Εισαγωγή στα ατελή πηλίκα μιας διαίρεσης
( Για μαθητές Γυμνασίου. )
1ο Μάθημα
Η διαίρεση με το 7
1. Αν κάνουμε τη διαίρεση 15:7 βρίσκομε πηλίκο 2 και υπόλοιπο 1, για να συνεχίσουμε τη διαίρεση προσθέτουμε το 0 στο 1 γίνεται 10, διαιρούμε το 10 με το 7 και με τον τρόπο αυτό συνεχίζουμε τη διαίρεση επ' άπειρο για να βρούμε τα ψηφία της διαίρεσης μετά την υποδιαστολή.
2. Αν κάνουμε τη διαίρεση 16:7 βρίσκομε πηλίκο 2 και υπόλοιπο 2, για να συνεχίσουμε τη διαίρεση προσθέτουμε το 0 στο 2 γίνεται 20, διαιρούμε το 20 με το 7 και με τον τρόπο αυτό συνεχίζουμε τη διαίρεση επ' άπειρο για να βρούμε τα ψηφία της διαίρεσης μετά την υποδιαστολή.
3. Σε κάθε διαίρεση με το 7 τα πιθανά υπόλοιπα είναι 1,2,3,4,5,6 Έτσι μετά το ακέραιο μέρος του πηλίκου ή μετά την υποδιαστολή θα διαιρούμε το πιθανό υπόλοιπο 1,2,3,4,5,6 με το 7 και βρίσκουμε το υπόλοιπο πηλίκο.
4. Άνοιξε το πρόγραμμα της διαίρεσης, κάνε τις διαιρέσεις 1:7, 2:7, 3:7, 4:7, 5:7, 6:7 έτσι θα βρεις τα δυνατά περιοδικά τμήματα της διαίρεσης με το 7.
5. Παρατηρουμε ότι: Κάθε ατελής διαίρεση με το 7, δίνει πάντα πηλίκο περιοδικό εξαψήφιο αριθμό, που τα ψηφία του ακολουθούν τον παραπάνω κύκλο κατά τη φορά που δείχνει το βέλος, ξεκινώντας σε κάθε διαίρεση από ένα διαφορετικό σημείο του κύκλου, που εξαρτάται από το τελευταίο πηλίκο του ακεραίου μέρους.
π1=κ,142… π2=κ,285… π3=κ,428… π4=κ,571…
π5=κ,714… π6=κ,857…
Η διαίρεση με το 11
1. Αν κάνουμε τη διαίρεση 34:11 βρίσκομε πηλίκο 3 και υπόλοιπο 1, για να συνεχίσουμε τη διαίρεση προσθέτουμε το 0 στο 1 γίνεται 10, διαιρούμε το 10 με το 11 και με τον τρόπο αυτό συνεχίζουμε τη διαίρεση επ' άπειρο για να βρούμε τα ψηφία της διαίρεσης μετά την υποδιαστολή.
2. Αν κάνουμε τη διαίρεση 35:11 βρίσκομε πηλίκο 3 και υπόλοιπο 2, για να συνεχίσουμε τη διαίρεση προσθέτουμε το 0 στο 2 γίνεται 20, διαιρούμε το 20 με το 11 και με τον τρόπο αυτό συνεχίζουμε τη διαίρεση επ' άπειρο για να βρούμε τα ψηφία της διαίρεσης μετά την υποδιαστολή.
3. Σε κάθε διαίρεση με το 11 τα πιθανά υπόλοιπα είναι 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 Έτσι μετά το ακέραιο μέρος του πηλίκου ή μετά την υποδιαστολή θα διαιρούμε το πιθανό υπόλοιπο 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 με το 11 και βρίσκουμε το υπόλοιπο πηλίκο.
4. Άνοιξε το πρόγραμμα της διαίρεσης, κάνε τις διαιρέσεις 1:11, 2:11, 3:11, 4:11, 5:11, 6:11 ... 10:11 έτσι θα βρεις τα δυνατά περιοδικά τμήματα της διαίρεσης με το 11.
π1=κ,0909… π2= κ,1818… π3=κ,2727…
π4= κ,3636… π5=κ,4545…
Παρατήρηση. Τα δυνατά ατελή πηλίκα δίνονται από τους παραπάνω κύκλους αρχίζοντας από τυχαίο ψηφίο του κύκλου και είναι μόνο αυτά.
Ορισμός. Το πλήθος των περιοδικών ψηφίων ενός πηλίκου θα ονομάζουμε αριθμό περιοδικότητας του πηλίκου.
Παρατήρηση. Το άθροισμα των αριθμών περιοδικότητας των δυνατών διαφορετικών πηλίκων, είναι 11-1=10 δηλαδή όσα και τα δυνατά υπόλοιπα.
Η διαίρεση με το 13
Άνοιξε το πρόγραμμα της διαίρεσης, κάνε τις διαιρέσεις 1:13, 2:13, 3:13, 4:13, 5:13, 6:13 ... 12:13 έτσι θα βρεις τα δυνατά περιοδικά τμήματα της διαίρεσης με το 13.
Τι παρατηρείς ;
Η διαίρεση με το 17 και το 19
Άνοιξε το πρόγραμμα της διαίρεσης, κάνε τις διαιρέσεις 1:17, 2:17, 3:17, ... 16:13 έτσι θα βρεις τα δυνατά περιοδικά τμήματα της διαίρεσης με το 17. Ομοίως με το 19
Τι παρατηρείς ;
Αν θέλεις τα 2 μαθήματα να τα διδάξεις, μπορείς να τα κατεβάσεις σε συμπιεσμένη μορφή.