εικόνα τίτλου

Τριχοτόμηση  Γωνίας -Η δεύτερη λύση  του  Πάππου
 

Ο Πάππος  στο έργο του "Μαθηματική συναγωγή" έδωσε  δύο λύσεις στο πρόβλημα της τριχοτόμησης μιας γωνίας.
Η δεύτερη από αυτές,  στηρίζεται σε μία ειδική υπερβολή, που παρουσιάζουμε  αρχικά.

eikona sxima1w.jpg

Έστω δύο σταθερά σημεία  Ε και Δ ,θα βρούμε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Ρ  του επιπέδου  για τα οποία ισχύει  η σχέση   eikona sxesis/sxesi1.jpg

Έστω  Ρ ένα τέτοιο σημείο και  Μ  το μέσο του ΕΔ, φέρουμε την κάθετη στην ΕΔ στο Μ η οποία τέμνει την ΡΔ  στο Κ, τότε   eikona sxesis/sxesi2.jpg

άρα η  ΚΕ  θα είναι διχοτόμος της γωνίας  ΡΕΔ  και η γωνία ΡΚΕ  θα είναι 2ω ως εξωτερική του τριγώνου ΚΔΕ.

Επειδή  η ΚΕ είναι διχοτόμος της γωνίας  ΡΕΔ  ισχύει     eikona sxesis/sxesi3.jpg

Φέρουμε την ΡΒ κάθετη στην ΔΕ  άρα  ΚΜ//ΡΒ  και θα ισχύει   eikona sxesis/sxesi4.jpg

Από τις  (2) και (3) προκύπτει    eikona sxesis/sxesi5.jpg   και επειδή η  είναι ΔΕ=2ΔΜ  θα είναι  

eikona sxesis/sxesi51.jpg

Το  ΜΒ  όμως είναι ίσο με την απόσταση   του Ρ από την ΚΜ  ,άρα  από τη  σχέση  (4) προκύπτει ότι  το Ρ  θα βρίσκεται σε μία υπερβολή με εκκεντρότητα   ε=2,  η οποία θα έχει εστία  το σημείο Ε  και  διευθετούσα  την  ΚΜ . Αν  πάρουμε ένα σημείο  Α πάνω στο ΔΕ  ώστε ΑΕ=2ΜΑ, τότε το Α θα είναι σημείο της υπερβολής όπως επίσης και το Δ  αφού  ΔΕ=2ΔΜ . Αν θεωρήσουμε ένα σύστημα συντεταγμένων του οποίου ο άξονας  ΟΧ να ταυτίζεται με την ΜΕ  τότε τα σημεία Α και Δ  θα είναι οι κορυφές της υπερβολής και το μέσο Ο του ΔΑ  το κέντρο του συστήματος.

Θέτουμε  α=ΟΑ και  επειδή  ε=2  από τη σχέση  eikona sxesis/sxesi7.jpg

     eikona sxesis/sxesi71.jpg

άρα  η υπερβολή έχει εξίσωση             eikona sxesis/sxesi8.jpg

Χρησιμοποιπώντας  την παραπάνω υπερβολή, η τριχοτόμηση μιας γωνίας γίνεται όπως παρουσιάζεται στην παρακάτω εφαρμογή.
 

Απόδειξη:

Επειδή το σημείο Γ ανήκει στην υπερβολή θα είναι  eikona sxesis/sxesia1.jpg. Η γωνία  ΓΟΕ  είναι επίκεντρη  και βαίνει στο ίδιο τόξο με την  ΓΔΕ  άρα θα είναι eikona sxesis/sxesia2.jpg λόγω της προηγούμενης σχέσης.

Όμοια  για την ΔΟΓ θα είναι eikona sxesis/sxesia3.jpg άρα η γωνία ΓΟΕ  θα είναι το ένα τρίτο της ΔΟΕ .
Έτσι  η γωνία  ΑΟΒ  τριχοτομήθηκε.

 

 

 

Back to Top