εικόνα τίτλου

Διπλασιασμός του κύβου -Η λύση  του  Διοκλή  

   Ο   Διοκλής πέτυχε το διπλασιασμό  του κύβου με τη βοήθεια μιας καμπύλης την οποία ανακάλυψε ο ίδιος και αργότερα ονομάστηκε   κισσοειδή από τον Γεμίνο τον Ρόδιο.
 

Η  κισσοειδής προκύπτει με τον εξής τρόπο.

Στο άκρο μιας διαμέτρου ΟΑ ενός κύκλου φέρουμε μια κάθετο, πάνω σ' αυτήν παίρνουμε ένα σημείο Β  και φέρουμε την ΟΒ η οποία τέμνει τον κύκλο στο Γ.
Πάνω στην ΟΒ ορίζουμε το σημείο  Δ ώστε ΒΔ=ΟΓ.

Καθώς το Β κινείται πάνω στην κάθετο το σημείο Δ γράφει την κισσοειδή καμπύλη. Κινείστε σιγά-σιγά  με το ποντίκι το Β να σχηματιστεί. Η κισσοειδής έχει μια σπουδαια ιδιότητα την οποία θα δούμε παρακάτω.

 
eikona sxima1w.jpg

Έστω   Δ   ένα σημείο   της κισσοειδούς, φέρουμε την ΟΔ   που τέμνει τον κύκλο στο Γ   και την ΑΡ στο Β. Φέρουμε τις   ΓΗ και  ΔΕ κάθετες στην ΟΑ. Επειδή το Δ είναι σημείο της κισσοειδούς είναι   ΟΔ=ΒΓ    και λόγω των παραλλήλων ΔΕ//ΓΗ//ΒΑ   θα είναι ΟΕ=ΑΗ      άρα,  ΕΚ=ΚΗ   και ΟΗ=ΑΕ  

Τα τρίγωνα   ΟΔΕ   και ΟΓΗ είναι   όμοια άρα ισχύει

                                           eikona sxeseis/sxesi1.jpg

  Το τμήμα ΓΗ   είναι ύψος στο ορθογώνιο τρίγωνο ΟΓΑ   άρα,      eikona sxeseis/sxesi2.jpg

     Από τις (1)   και (2) προκύπτει      eikona sxeseis/sxesi3.jpg          

  και επειδή   ΟΕ = ΗΑ, ΟΗ=ΑΕ   και ΓΗ= ΖΕ (από τα ίσα τρίγωνα ΖΕΚ και ΓΚΗ)   η παραπάνω  γράφεται    
                                                                                          eikona sxeseis/sxesi4.jpg

  Η (3) είναι η ιδιότητα της κισσοειδούς και σημαίνει ότι, τα τμήματα ΟΕ και ΖΕ  βρίσκονται σε συνεχή αναλογία με τα ΔΕ και ΑΕ.

 
eikona sxima2w.jpg

Για να λύσουμε   το πρόβλημα   του διπλασιασμού του κύβου   θεωρούμε   ένα τυχαίο κύκλο, γράφουμε την κισσοειδή, παίρνουμε το μέσο Μ του τόξου ΟΑ και φέρουμε   την ΜΚ η οποία θα είναι κάθετη στην ΟΑ και παράλληλη στην ΑΡ .Από το τρίγωνο ΟΑΡ   προκύπτει ότι ΟΜ=ΡΜ   άρα το Μ είναι σημείο της κισσοειδούς .

Παίρνουμε   ένα σημείο  Ν της ΚΜ   ώστε      eikona images/doublingCubeDiocles_html_eqn7269.gif     φέρουμε την ΑΝ η οποία τέμνει την κισσοειδή στο Δ και την ΔΕ κάθετη στην ΟΑ.

Τα τρίγωνα ΑΔΕ   και ΑΚΝ   είναι   όμοια, άρα    

                             eikona sxeseis/sxesi5.jpg

    Το σημείο Δ  ανήκει στην κισσοειδή άρα θα ισχύει η σχέση (3)   δηλ,           eikona sxeseis/sxesi6.jpg

Θέτουμε   ΔΕ=β   ,ΟΕ= x   , ZE = y   και λόγω της (4)   η  παραπάνω γράφεται           eikona sxeseis/sxesi7.jpg

Η  (5)   είναι   η σχέση του Ιπποκράτη και σημαίνει ότι, αν ο κύβος που θέλουμε να διπλασιάσουμε έχει πλευρά   β   τότε   η πλευρά του διπλάσιου κύβου είναι  η   x = OE.  Αν   τώρα ο κύβος μας έχει πλευρά   α   τότε   η πλευρά του διπλάσιου κύβου θα προκύψει από   την σχέση

eikona images/doublingCubeDiocles_html_eqn8404.gif     δηλ   θα κατασκευαστεί  ως τετάρτη ανάλογος   των    β, ΟΕ  και α.

  Αν  πάρουμε   eikona images/doublingCubeDiocles_html_eqn10212.gif    τότε  η παραπάνω διαδικασία   θα δώσει,      eikona sxeseis/sxesi8.jpg

 δηλ  η    x = OE   θα είναι   η πλευρά   του τριπλάσιου   κύβου ,όμοια μπορούμε να βρούμε   την πλευρά   του τετραπλάσιου ,πενταπλάσιου κ.τ.λ κύβου .

   Ο Διοκλής δεν κατάφερε να κατασκευάσει όργανο για τη  χάραξη της κισσοειδούς καμπύλης με συνεχή κίνηση.
Ο Νεύτων  κατασκεύασε το παρακάτω  όργανο για τον σκοπό αυτό.
eikona cissoid1W.jpg

  Το παραπάνω όργανο προσομοιώνουμε με την παρακάτω εφαρμογή. Διαβάστε  τις οδηγίες για την κατασκευή του .

 

 

 

Back to Top