Ομοιότητες
Δύο σχήματα είναι όμοια αν το ένα είναι μεγέθυνση ή σμίκρυνση του άλλου. Παράδειγμα δύο τετράγωνα είναι πάντα όμοια ενώ δύο ορθογώνια όχι, δύο κύκλοι είναι πάντα όμοιοι, δύο παραβολές είναι πάντα όμοιες ενώ δύο ελλείψεις ή υπερβολές δεν είναι υποχρεωτικά όμοιες. Ομοιότητα λοιπόν είναι στο επίπεδο ένας μετασχηματισμός που μεταφέρει σημεία Α, Β στα Α΄, Β΄ώστε Α΄Β΄= κΑΒ για κάθε Α, Β όπου κ σταθερός θετικός αριθμός. Με άλλα λόγια ομοιότητα είναι κάθε μετασχηματισμός του επιπέδου που διατηρεί τους λόγους ευθυγράμμων τμημάτων. Είναι φανερό ότι αν κ =1 έχουμε ισομετρία, συνεπώς οι ισομετρίες είναι μια υποομάδα των ομοιοτήτων.
Κοινές ιδιότητες όλων των ομοιοτήτων είναι:
- Κάθε ομοιότητα απεικονίζει τμήματα σε τμήματα και κύκλους σε κύκλους. Περαιτέρω μπορεί να αποδειχθεί ότι ένας μετασχηματισμός του επιπέδου που έχει την παραπάνω ιδιότητα είναι ομοιότητα. Έτσι η επίπεδη Ευκλείδεια Γεωμετρία που είναι γεωμετρία κύκλων και τμημάτων είναι γεωμετρία ομοιοτήτων.
- Κάθε ομοιότητα διατηρεί τις γεωμετρικές γωνίες. (τμημάτων ή κύκλων).
- Μια ομοιότητα απεικονίζει τρίγωνο σε όμοιο τρίγωνο ή πολύγωνο σε όμοιο πολύγωνο.
- Μια ομοιότητα καθορίζεται πλήρως από τρία μη συνευθειακά σημεία και τις εικόνες τους.
- Υπάρχουν ακριβώς δύο ομοιότητες, μία που διατηρεί τον προσανατολισμό και μία που όχι, που απεικονίζουν ένα διακεκριμένο ζεύγος σημείων σε ένα άλλο επίσης διακεκριμένο
- Κάθε ομοιότητα λόγου κ που δεν είναι ισομετρία και διατηρεί τον προσανατολισμό, είναι ή ομοιθεσία ή σύνθεση στροφής και ομοιοθεσίας λόγου κ με κοινό κέντρο με τη στροφή. Ακόμα μια τέτοια σύνθεση είναι αντιμεταθετική.
- Κάθε ομοιότητα λόγου κ που δεν είναι ισομετρία και δεν διατηρεί τον προσανατολισμό είναι σύνθεση ανάκλασης και ομοιοθεσίας λόγου κ, που έχει το κέντρο της στον άξονα της ανάκλασης.
- Η σύνθεση ομοιοτήτων είναι ομοιότητα και ειδικά η σύνθεση δύο ομοιοτήτων που διατηρούν τον προσανατολισμό διατηρεί επίσης των προσανατολισμό.
Όπως για τις ισομετρίες ο θεμέλιος λίθος ήταν οι ανακλάσεις έτσι και για τις ομοιότητες το ρόλο αυτό έχουν οι ομοιoθεσίες . Για την ακρίβεια υπάρχουν οι εξής αμοιβαία αποκλειόμενες περιπτώσεις ομοιότητας:
Δίνουμε για κάθε περίπτωση μερικές ιδιότητες και αμέσως μετά ακολουθούν τα προβλήματα.
Επόμενο > |
---|