εικόνα τίτλου

Τριχοτόμηση  Γωνίας -Η  πρώτη λύση  του  Πάππου
 

  Ο Πάππος  στο έργο του "Μαθηματική συναγωγή" έδωσε  δύο λύσεις στο πρόβλημα της τριχοτόμησης μιας γωνίας. Τη μία από αυτές παρουσιάζουμε παρακάτω.

eikona sxima1web.jpg

Έστω  ΑΒΓ  η γωνία που θέλουμε να τριχοτομήσουμε. Από ένα σημείο Δ της ΒΓ φέρουμε την ΔΕ κάθετη στη ΒΑ και την  παράλληλη στην ΒΑ. Θεωρούμε το ευθύγραμμο τμήμα ΗΖ τέτοιο ώστε να είναι ΗΖ=2ΒΔ και η προέκταση του να διέρχεται από το Β.Τότε η γωνία  ΖΒΑ  είναι ίση με το ένα τρίτο της ΑΒΓ.

Πράγματι αν Μ το μέσο της υποτείνουσας ΗΖ του ορθογωνίου τριγώνου ΗΔΖ, θα είναι ΗΜ=ΜΖ=ΔΜ  και επειδή ΗΖ=2ΒΔ  θα είναι ΒΔ=ΔΜ=ΜΖ=ΜΗ.

 Η γωνία  ΔΖΒ=ΖΒΑ λόγω των παραλλήλων ΔΖ//ΒΑ, η γωνία ΜΔΖ=ΜΖΔ  επειδή το τρίγωνο ΜΔΖ  είναι ισοσκελές.
 Η γωνία ΔΜΒ  είναι εξωτερική του τριγώνου ΜΔΖ, άρα θα είναι 2ω και η ΔΒΜ=2ω  από το ισοσκελές τρίγωνο ΒΔΜ.
  Έτσι η γωνία ΑΒΓ είναι ίση με 3ω, άρα  η ω είναι το ένα τρίτο της ΑΒΓ  δηλ  η γωνία τριχοτομήθηκε.

 

         Το  πρόβλημα τώρα είναι,  πως θα κατασκευάσουμε το τμήμα ΗΖ ώστε,  να έχει τα άκρα του πάνω στις γνωστές ευθείες ΔΕ και ΔΖ να έχει μήκος 2ΒΔ  και η προέκταση του να διέρχεται από το Β. Το πρόβλημα αυτό, της κατασκευής ενός τμήματος με δεδομένο μήκος του οποίου να άκρα να βρίσκονται σε γνωστές γραμμές και το ίδιο ή προεκτεινόμενο να διέρχεται από γνωστό σημείο, ήταν γνωστό στους αρχαίους ως  κατασκευή νεύσεως ή απλά νεύσις .
 

   Ο  Παππος έλυσε την παραπάνω νεύση ως εξής.
eikona sxima2web.jpg

Ας υποθέσουμε ότι κατασκευάσαμε το παραπάνω τμήμα  ΗΖ και ας θεωρήσουμε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων με τον άξονα ΟΧ  πάνω στην ΔΖ  και τον ΟΥ να διέρχεται από το Β. Φέρουμε την ΖΚ κάθετη στον ΟΧ , από το Ε την παράλληλη στην ΒΖ η οποία τέμνει την ΖΚ στο Θ και την ΘΙ κάθετη στον ΟΥ.

Τα τρίγωνα  ΒΗΕ  και ΗΔΖ είναι όμοια, άρα ισχύει η σχέση   eikona images/trisectionAngle2_htm_eqn19535.gif   (1).

        Από την (1) προκύπτει  η  ΗΕ·ΟΖ =ΕB·ΕΔ  και επειδή   ΗΕ=ΘΖ  και ΟΖ=ΘΙ  έχουμε  ΘΖ·ΘΙ=ΕΒ·ΕΔ  (2) .
 Αν  (x,y) είναι  οι συντεταγμένες του Θ ως προς το σύστημα  ΟΧΥ  θα είναι  x =ΘΙ  και  y=ΘΖ  και λόγω της (2)  έχουμε                                                x·y = c    (3) ,    όπου  c  το σταθερό γινόμενο  ΕΒ·ΕΔ .

 Από την  (3) προκύπτει ότι, το σημείο Θ ανήκει σε μια γνωστή υπερβολή  και επειδή ΕΘ =ΗΖ=2ΒΔ  θα ανήκει επίσης και στον κύκλο με κέντρο το Ε και ακτίνα 2ΒΔ, έτσι το σημείο Θ κατασκευάζεται ως τομή της υπερβολής και του κύκλου.

      Από την παραπάνω ανάλυση προκύπτει ότι για την κατασκευή του ΗΖ πρέπει να :
  • Πάρουμε ένα τυχαίο σημείο Δ πάνω στην πλευρά ΒΓ της γωνίας και να φέρουμε την ΔΕ.
  • Να ορίσουμε το σύστημα ΟΧΥ.
  • Να κατασκευάσουμε τον κύκλο (Ε,2ΒΔ) και την υπερβολή με εξίσωση την (3),έτσι ορίζεται το σημείο Θ.
  • Να φέρουμε την ΕΘ και την ΘΖ κάθετη στον άξονα ΟΧ, έτσι ορίζεται το Ζ.
  • Να φέρουμε από το Ζ παράλληλη προς την ΕΘ, η οποία θα ορίσει το τμήμα ΖΗ.
 Τα παραπάνω  φαίνονται στην εφαρμογή που ακολουθεί. Πατήστε το πλήκτρο "Start" μέχρι να γράψει "Τέλος" .
 
 

 

 

 

Back to Top