Let $Q = P ^ {-1} $. Ensuite, nous avons begin{align *} A ^ {-1} (AB) A = A ^ {-1} ABA = IBA = BA, end{align *} donc $AB $ et $BA $ sont similaires. Des matrices similaires représentent la même transformation linéaire après un changement de base (pour le domaine et la plage simultanément). Supposons que $A $ et $B $ soient deux matrices carrées de taille $n $. C`est la substance du théorème suivant. Nous montrerons d`abord que la similitude est une relation d`équivalence. Si $A $ est similaire à $B $, alors nous avons [B = P ^ {-1} AP ] pour une matrice non singulière $P $. Nous allons dire «$A $ est similaire à $B $ par $S $» lorsque nous voulons souligner le rôle de $S $ dans la relation entre $A $ et $B $. Nous illustrons cela en diagonalisant certaines matrices. Ces résultats dans la section OD expliquent une grande partie de notre intérêt récurrent dans l`orthogonalité, et de faire la section un point élevé dans votre étude de l`algèbre linéaire. Les matrices semblables partagent beaucoup de propriétés et ce sont ces théorms qui justifient le choix du mot «semblable.

Exemple HMEM5 est un autre exemple d`une matrice qui ne peut pas être diagonalisée en raison de la différence entre les multiplicités géométriques et algébriques de $ lambda = 2 $, comme c`est l`exemple CEMS6 qui a deux valeurs propres complexes, chacune avec des multiplicités différentes. Étant donné que $A $ est similaire à $I $, il existe une matrice non singulière $P $ telle que [A = P ^ {-1} IP. Supposons que $A $ et $B $ soient des matrices similaires. Avant de lire l`énoncé du théorème suivant, vous pourriez étudier les valeurs propres et les vecteurs propres de l`archétype B et calculer les valeurs propres et les vecteurs propres de la matrice dans l`exemple SMS3. Par exemple, les valeurs propres de la matrice sont les entrées sur la diagonale de la matrice diagonale. Les relations d`équivalence sont importantes dans l`étude de diverses algèbres et peuvent toujours être considérées comme une sorte de version faible de l`égalité. Ensuite, nous avons begin{align *} C & = Q ^ {-1} BQ & = Q ^ {-1} (P ^ {-1} AP) Q & = (PQ) ^ {-1} A (PQ). Archétype a est l`archétype isolé avec une matrice carrée qui n`est pas diagonalisable, car les multiplicités algébriques et géométriques de la valeur propre $ lambda = 0 $ diffèrent. Voici un autre théorème qui nous dit exactement quelles sortes de propriétés partagent des matrices similaires.

Cependant, soyez prudent avec ce théorème. La dimension d`un espace propre ne peut être plus grande que la multiplicité algébrique de la valeur propre par le théorème ME. Quand l`espace propre de chaque valeur propre est ce grand, alors nous pouvons diagonaliser la matrice, et seulement alors. En Voici un maintenant. Laissez $R = PQ $. La notion de deux matrices étant équivalentes aux lignes est un exemple de relation d`équivalence avec laquelle nous travaillons depuis le début du cours (Voir l`exercice RREF. Pouvez-vous imaginer une base plus jolie pour une utilisation avec une matrice? La notion de matrices étant «similaires» est un peu comme dire deux matrices sont équivalentes à la ligne. Nous fermons cette section avec un commentaire au sujet d`un théorème important à venir que nous prouvons dans le chapitre R. En outre, il n`a pas d`importance si nous disons $A $ est similaire à $B $, ou $B $ est similaire à $A $. Si une instruction est vraie alors est l`autre, comme on peut le voir en utilisant $ inverse{S} $ à la place de $S $ (voir théorème SER pour la preuve minutieuse).

Le théorème OD est que chaque matrice hermitienne (définition HM) est diagonalisable (définition DZM), et la transformation de similarité qui accomplit la diagonalisation utilise une matrice unitaire (définition UM). Enfin, nous allons faire référence à $ similar{B}{S} $ comme transformation de similarité lorsque nous voulons souligner la façon dont $S $ change $B $. Depuis $P ^ {-1} IP = i $, nous avons $A = i $. Avec cette catégorie élargie de matrices, le résultat devient une équivalence (Proof technique E). Un tel exemple devrait exister, mais je voudrais trouver le «plus petit». De bonnes choses se produisent quand une matrice est similaire à une matrice diagonale. Définition NRML), qui sont des matrices qui commutent avec leur adjoints. Remarquez que pour les matrices avec uniquement des entrées réelles, nous avons seulement besoin de l`hypothèse que la matrice est symétrique (définition SYM) pour arriver à cette conclusion (exemple ESMS4).

ARCHETYPE B est un autre exemple d`une matrice qui a autant de valeurs propres distinctes que sa taille, et qui est donc diagonalisable par théorème DED. Les puissances d`une matrice diagonale sont faciles à calculer, et lorsqu`une matrice est diagonalisable, il est presque aussi facile.