκήσεις Σωστό - Λάθος |
|
Aσκήσεις αντιστοίχισης |
|
Aσκήσεις συμπλήρωσης κενού |
|
Aσκήσεις διάταξης |
|
|
|
Aσκήσεις Σχολικού βιβλίου |
Γ. Εφαρμογές |
|
Ορισμός της υπερβολής
Η υπερβολή ως γεωμετρικός τόπος σημείων του επιπέδου.
|
![Ορισμός της υπερβολής](http://users.sch.gr/fergadioti1/Institude_Geogebra/applets/konikes/Images/yperbola_defin.png) |
|
|
Κατασκευή της Υπερβολής
Τρόπος κατασκευής της υπερβολής με ράβδο. |
![Κατασκευή της Υπερβολής](http://users.sch.gr/fergadioti1/Institude_Geogebra/applets/konikes/Images/yperbola_katas.png) |
|
|
Στοιχεία της υπερβολής 1
Μελέτη της παραβολής x2/α2 - y2/β2 = 1
Άξονας συμμετρίας , κέντρο συμμετρίας , Κορυφές , Εστίες , Άξονες της έλλειψης ,Μήκη αξόνων , Εκκεντρότητα , Ασύμπτωτες , Ορθογώνιο Βάσης , Εξίσωση εφαπτόμενης σε σημείο της κ.λ.π |
![Στοιχεία της υπερβολής 1](http://users.sch.gr/fergadioti1/Institude_Geogebra/applets/konikes/Images/yperbola_shmeiox.png) |
|
|
Στοιχεία της υπερβολής 2
Μελέτη της παραβολής y2/α2 - x2/β2 = 1
Άξονας συμμετρίας , κέντρο συμμετρίας , Κορυφές , Εστίες , Άξονες της έλλειψης ,Μήκη αξόνων , Εκκεντρότητα , Ασύμπτωτες , Ορθογώνιο Βάσης , Εξίσωση εφαπτόμενης σε σημείο της κ.λ.π |
![Στοιχεία της υπερβολής 1](http://users.sch.gr/fergadioti1/Institude_Geogebra/applets/konikes/Images/yperbola_shmeiox.png) |
|
|
Εκκεντρότητα της υπερβολής
Η εκκεντρότητα της υπερβολής ε = γ/α |
![Η εκκεντρότητα της υπερβολής](http://users.sch.gr/fergadioti1/Institude_Geogebra/applets/konikes/Images/yperbola_ekken.png) |
|
|
Εφαρμογή
Το γινόμενο των αποστάσεων ενός τυχαίου σημείου Μ της υπερβολής x2/α2 - y2/β2 = 1 , από τις ασύμπτωτές της, είναι πάντοτε σταθερό. |
![Εφαρμογή](http://users.sch.gr/fergadioti1/Institude_Geogebra/applets/konikes/Images/yperb_efarmogh.png) |
|
|
Ανακλαστική ιδιότητα της υπερβολής - Θεωρητικό μέρος
Θεωρούμε την εφαπτομένη της υπερβολής στο σημείο Μ , και εκ του Μ φέρουμε τις ευθείες ΜΕ1 ,ΜΕ2 ην εφαπτομένη. Η εφαπτομένη διχοτομεί την γωνία Ε1ΜΕ2 , όπου Ε1 , Ε2 είναι οι εστίες της υπερβολής. |
![Ανακλαστική ιδιότητα της υπερβολής - Θεωρητικό μέρος](http://users.sch.gr/fergadioti1/Institude_Geogebra/applets/konikes/Images/anakl_yper_the.png) |
|
|
Ανακλαστική ιδιότητα της υπερβολής - Εφαρμογή
Οι ευθείες οι οποίες κατευθύνονται στην εστία Ε1 της υπερβολής ,όταν προσπίπτουν στον άλλο κλάδο της υπερβολής , ανακλώνται , και , περνούν από την άλλη εστία της υπερβολής. |
![Ανακλαστική ιδιότητα της υπερβολής - Εφαρμογή](http://users.sch.gr/fergadioti1/Institude_Geogebra/applets/konikes/Images/anakl_yperb.png) |
|
|
Παραμετρικές εξισώσεις καμπύλης 1
Δώστε τις παραμετρικές εξισώσεις x(t) = ... ,y(t) = .... , ως συνάρτηση του t , και δείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ(x(t),y(t)) στο επίπεδο.
|
![Παραμετρικές εξισώσεις καμπύλης](http://users.sch.gr/fergadioti1/Institude_Geogebra/applets/konikes/Images/para_nigad.png) |
|
|
Παραμετρικές εξισώσεις καμπύλης 2
Δώστε τις παραμετρικές εξισώσεις x(t) = ... ,y(t) = .... , ως συνάρτηση του t , και δείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ(x(t),y(t)) στο επίπεδο.
|
![Παραμετρικές εξισώσεις καμπύλης 2](http://users.sch.gr/fergadioti1/Institude_Geogebra/applets/konikes/Images/Parametrikes.png) |
|
|