εικόνα τίτλου

Τριχοτόμηση  Γωνίας   -Η  λύση  του  Blaise  Pascal
 

Για να λύσει το πρόβλημα της τριχοτόμησης της γωνίας, ο Pascal  χρησιμοποίησε την κοχλιοειδή καμπύλη που επινόησε ο πατέρας του .Η καμπύλη αυτή ορίζεται ως εξής. Θεωρούμε ένα κύκλο κέντρου Κ και πάνω σ' αυτόν ένα σημείο  Ο το οποίο ονομάζουμε πόλον .Έστω ένα κινητό σημείο Μ του κύκλου ,πάνω στην ΟΜ και εκατέρωθεν του Μ παίρνουμε δύο  σημεία Ρ και Λ  ώστε ΜΡ=ΜΛ=α ,όπου  α δοθέν τμήμα. Όταν το Μ κινείται πάνω στον κύκλο τα Ρ  και Λ γράφουν την κοχλιοειδή καμπύλη. Στο διπλανό σχήμα μπορείτε να την σχεδιάσετε.
Ο  Pascal  παρατήρησε ότι στην ειδική περίπτωση  πού πάρουμε  το τμήμα  α  ίσο με την ακτίνα του κύκλου μπορούμε να τριχοτομήσουμε μια γωνία όπως περιγράφεται παρακάτω .Διαβάστε τις οδηγίες για το σχηματισμό του σχήματος 
Για την απόδειξη  των παραπάνω έχουμε:
Επειδή  η ΚΔ  είναι κάθετη  στη ΟΓ  είναι   eikona sxeseis/sxesi1.jpg
Η  ΓΚΖ  γωνία είναι επίκεντρη και βαίνει στο ίδιο τόξο με την εγγεγραμμένη ΓΟΖ  άρα  θα είναι        
                                                                          eikona sxeseis/sxesi2.jpg
Το σημείο Ρ  ανήκει στην κοχλιοειδή καμπύλη  άρα  ΖΡ=ΖΚ  δηλ το τρίγωνο ΡΚΖ  είναι ισοσκελές και επειδή η γωνία ΚΡΖ  είναι κατακορυφήν  με την ΔΡΟ  θα είναι 
                                                                          eikona sxeseis/sxesi3.jpg
Είναι  επίσης                                    eikona sxeseis/sxesi4.jpg
Εξισώνοντας  τα δεύτερα μέλη  των  (3) και (4) προκύπτει             eikona sxeseis/sxesi5.jpg
Η γωνία  ΑΚΒ  είναι  εξωτερική  στο ισοσκελές  τρίγωνο ΟΚΓ  άρα  ισχύει λόγω  και της (5).
                                           eikona sxeseis/sxesi6.jpg
                                            Άρα        eikona sxeseis/sxesi7.jpg

 

 

Back to Top