Ανδρέας Ιωάννου Κασσέτας

Τα ερωτήματα υπάρχουν και κυκλοφορούν

Τα ερωτήματα υπάρχουν και κυκλοφορούν. «Πώς παρουσιάζεται στο Principia του Newton το φαινόμενο ΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ;

Τι γίνεται με την έννοια ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ ; Πότε κάνει την εμφάνισή της ;Πώς περιγράφεται το φαινόμενο «ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ σώματος με διαστάσεις; Η έννοια ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ; Η έννοια ΡΟΠΗ ΟΡΜΗΣ, η λεγόμενη και ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ; Ο λεγόμενος θεμελιώδης νόμος για τη ΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ; Τι ρόλο έπαιξε η Αρχή της ελάχιστης δράσης; Ποιος ήταν ο ρόλος των μαθηματικών στην οικοδόμηση της ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ; »

Νεύτων και στροφική κίνηση

Στο Principia , το ενδιαφέρον του Newton για τη στροφική κίνηση των σωμάτων περιορίζεται κυρίως στο ότι για τη στροφική κίνηση ισχύει ο Πρώτος νόμος, και τονίζει ότι «αδρανειακή – χωρίς δυνάμεις - κίνηση μπορεί να είναι και ΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ»

A top, whose parts by their cohesion are continually drawn aside from rectilinear motions, does not cease its rotation, otherwise than as it is retarded by the air. Μια σβούρα, τα τμήματα της οποίας λόγω της συνοχής τους αποκλίνουν συνεχώς από τις ευθύγραμμες κινήσεις τους, δεν παύει να περιστρέφεται εκτός εάν εξαναγκαστεί από τον αέρα.

Από κει και πέρα αναφέρεται σε στροφικές κινήσεις στερεών σωμάτων χωρίς όμως να φαίνεται ότι έχει διακρινει την ιδιαίτερη σημασία των εννοιών ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ και ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ. Αυτό σημαίνει ότι ο λεγόμενος σήμερα «θεμελιώδης νόμος για τη στροφική κίνηση» απορρέει από τους νόμους του Νεύτωνα, αλλά δεν είναι ο Newton εκείνος που τον παρουσίασε.

Η Νέα Μηχανική του Πιερ Βαρινιόν

Το 1687, ένα περίπου έτος μετά την εμφάνιση της πρώτης έκδοσης του νευτωνικού Principia , ο Γάλλος Pierre Varignon στο PROJECT D’UNE NOUVELLE MECHANIQUE- Σχέδιο για μια Νέα Μηχανική – παρουσιάζει την εργασία του πάνω στη Νέα Μηχανική συνδυάζοντας εμπειρικά στοιχεία, Γεωμετρία και Διαφορικό λογισμό. Στη νέα αυτή Μηχανική παρουσιάζει και τον κανόνα του παραλληλογράμμου για τη σύνθεση δύο δυνάμεων τον οποίο έχει ήδη παρουσιάσει στa Corolaries 1 και 2 ο Isaac Newton. Βέβαια η λογική του συγκεκριμένου κανόνα είχε διατυπωθεί έναν περίπου αιώνα πριν από τον πρωτοπόρο Φλαμανδό Simon Stevin.

O Simon Stevin 16 χρόνια μεγαλύτερος από τον Galileo ήταν ένας από τους πρωτοπόρους στην οικοδόμηση της Μηχανικής. Γεννημένος στη Bruges το 1548, πριν ακόμα «δύσει» ο 16^ος αιώνας παρουσίασε την ιδέα ότι η πιεση ενός υγρού σε ισορροπία εξαρτάται μόνο από το «βάθος», απέδειξε ότι σε μία τουλάχιστον ειδική περίπτωση είναι αδύνατον να συμβαίνει αεικίνητο, έδειξε πειραματικά ότι «δύο σώματα διαφορετικού βάρους συνεδεμένα μεταξύ τους πέφτουν ταυτόχρονα», παρουσίασε την ιδέα για τον κανόνα του παραλληλογράμμου. Υπήρξε επίσης πρωτοπόρος στο ότι έγραψε για επίστήμη σε γλώσσα λαϊκή – ολλανδική καθομιλουμένη – αυθαδιάζοντας σε μία μακροχρονη παράδοση που ήθελε ως μαναδική γλώσσα της επιστήμης τα λατινικά.

Στον δρόμο που ανοίχτηκε προχώρησαν ο Γαλιλαίος γράφοντας ιταλικά και ο Καρτέσιος γράφοντας σε γλώσσα γαλλική.

Ωστόσο ο Νεύτων που ακολούθησε έγραψε το Principia στα λατινικά.

Η έννοια ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ

Τα χρόνια που ακολουθούν ο Varignon θα ενδιαφερθεί ιδιαίτερα για την έννοια ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ – Moment d’ une force – αποδίνοντάς της ένα ιδιαίτερο ρόλο στη θεωρητική μελέτη του φαινομένου «ισορροπία» ενώ παρουσιάζει και την απόδειξη του θεωρήματος των ροπών. Βασιζόμενος στον κανόνα του παραλληλογράμμου και σε Ευκλείδεια Γεωμετρία αποδεικνύει ότι το άθροισμα των ροπών ενός συνόλου δυνάμεων ως προς κάποιο σημείο - είναι ίσο με την , ως προς το ίδιο σημείο, ροπή της συνισταμένης τους. Το θεώρημα εξακολουθεί να αναφέρεται ως θεώρημα του Varignon. Ωστόσο η παρουσίαση της έννοιας ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ και του σχετικού θεωρήματος γίνεται στο MECHANIQUE NOUVELLE ou STATIQUE το οποίο παρουσιάζεται ολόκληρο το έργο του αλλά κυκλοφορεί το 1725, τρία δηλαδή χρόνια μετά τον θάνατό του. Την επόμενη χρονιά ο Daniel Bernoulli αναφέρεται και αυτός στην έννοια αποκαλώντας την Drehmoment .

Με την παρέμβαση κυρίως του Βολταίρου και με αφετηρία της μεταφραση των PRINCIPIA στα γαλλικά η ΜΗΧΑΝΙΚΗ του Newton θα διαδοθεί στην ηπειρωτκή Ευρώπη για να «παραδοθεί» ουσιαστικά στους μεγάλους Ευρωπαίους μαθηματικούς οι οποίοι στα εκατό χρόνια που ακολουθούν θα την εμπλουτίζουν αδιάκοπα. Μεγάλοι πρωταγωνστές των εξελίξεων είναι

ο γερμανόφωνος Ελβετός Leonhard EULER ( Λέοναρντ Όιλερ), ο Γαλλο-ιταλός Joseph Luis LAGRANGE και τον 19^ο αιώνα ο Ιρλανδός William Rowan HAMILTON.

Η ΜΗΧΑΝΙΚΗ του Όιλερ

Γεννημένος στη Βασιλεία της Ελβετίας το 1707 ο Leonhard Euler, ο σημαντικότερος μαθηματικός της εποχής του και ένας από τους κορυφαίους όλων των εποχών άφησε σοβαρά «αποτυπώματα» στην οικοδόμηση της Μηχανικής.

Με την πραγματεία του Mechanica (Mechanica, sive motus scientia analytice exposita, 1736) έκανε στη Μηχανική ότι έκανε ο Descartes στη Γεωμετρία. Την απελευθέρωσε από τα δεσμά της συνθετικής παρουσίασης, την έκανε αναλυτική.

Το Principia του Newton θα μπορούσε να είχε γραφτεί από τον Αρχιμήδη. Το Mechanica του Euler δεν θα μπορούσε να έχει γραφτεί από κανέναν Έλληνα. Για πρώτη φορά ολόκληρη η ισχύς του Calculus κατευθύνθηκε στη Μηχανική, σηματοδοτώντας το πέρασμα της βασικής επιστήμης στη σύγχρονη εποχή.

ΜΗΧΑΝΙΚΗ του υλικού σημείου

Στη Mechanica του 1736 υποστηρίζει ότι η σύγκριση δύο δυνάμεων και η μέτρηση μιας δύναμης είναι έργο της Στατικής και στη συνέχεια θεμελιώνει τη δυναμική του σημειακού αντικειμένου ορίζοντας τη δύναμη από τη μεταβολή της κίνησης ενός particle και αποδίδοντάς της σε κάθε στιγμή μια ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ. Ο δεύτερος νόμος της κίνησης παίρνει τη μορφή μιας διαφορική εξίσωσης.

Στην προσεγγίσεις του Newton πάνω στον δεύτερο νόμο δεν υπάρχει ανάγκη μιας αποσαφήνισης για το «ποιες ακριβώς είναι οι έννοιες που περιγράφονται ως ανάλογες» . Με σύμβολα μεταγενέστερα θα μπορούσε να γράφεται F = kdυ ή και Fdt = kdυ όπου η σταθερά k να καθορίζεται από τη μάζα. Ο Newton ποτέ δεν παρουσίασε τον νόμο με τη μορφή μιας διαφορικής εξίσωσης του τύπου F = mdυ/dt ή F = md²r/dt². Όποιος όμως μελετήσει προσεκτικά το PRINCIPIA ( λόγου χάρη στο Proposition XLI του Book Ι ή στο Proposition XXIV του Book ΙΙ ) μπορεί ναι διακρίνει ότι αυτό που πρότεινε ήταν ο δεύτερος νόμος με τη μορφή που τον παρουσιάζουμε σήμερα. ( Ι. Bernard Cohen, Introductions to Newton’ s Principia p. 166)

Στο έργο του Euler ο δεύτερος νόμος για την οποιαδήποτε κίνηση υλικού σημείου παίρνει τη μορφή της διαφορικής εξίσωσης με την οποία τον αποδεχόμαστε σήμερα. F = dp/dt και για αντικείμενο με σταθερή μάζα F = md²r/dt² F = ma .

Η έννοια ΜΗΧΑΝΙΚΟ ΣΤΕΡΕΟ

O Euler ( Όιλερ ) θα θεμελιώσει τον ορισμό της έννοιας ΜΗΧΑΝΙΚΟ ΣΤΕΡΕΟ – CORPUS RIGIDUS - πάνω στην ιδέα ότι πρόκειται για ένα μοντέλο σώματος συγκροτούμενο από pariticuli – σημειακές μάζες – με βασικό του χαρακτηριστικό ότι οι μεταξύ τους αποστάσεις διατηρούνται αναλλοίωτες οτιδήποτε και να συμβεί

Η έννοια ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ

Στο ΠΟΡΙΣΜΑ IV o Νεύτων γράφει : Το κέντρο βάρους δύο ή περισσότερων σωμάτων δεν υφίσταται αλλαγή στην κατάσταση της κίνησης ή της ακινησίας του από τις δράσεις τις ασκούμενες μεταξύ αυτών των σωμάτων. Και γι αυτό το κέντρο βάρους όλων των σωμάτων που αλληλεπιδρούν μεταξύ τους ( εξαιρούνται οι εξωτερικές δράσεις και οι επιβραδύνσεις τους ) είτε είναι ακίνητο είτε εκτελεί ευθύγραμμη ομοιόμορφη κίνηση.

Ο Euler αποδίδει ιδιαίτερη σημασία στο «γεωμετρικό» σημείο ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ . Για κάθε μηχανικό στερεό ορίζει ένα ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ σε αναλογία με το center of gravity – κέντρο βάρους - του Νεύτωνα αποσαφηνίζοντας και τη μεταξύ τους εννοιακή διαφορά.

Θεωρεί ότι δύο γεωμετρικά αυτά σημεία συμπίπτουν εφόσον το σώμα υφίσταται τη δράση της βαρύτητας ή - με μεταγενέστερους όρους - βρίσκεται σε ομογενές πεδίο βαρύτητας . Θεωρεί όμως ότι το κέντρο μάζας έχει μεγαλύτερο εννοιακό πλάτος δεδομένου ότι αναφέρεται στην αδράνεια του σώματος και θα υφίσταται ως έννοια ακόμα και αν το σώμα δεν υφίσταται τη δράση της βαρύτητας οπότε το κέντρο βάρους ως έννοια δεν υφίσταται.

Οι Γάλλοι θα προτιμήσουν τον όρο centre d’ inertie – κέντρο αδράνειας.

Η έννοια ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ

Ο Euler θα προτείνει και την έννοια ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ως προς άξονα.

Εβδομήντα περίπου χρόνια νωρίτερα ο Ολλανδός Christiaan Huygens ( Κρίστιααν Χόιχενς) είχε επιχειρήσει να μελετήσει θεωρητικά την κίνηση του στερεού σώματος και είχε προτείνει μια έννοια η οποία αποτέλεσε

ένα είδος «προγόνου» της ροπής αδράνειας.

O Euler είναι όμως εκείνος που θα αποδώσει στην έννοια ΟΝΟΜΑ και συγκεκριμένο ΟΡΙΣΜΟ, αλλά και θα την επιβάλει ως πρωταγωνίστρια στη Φυσική του μηχανικού στερεού. Η ως προς άξονα ροπή αδράνειας ενός συγκεκριμένου σώματος θα οριστεί ως άθροισμα των mr² των υλικών σημείων από τα οποία συγκροτείται το ΜΗΧΑΝΙΚΟ ΣΤΕΡΕΟ, όπου m η μάζα κάθε υλικού σημείου και r η γεωμετρική απόσταση της θέσης του από τον άξονα. Ο ίδιος χρησιμοποιώντας μια βασική έννοια του Διαφορικού λογισμού - το ολοκλήρωμα- θα προτείνει και τρόπους για τον υπολογισμό της τιμής της σε ομογενή σώματα με συγκεκριμένο γεωμετρικό σχήμα μέσα από τη μαθηματική έννοια ολοκλήρωμα . Σε αυτή την περίπτωση θεωρεί μια κατανομή μάζας του ομογενούς σώματος και προσδιορίζει την τιμή του σχετικού ολοκληρώματος.

Η ανάλυση σε ΜΕΤΑΦΟΡΙΚΗ και ΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

Στο Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum, το οποίο τελικά εκδόθηκε το 1760, θα παρουσιάσει και την θεμελιακή και διατηρούμενη μέχρι σήμερα ιδέα για την κίνηση των σωμάτων. Σύμφωνα με αυτήν, η κίνηση κάθε corpus rigidus μπορεί να θεωρηθεί ως σύνθεση μιας ΜΕΤΑΦΟΡΙΚΗΣ με την ταχύτητα και την επιτάχυνση του κέντρου μάζας και μιας ΣΤΡΟΦΙΚΗΣ περί άξονα ο οποίος διέρχεται από το κέντρο μάζας.

ΜΗΧΑΝΙΚΗ corporum rigidorum

Στο Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum, με αφετηρία τον δεύτερο νευτωνικό νόμο της κίνησης προτείνει τους ΝΟΜΟΥΣ για τη ΜΗΧΑΝΙΚΗ σε κάθε corpus rigidus.

O πρώτος νόμος του Euler

Αναφέρεται σε οποιαδήποτε κίνηση

F = d(mυ_cm)/dt

Για την ειδική περίπτωση όπου η μάζα είναι χρονικά σταθερή

F_εξ = md²r_cm/dt²

Εκτός των άλλων μας διδάσκει καθώς κινείται ένα corpus rigidus μάζας m οποιαδήποτε και να είναι η μορφή της κίνησης του, το γεωμετρικό σημείο ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ θα εκτελεί την κίνηση που θα εκτελούσε ένα σημειακό αντικείμενο μάζας m εάν σε αυτό δρούσαν οι εξωτερικές δυνάμεις οι οποίες ασκούνται στο σώμα .

O δεύτερος νόμος του Euler

Αναφέρεται σε στροφική κίνηση

τ_ο = dL₀/dt

συνδέει την ολική ροπή δύναμης - ως προς Ο- με τον ρυθμό μεταβολής της ροπής ορμής

( στροφορμής ) ως προς Ο. Δεδομένου ότι η ροπή της ορμής (στροφορμή) είναι ίση με το γινόμενο Ι_οω

τ_ο = Ι_οα_γων + ωdI_o/dt και σε περίπτωση που dI_o/dt= 0 τ = Ια_γων

Ο δεύτερος νόμος της κίνησης
έχει τη μορφή	προκειμένου για
F = ma	υλικό σημείο, σε οποιαδήποτε κίνηση, με μάζα σταθερή
F = dp/dt	υλικό σημείο σε οποιαδήποτε κίνηση, ανεξάρτητα του τι συμβαίνει με την τιμή της μάζας
Fεξ = d(mυcm)/dt	σύστημα ανεξάρτητα του «τι συμβαίνει» με την τιμή της μάζας
τ = Ιαγων	στρεφόμενο στερεό με σταθερή ροπή αδράνειας
τ = dL/dt	στρεφόμενο στερεό ανεξάρτητα του τι συμβαίνει με την τιμή της ροπής αδράνειας
τεξ = dL/dt	σύστημα σωμάτων ανεξάρτητα του τι συμβαίνει με την τιμή της ροπής αδράνειας

Το Principia του Νεύτωνα λειτούργησε και ως ΕΝΑΥΣΜΑ.

Από εκεί ξεκίνησε και ένα είδος πυρακγιάς

Το 1743, η οικοδόμηση της Μηχανικής θα εμπλουτιστεί με το έργο Traité de Dynamique

– Πραγματεία πάνω στη Δυναμική - του Γάλλου D’ Alembert ενώ παράλληλα θα κυοφορείται η καινούρια ΙΔΕΑ που θα αποδειχθεί ιδιαίτερα γόνιμη στη διαμόρφωση του τελικού φορμαλισμού της.

Η καινούρια ΙΔΕΑ είναι η επινόηση της έννοιας ΔΡΑΣΗ και η σχετική Αρχή θα ονομαστεί «Αρχή της ελάχιστης δράσης».

η Αρχή της ελάχιστης δράσης

( Οι εξαιρετικές φωτογραφίες που παρουσιάστηκαν

είναι του Ισπανού Chema Madoz )