εικόνα τίτλου

Διπλασιασμός του κύβου -Απόδειξη Απολλωνίου
 

Παρακάτω  παρουσιάζουμε την απόδειξη που   έδωσε  ο   Απολλώνιος    στο πρόβλημα του διπλασιασμού  του κύβου.(Διαβάστε τις οδηγίες )
 
Απόδειξη :

Οι δυνάμεις  των σημείων  Μ  και Κ  ως προς τον κύκλο μας δίνουν τις σχέσεις
                                        ΜΑ·ΜΟ=ΜΒ·ΜΔ      και   ΚΓ·ΚΟ=ΚΔ·ΚΒ    (1).

  Τα  τμήματα  ΜΒ  και ΚΔ  είναι  ίσα ( απόδειξη ) άρα  και  τα  ΜΔ και  ΚΒ έτσι  τα δεύτερα μέλη των (1) είναι ίσα,  άρα και τα πρώτα  δηλ  ΜΑ·ΜΟ = ΚΓ·ΚΟ   άρα         eikona images/doubCubeApollonius_html_eqn15160.gif    (2).

Τα τρίγωνα  ΚΓΒ  και ΚΟΜ  είναι όμοια,  άρα                eikona images/doubCubeApollonius_html_eqn17160.gif   (3)

Επίσης  τα τρίγωνα  ΜΑΒ  και ΜΟΚ είναι όμοια,  άρα      eikona images/doubCubeApollonius_html_eqn17584.gif   (4)

Τα  δεύτερα μέλη  των  (2),(3),(4)  είναι  ίσα,  άρα            eikona images/doubCubeApollonius_html_eqn17932.gif  .
Θέτουμε  ΓΚ=y  ,ΜΑ=x ,είναι και ΓΒ=2α  ,ΑΒ=α  και  η προηγούμενη σχέση  δίνει   eikona images/doubCubeApollonius_html_eqn18419.gif  

Δηλ  καταλήξαμε  στην αναλογία  του Ιπποκράτη και συνεπώς το ζητούμενο τμήμα είναι το ΜΑ
 

Back to Top