Ανδρέας Ιωάννου Κασσέτας

Η Φυσική στην Α΄ Λυκείου

Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ 10.

Η πρώτη ΙΔΕΑ ήταν ότι

τη δύναμη - βάρος –

που επιταχύνει

το κάθε μήλο,

κατά την πτώση του,

την ασκεί

ο πλανήτης Γη

Ακολούθησε μια ΙΔΕΑ εξίσου τολμηρή.

Μια παρόμοια ελκτική δύναμη της Γης

σαν αυτή που επιταχύνει το μήλο στην πτώση του

φθάνει μέχρι το φεγγάρι και του προσφέρει

την αναγκαία κεντρομόλο επιτάχυνση

ώστε να περιφέρεται γύρω από τη Γη.

Μια ελκτική δύναμη, σαν αυτή που ασκεί ο πλανήτης

σε κάθε ροδάκινο, «συγκρατεί» και το φεγγάρι σε τροχιά

Κι ακόμα.

Ελκτική δύναμη ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ

ασκεί ο Ήλιος στη Γη

αλλά

και σε κάθε πλανήτη

που περιφέρεται

γύρω του

Έτος 1686. Με μια από τις τολμηρότερες γενικεύσεις

στην Ιστορία της Σκέψης,

ο Isaac Newton, υποστήριξε ότι

κάθε υλικό Σώμα στου Σύμπαντος

ασκεί ελκτική δύναμη

σε οποιοδήποτε άλλο υλικό σώμα,

οπουδήποτε και να βρίσκεται,

οτιδήποτε και να παρεμβάλλεται μεταξύ τους

Το βάρος κάθε ροδάκινου

δεν είναι παρά

μία εκδήλωση της Παγκόσμιας έλξης

ανάμεσα στο ροδάκινο

και σε ολόκληρο τον πλανήτη Γη.

Η δύναμη που ασκείται από τον πλανήτη Γη

στο φεγγάρι και το αναγκάζει διαρκώς να στρίβει

δεν είναι παρά μία εκδήλωση της Παγκόσμιας έλξης

Η ασκούμενη ελκτική δύναμη ανάμεσα

σε δύο υλικά σημεία μαζών m₁ και m₂

είναι ανάλογη με το γινόμενο των δύο μαζών

και αντιστρόφως ανάλογη με το τετράγωνο

της μεταξύ τους απόστασης

Η σταθερά G λέγεται ΣΤΑΘΕΡΑ ΤΗΣ ΠΑΓΚΟΣΜΙΑΣ ΕΛΞΗΣ.

Ένα περίπου αιώνα μετά τη δημοσίευση του Newton,

o επίσης Άγγλος Henry Cavendish κατάφερε

να μετρήσει την τιμή της G = 6,67.10 ^-11 Nm²/kg² .

Αν το ένα σώμα είναι ομογενής σφαίρα μάζας m₁

για τη δύναμη

την οποία ασκεί

σε ένα υλικό σημείο μάζας m₂

ισχύει F = Gm₁m₂/R²

όπου R η απόσταση του κέντρου της σφαίρας

από τη θέση που βρίσκεται το υλικό σημείο

Αν και τα δύο σώματα είναι

ομογενείς

σφαίρες

μαζών

m₁ και m₂

ισχύει F = Gm₁m₂/R²

Και πώς οδηγήθηκε σε αυτό τον εντυπωσιακό ΝΟΜΟ

για την

ΠΑΓΚΟΣΜΙΑ ΒΑΡΥΤΗΤΑ ;

Που βασίστηκε ;

Ξεκίνησε από ιδέες που είχαν ήδη κυκλοφορήσει

στον αιώνα που γεννήθηκε, τον 17^ο

Αξιοποίησε μια δική του ΙΔΕΑ

για την περιφορά της Σελήνης γύρω από τη Γη

αλλά κυρίως στηρίχτηκε

στους νόμους της ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ

για την κίνηση των πλανητών γύρω από τον Ήλιο.

Αυτό όμως που ήξερα είναι ότι η Εκκλησία

απαγόρευε το να πει κάποιος δημόσια ότι

η Γη περιφέρεται γύρω από τον Ήλιο

και ο Γαλιλαίος οδηγήθηκε στη Ιερά Εξέταση

όταν διατύπωσε την άποψη αυτή.

Πώς διατυπώθηκαν νόμοι για ΠΕΡΙΦΟΡΑ και ΤΗΣ ΓΗΣ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΤΟΝ ΗΛΙΟ ;

Πότε έγινε αυτό ;

Οι νόμοι αυτοί διατυπώθηκαν μία περίπου εικοσαετία

πριν η Καθολική Εκκλησία οδηγήσει τον Γαλιλαίο

στην Ιερά Εξέταση. Η Καθολική εκκλησία ήταν υπερβολικά αυστηρή με το ζήτημα .

Οι νόμοι για «την κίνηση των πλανητών ΓΎΡΩ ΑΠΟ ΤΟΝ ΗΛΙΟ’

διατυπώθηκαν στη Γερμανία από τον Γιόχαν Κέπλερ ο οποίος δεν ήταν καθολικός

Ο Γιόχαν Κέπλερ ήταν κι αυτός

- όπως ο Γαλιλαίος και ο Νεύτων –

ένας πολύ μεγάλος ερευνητής ;

Ο Johann Kepler, - Γιόχαν Κέπλερ – κορυφαίος αστρονόμος της γενιάς του,

στην ηλικία περίπου του Γαλιλαίου,μελέτησε επί χρόνια το αστρονομικό υλικό

για την κίνηση των πλανητών το οποίο είχε συσσωρευτεί,

έκανε και τις δικές του αστρονομικές παρατηρήσεις,

αποδέχτηκε το «ηλιοκεντρικό μοντέλο»

το οποίο δεν είχε ακόμα εδραιωθεί-

ότι μπορούμε δηλαδή να θεωρούμε τον Ήλιο στο κέντρο και τους πλανήτες να περιφέρονται γύρω του –

και κατέληξε σε συμπεράσματα που χαρακτηρίστηκαν Νόμοι του Κέπλερ.

Υποστήριξε ότι η τροχιά κάθε πλανήτη

δεν είναι «τέλειος κύκλος» αλλά είναι έλλειψη

Υποστήριξε επίσης ότι «τα τετράγωνα των περιόδων είναι ανάλογα προς τους κύβους κάποιων αποστάσεων» οι οποίες είναι περίπου οι αποστάσεις των πλανητών Ήλιο

Αυτό ακούγεται

δύσκολο

Το χρονικό διάστημα T της περιφοράς του Άρη το υψώνουμε στο τετράγωνο ( T² )

Παίρνουμε ύστερα την απόσταση R του Άρη από τον Ήλιο και την υψώνουμε στον κύβο ( R³)

Αν διαιρέσουμε το Τ² με το R³ θα βρούμε μια ποσότητα.

Την ΙΔΙΑ ακριβώς ποσότητα θα βρούμε εάν ασχοληθούμε

με οποιονδήποτε άλλο από τους πλανήτες της ηλιακής οικογένειας

Εξακολουθώ να το θεωρώ δύσκολο.

Θα μπορούσα άραγε, χρησιμοποιώντας αυτά που ξέρω από Φυσική,

να καταλήξω στο ίδιο συμπέρασμα ;

Βέβαια . . . .και «αξίζει τον κόπο».

Ενδιαφερόμαστε για έναν από τους πλανήτες ο οποίος έχει μάζα m .

Αν δεχθούμε ότι η τροχιά του είναι κατά προσέγγιση ΚΥΚΛΙΚΗ ακτίνας R

και εφαρμόσουμε τον Δεύτερο Νόμο της κίνησης και τον Νόμο της παγκόσμιας έλξης

Για τη δύναμη F , την οποία ασκεί ο Ήλιος στον πλανήτη ισχύει

F = GM_ΗΛΙΟΥm/R² . Αλλά η F είναι η μοναδική δύναμη που ασκείται

στον, μάζας m, πλανήτη, οπότε,

σύμφωνα με τον Δεύτερο νόμο της κίνησης, F = ma

Η επιτάχυνση α είναι κεντρομόλος επιτάχυνση οπότε α = α_κ = υ²/R

GM_ΗΛΙΟΥ/R² = υ²/R

Η ταχύτητα υ του πλανήτη σχετίζεται με την περίοδο Τ της περιφοράς με την υ = 2πR/ T

Αντικαθιστούμε υ² = 4π²/R² και μετά τις πράξεις

Εφαρμόζοντας δηλαδή τους νόμους του Νεύτωνα

καταλήγουμε μέσα σε τρία λεπτά στο συμπέρασμα

που κατέληξε ο Κέπλερ μετά από δεκαετίες προσπαθειών

Οι τρεις νόμοι του Κέπλερ, όπως κωδικοποιήθηκαν από τους μεταγενέστερους,

ήταν οι ΠΡΩΤΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΝΟΜΟΙ με τη σύγχρονη έννοια.

Ακριβείς διαψεύσιμες προτάσεις

εκφρασμένες στη γλώσσα των μαθηματικών.

Αποτελούσαν μια πρώτη προσπάθεια ΣΥΝΘΕΣΗΣ

της Αστρονομίας με τη Φυσική φιλοσοφία

οι οποίες τα προηγούμενα δύο χιλιάδες χρόνια είχαν προχωρήσει σε δρόμους διαφορετικούς.

Επτά περίπου δεκαετίες αργότερα,

οι τρεις Νόμοι του Κέπλερ για την κίνηση των πλανητών

θα αποτελέσουν, μέσα από την εργασία του Newton

( 1686 ), το θεμέλιο για τη διατύπωση

του Νόμου της παγκόσμιας βαρύτητας.

Γιατί λέμε οι ΤΡΕΙΣ ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΚΕΠΛΕΡ ;

για την κίνηση των πλανητών ;

Εμείς δύο αναφέραμε

Υπάρχει ένας ακόμη νόμος

σύμφωνα με τον οποίο

Τα εμβαδά που διαγράφονται

από το ευθύγραμμο τμήμα «Ήλιος- πλανήτης»

είναι ανάλογα προς τον χρόνο που διαγράφονται.

Η πρόταση διατυπωμένη το 1609

αργότερα θα κωδικοποιηθεί ως

Zweites keplersches Gesetz, Δεύτερος Νόμος του Κέπλερ

Ως Πρώτος Νόμος θεωρείται η πρόταση για ελλειπτική τροχιά .

Ο νόμος με τα τετράγωνα των περιόδων

διατυπώθηκε αργότερα - το 1619 - και θεωρείται ως ο Τρίτος νόμος

Ένα αιώνα μετά τη δημοσίευση του Νεύτωνα, βασιζόμενοι

στην τιμή της σταθεράς G,

την οποία κατάφερε να μετρήσει

ο Cavendish στο «γήινο» εργαστήριό του, οι φυσικοί κατάφεραν το απίστευτο:

ΝΑ ΜΕΤΡΗΣΟΥΝ ΤΗ ΜΑΖΑ ΤΗΣ ΓΗΣ

Φαντάσου ένα οποιοδήποτε αντικείμενο μάζας m ,

στο πεδίο βαρύτητας η δύναμη που ασκείται σε αυτό,

η ΒΑΡΟΣ, σύμφωνα με τον

δεύτερο νευτωνικό νόμο της κίνησης είναι ίση με mg,

ενώ σύμφωνα με τον νόμο της παγκόσμιας έλξης

η ίδια δύναμη είναι ίση με GMm/R².

mg = GM_ΓΗΣm/R² M_ΓΗΣ = gR²/G

και εφόσον έχουμε μετρήσει την ακτίνα της Γης

και μπορούμε να μετράμε εύκολα

την τιμή g της βαρυτικής επιτάχυνσης M_ΓΗΣ = 6.10²⁴ kg

Τον 19^ο αιώνα έκανε την εμφάνισή της στη Φυσική η έννοια ΠΕΔΙΟ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ

Η ιδέα που προηγήθηκε πρότεινε μια διαφορετική απάντηση στο ερώτημα «ποιος ασκεί τη δύναμη βάρος σε ένα αντικείμενο, όπως το μήλο; ». Μέχρι τότε η μοναδική απάντηση ήταν εκείνη του Newton. «Τη δύναμη βάρος την ασκεί ο πλανήτης Γη».

Η καινούρια απάντηση ήταν: « Τη δύναμη βάρος την ασκεί ο ΧΩΡΟΣ γύρω από τη Γη, το πεδίο βαρύτητας» . Πεδίο βαρύτητας λέγεται «χώρος στον οποίο ασκούνται δυνάμεις σε οποιονδήποτε επισκέπτη, αρκεί αυτός να έχει κάποια μάζα ».

Πώς δημιουργείται

ένα πεδίο βαρύτητας ;

Το συγκεκριμένο πεδίο βαρύτητας λέγεται και γήινο πεδίο βαρύτητας και το δημιουργεί ο πλανήτης Γη . Ωστόσο πεδίο βαρύτητας δημιουργείται από οποιαδήποτε σώμα

Δηλαδή και το δικό μου σώμα

δημιουργεί πεδίο βαρύτητας ;

Ναι αλλά είναι ασήμαντο . Το πεδίο βαρύτητας ενός σώματος είναι άμεσα αισθητό εφόσον το σώμα που το δημιουργεί έχει σημαντική μάζα . Η Σελήνη δημιουργεί ένα δικό της πεδίο βαρύτητας, όπως και ο Ήλιος αλλά και κάθε πλανήτης

Υποθέτω ότι το γήινο πεδίο βαρύτητας

είναι ισχυρότερο από εκείνο της Σελήνης.

Είναι έξι περίπου φορές ισχυρότερο. Μια έννοια που επινόησαν οι φυσικοί για να κρίνουν το «πόσο ισχυρό είναι ένα πεδίο βαρύτητας είναι η ΕΝΤΑΣΗ του πεδίου βαρύτητας. Περιγράφει το πόση είναι η δύναμη που ασκείται σε κάθε kg του «επισκέπτη». Για να την υπολογίσουμε διαιρούμε τη δύναμη που θα ασκηθεί με τη μάζα του επισκέπτη . g = F/m. Περιγράφει όμως επίσης και την κατεύθυνση της δύναμης που θα ασκηθεί σε οποιονδήποτε επισκέπτη.

Μα η δύναμη στον επισκέπτη είναι η ΒΑΡΟΣ και όταν διαιρούμε την βάρος με τη μάζα του σώματος προκύπτει η ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ ΤΗΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ. Τι συμβαίνει; Η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι το ίδιο με την ένταση του πεδίου βαρύτητας;

Είναι δύο διαφορετικές έννοιες – διανυσματικά μεγέθη - των οποίων οι τιμές αλλά και οι κατευθύνσεις συμπίπτουν Τις συμβολίζουμε μάλιστα με το ίδιο σύμβολο, το g . Στην περίπτωση του γήινου πεδίου η τιμή της επιτάχυνσης βαρύτητας είναι περίπου 9,8 m/s² . Η ένταση του πεδίου βαρύτητας έχει την ίδια τιμή αν και χρησιμοποιούμε ως μονάδα μέτρησης το Ν/ kg

Πώς διαμορφώνεται

η τιμή αυτή για τον δικό μας πλανήτη;

Η δύναμη που ασκεί ο πλανήτης Γη ( ή το γήινο πεδίο βαρύτητας ) σε ένα σώμα μάζας m που βρίσκεται στην επιφάνεια του πλανήτη μας – μάζας Μ και ακτίνας R - είναι, σύμφωνα με τον νομο της παγκόσμιας έλξης ίση με GMm/R². Άρα η ένταση του πεδίου βαρύτητας ( όπως και η επιτάχυνση της βαρύτητας ) είναι g = GM/R². Η τιμή της δηλαδή διαμορφώνεται από τη μάζα και την ακτίνα του πλανήτη μας. Τα αντίστοιχα στοιχεία για τη Σελήνη διαμορφώνουν μια τιμή 1,6 m/s² (Ν/ kg) , για τον πλανήτη Αφροδίτη 9,1 m/s² και για τον πλανήτη Δία 24,7 m/s² mπερίπου .

Εφόσον είμαι 50 κιλά, το βάρος μου στην επιφάνεια της Γης είναι 490 περίπου νιούτον.

Αν βρεθώ στο Δία θα νιώθω πολύ πιο βαριά ;

Αν υποθέσουμε ότι βρίσκεσαι στην επιφάνεια του Δία, η μάζα σου θα είναι πάντα 50 kg

αλλά το βάρος σου θα είναι πάνω από 1200 νιούτον .

Στην επιφάνεια της Γης η τιμή του g είναι περίπου 9,8 m/s²

Αν απομακρυνθούμε από τη Γη η δύναμη θα ελαττώνεται άρα και η τιμή του g. Νομίζω ότι έχω δίκιο.

Και βέβαια έχεις δίκιο. Αν ένα σώμα μάζας m βρεθεί σε απόσταση x από το κέντρο της Γης – μεγαλύτερη από την ακτίνα – η δύναμη παγκόσμιας έλξης θα είναι GMm/x² άρα η τιμή του g θα είναι GM/x² . Σε «ύψος» 6.370 km – ίσο με την ακτίνα της Γης η τιμή του g θα είναι ίση με το ¼ της αντίστοιχης στη γήινη επιφάνεια

O Νεύτων το είχε φανταστεί.

Αν εκτοξεύσουμε ένα αντικείμενο , από κάποιο ύψος πάνω από την ατμόσφαιρα,

με ορισμένη ταχύτητα κάθετα

στη διεύθυνση του νήματος της στάθμης

το αντικείμενο θα γίνει δορυφόρος

σε κυκλική τροχιά.

Με ποια ταχύτητα

πρέπει να εκτοξεύσουμε

ένα αντικείμενο

ώστε να γίνει δορυφόρος της Γης σε κυκλική τροχιά;

Ας υποθέσουμε ότι το αντικείμενο έχει μάζα m_δ,

ότι εκτοξεύεται με ταχύτητα υ, από κάποιο ύψος πάνω από την ατμόσφαιρα,

κάθετα στη διεύθυνση του νήματος της στάθμης

και έστω ότι τα καταφέραμε και έγινε δορυφόρος σε κυκλική τροχιά ακτίνας R

με κέντρο το κέντρο της Γης

Εφόσον η F είναι δύναμη παγκόσμιας έλξης,

σύμφωνα με τον νόμο της Παγκόσμιας Έλξης ισχύει

F = GM_Γης m_δ/R²

Εφόσον η F είναι η συνισταμένη των ασκουμένων δυνάμεων,

σύμφωνα με τον δεύτερο νόμο της κίνησης ισχύει F = m_δα .

Εφόσον η ασκούμενη δύναμη είναι κάθετη στην ταχύτητα,

η επιτάχυνση του δορυφόρου είναι κεντρομόλος επιτάχυνση άρα α = α_κ = υ²/R

GM_Γηςm_δ/R2 = m_δ υ²/R. Διαπιστώνουμε ότι η μάζα m_δ απλοποιείται και

υ = √GM_Γης/R

υ = √GM/R ;

Πρόκειται

για πολύ μεγάλη ταχύτητα;

Αν η εκτόξευση γίνει από χαμηλό ύψος

είναι περίπου

7,8 km το δευτερόλεπτο

γύρω στα 28000 km την ώρα

Δεν μπορώ να φανταστώ

μια τόσο μεγάλη ταχύτητα

για ένα αντικείμενο όπως ο δορυφόρος.

Και η περίοδος;

Αν η εκτόξευση γίνει από ύψος 1000 km

χρειάζεται ταχύτητα 7,4 km/s

και η περίοδος θα είναι 1 ώρα και 44 λεπτά

ενώ από ύψος 35700 km

η απαιτούμενη ταχύτητα για δορυφοροποίηση είναι γύρω στα 3,1 km/s

Γιατί αναφέρεσαι ειδικά

σε αυτό το ύψος

των 35700 km ;

Γιατί σε αυτή την περίπτωση η περίοδος είναι 24 ώρες,

ίση με την περίοδο της ημερήσιας περιστροφής του πλανήτη μας

και ο δορυφόρος μπορεί εάν εκτοξευθεί κατάλληλα

να διατηρείται ΣΤΑΣΙΜΟΣ,

να βρίσκεται δηλαδή διαρκώς πάνω από το ίδιο σημείο,

να είναι γεωστατικός δορυφόρος

Είπαμε ότι για δορυφοροποίηση σε χαμηλό ύψος

η απαιτούμενη ταχύτητα είναι 7,8 km/s περίπου

εάν του προσδώσουμε μεγαλύτερη ταχύτητα τι θα συμβεί ;

Η ταχύτητα 7, 8 km/s είναι

η απαιτούμενη για να τεθεί σε ΚΥΚΛΙΚΗ τροχιά

εάν του προσδώσουμε μεγαλύτερη ταχύτητα θα τεθεί σε ελλειπτική τροχιά

Οσοδήποτε

μεγαλύτερη ;

Όχι . . Εάν η ταχύτητα

ξεπεράσει το όριο των 11,2 km/s

το αντικείμενο θα διαφύγει από το πεδίο βαρύτητας

Είναι η λεγόμενη « ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΔΙΑΦΥΓΗΣ» από τον πλανήτη μας

και η τιμή της διαμορφώνεται από την πυκνότητα και την ακτίνα του πλανήτη μας

Για περισσότερα

Το φαινόμενο ΚΙΝΗΣΗ ΣΕ ΠΑΡΑΒΟΛΙΚΗ ΤΡΟΧΙΑ