ΤΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ και οι ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

Τα βασικά ερωτήματα είναι τρία

α. « που θα βρίσκεται ο αρμονικός ταλαντωτής σε κάθε στιγμή στο μέλλον;»

β. « ποιος θα είναι ο ρυθμός μεταβολής της θέσης του (η ταχύτητά του ) σε κάθε στιγμή στο μέλλον;» και

γ. «ποιος θα είναι ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητάς του (η επιτάχυνσή του ) σε κάθε στιγμή στο μέλλον;».

Οι απαντήσεις, σε γλώσσα μαθηματικών, δίνονται με τις τρεις συναρτήσεις

x = Aημωt υ = ωΑσυνωt a = -ω²Αημωt

οι οποίες ισχύουν υπό την προϋπόθεση ότι ως αρχή των χρόνων επιλέξαμε χρονική στιγμή με x=0 και υ>0

Γενικότερα οι συναρτήσεις είναι: x= Aημ(ωt+φ) υ= ωΑσυν(ωt+φ) a = -ω²Αημ(ωt+φ)

Τα σύμβολα x, υ, α παριστάνουν τις ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΤΙΜΕΣ των διανυσματικών μεγεθών θέση (απομάκρυνση) ταχύτητα και επιτάχυνση.

Η αλγεβρική τιμή κάθε διανυσματικού μεγέθους είναι το μέτρο του με πρόσημο καθοριζόμενο από τη φορά του αντίστοιχου διανύσματος σε σχέση με συμφωνημένο άξονα

Ο συνδυασμός των δύο πρώτων σχέσεων (απαλοιφή του χρόνου) μας δίνει την υ² = ω² (Α² – x²)

η οποία, αντιμετωπιζόμενη ως συνάρτηση, μας « λέει» ότι

καθώς το αντικείμενο απομακρύνεται από τη θέση ισορροπίας, κινείται όλο και πιο αργά

Ο συνδυασμός της πρώτης από τις σχέσεις με την τρίτη (απαλοιφή του χρόνου) μας δίνει την α = - ω²x

Αν δούμε τη σχέση αυτή ως ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - με μεταβλητές τα α και x και σταθερά την ω- μπορούμε εύκολα να «διαβάσουμε» ότι «η επιτάχυνση του αντικειμένου είναι ανάλογη προς την απομάκρυνση» αλλά και κάτι - σημαντικό για την εξέλιξη του φαινομένου - ότι «έχει διαρκώς αντίθετο πρόσημο από την απομάκρυνση» ή ότι Η ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΕΤΑΙ ΠΑΝΤΟΤΕ ΠΡΟΣ ΤΗ ΘΕΣΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ

Η ΑΛΓΕΒΡΑ

Καθεμιά από τις παραπάνω σχέσεις έχει κατ’ αρχήν χαρακτήρα αλγεβρικής ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Ωστόσο, όπως συμβαίνει με ανάλογες σχέσεις στη Φυσική, μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε κάποιο πρόβλημα και ως ΕΞΙΣΩΣΗ με ένα άγνωστο.

Αν «δούμε» την υ² = ω² (Α² – x²) ως συνάρτηση με μεταβλητές τις τιμές των υ και x μπορούμε διακρίνουμε τη σχέση ανάμεσα σε ταχύτητα και θέση κατά την εξέλιξη του φαινομένου. Την ίδια όμως σχέση, σε ένα πρόβλημα μας ζητείται να υπολογίσουμε την τιμή του πλάτους της ταλάντωσης μπορούμε να τη δούμε ως εξίσωση με άγνωστο την τιμή του πλάτους Α. Γεγονός πάντως είναι ότι κατά την εξέλιξη του φαινομένου ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ οι τιμές των Α και ω διατηρούνται σταθερές και μεταβάλλονται οι τιμές της θέσης, της ταχύτητας και της επιτάχυνσης.

ΝΕΥΤΩΝΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ στην αρμονική ταλάντωση ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ σελίδα 2

Επιστροφή στην κεντρική σελίδα ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ