Το κόσκινο του Ερατοσθένη

( Ερατοσθένης ο Κυρηναίος 276-198 π.Χ.)

Πρώτος είναι ο αριθμός που διαιρείται ΜΟΝΟ με τον εαυτό του και τη μονάδα. 

Ο Ερατοσθένης επινόησε μια μέθοδο για την εύρεση της ακολουθίας των πρώτων αριθμών που είναι μικρότεροι του ν, η οποία περιγράφεται ως εξής: (Ένα παράδειγμα μέχρι το 300)

Κρατάμε τον πρώτο αριθμό 2 και διαγράφουμε όλα τα πολλαπλάσια του,

στη συνέχεια κρατάμε τον επόμενο πρώτο αριθμό (3) και διαγράφουμε όλα τα πολλαπλάσια του,

συνεχίζουμε με τον ίδιο τρόπο

κρατάμε το 7 και διαγράφουμε όλα τα πολλαπλάσια του,

και πάλι το ίδιο για το 11,

συνεχίζουμε με τους 13, και 17

Όταν θέλουμε τους πρώτους αριθμούς που είναι μικρότεροι από το ν, αρκεί να διαγράψουμε τα πολλαπλάσια όλων των πρώτων αριθμών p, για τους οποίους ισχύει p² < ν

οι πρώτοι αριθμοί μέχρι το 300 είναι:

Στην πρώτη εκατοντάδα υπάρχουν 25 πρώτοι αριθμοί, στην δεύτερη εκατοντάδα υπάρχουν 21 πρώτοι αριθμοί, στην τρίτη εκατοντάδα υπάρχουν 16 πρώτοι αριθμοί κ.ο.κ. στην εκατοντάδα από 901 μέχρι και το 1000 υπάρχουν μόνο 14.

Στην  πρώτη χιλιάδα υπάρχουν 168 πρώτοι αριθμοί, στην χιλιάδα από 999,901 μέχρι το 1,000,000 υπάρχουν μόνο 8 πρώτοι αριθμοί.

Ο κατάλογος των πρώτων αριθμών μας βοηθά να διαπιστώσουμε πως καθώς οι αριθμοί μεγαλώνουν οι πρώτοι αραιώνουν. Ποτέ όμως δεν τελειώνουν. Ποτέ η αραίωση δεν φτάνει στο μηδέν. Το ξεκαθάρισε ο Ευκλείδης τον τρίτο π.Χ αιώνα:

ΔΕΝ υπάρχει ο μέγιστος πρώτος αριθμός.