Πυθαγόρειες τριάδες

Οι τριάδες των φυσικών αριθμών x, y, z που συνδέονται με την σχέση x² + y² = z² λέγονται «Πυθαγόρειες τριάδες».

Οι φυσικοί αριθμοί 3, 4, 5 που ικανοποιούν την ισότητα x² + y² = z² αποτελούν μια «Πυθαγόρεια τριάδα».

Πόσες τέτοιες τριάδες υπάρχουν;

Άπειρες!

Ο Ευκλείδης (330-275; π.Χ.) έδωσε μια μέθοδο εύρεσης Πυθαγορείων τριάδων:

Αν λ, μ είναι φυσικοί αριθμοί και λ>μ τότε οι x=λ²-μ², y=2λμ, z= λ²+μ² είναι μια Πυθαγόρεια τριάδα.

Αν x, y, z είναι Πυθαγόρεια τριάδα και κ είναι φυσικός αριθμός, τότε οι κx, κy, κz αποτελούν επίσης Πυθαγόρεια τριάδα.

Αργότερα τον 3ο μ.Χ αιώνα, ο Διόφαντος απέδειξε ότι, από τις παραπάνω προτάσεις του Ευκλείδη προκύπτουν όλες οι Πυθαγόρειες τριάδες.

Δημιουργήστε με το geogebra τις τριάδες αυτές Emilv

Για μεγαλύτερους εκθέτες τι ισχύει;

Το 1637 ο Pierre Fermat έγραψε: «Είναι αδύνατο να γράψουμε ένα κύβο ως άθροισμα δυο κύβων, μια τέταρτη δύναμη ως άθροισμα δυο τετάρτων δυνάμεων ή γενικότερα ένα αριθμό που είναι δύναμη ανώτερη της δεύτερης ως άθροισμα δυο δυνάμεων της ίδιας τάξης.»

Η πρόταση αυτή γνωστή σήμερα ως «Το τελευταίο θεώρημα του Fermat» μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: Αν ο ν είναι φυσικός αριθμός μεγαλύτερος του 2 τότε η εξίσωση x^ν + y^ν = z^ν δεν επαληθεύεται για καμία τριάδα φυσικών αριθμών. Ο δε Fermat είπε : "βρήκα ένα πολύ ωραίο τρόπο απόδειξης αυτής της πρότασης αλλά δυστυχώς το περιθώριο της σελίδας μου δεν την χωρά..

Η απόδειξη του τελευταίου θεωρήματος του Fermat ήρθε τρεισήμισι αιώνες αργότερα, στο τέλος του εικοστού αιώνα από τον Andrew Wiles, αφού προηγουμένως είχε απασχολήσει μεγάλους μαθηματικούς όπως τον Leonard Euler, τον Adrien Marie Legendre, την Sophie Germain, τον Peter Dirichlet, τον Gabriel Lame, τον Joseph Liouville, τον Augustin Cauchy, τον Ernst Kummer και όχι μόνο!

Το ζητούμενο είναι ο χωρισμός ενός τμήματος α σε δύο άλλα όπου ο λόγος του αρχικού

προς το μεγαλύτερο χ να ισούται με τον λόγο του μεγαλύτερου χ προς το μικρότερο α-χ

δηλαδή θέλουμε α/χ = χ/(α-χ) και η εξίσωση αυτή καταλήγει σε εξίσωση β' βαθμού, όπου την λύνουμε

(αν θέλουμε για ευκολία παίρνουμε α=1)και διαπιστώνουμε ότι

ο λόγος αυτός ισούται με (sqr(5)+1)/2 περίπου 0,62

συμβολίζουμε φ=1,62 ή 1,618 είναι απειροψήφιος

Οι αρχαίοι Έλληνες και οι κατασκευές τους

θεωρούσαν ότι έδινε την αίσθηση της αρμονίας στα σχήματα

Υπάρχει μία απίστευτη Γεωγραφική συμμετρία του Ελλαδικού χώρου και των αποστάσεων ή των γεωμετρικών σχημάτων που σχηματίζουν σημαντικά μνημεία της Ελλαδικής αρχαιότητας π.χ Σχηματίζεται ένα ισοσκελές τρίγωνο μεταξύ της Ακρόπολης της Αθήνας, με τον ναό του Ποσειδώνα στο Σούνιο και τον ναό της Αφαίας Αθηνάς στην Αίγινα με απόσταση 242 στάδια.

Σε κάθε γνωστό μνημείο της Αρχαίας Ελλάδας (π.χ μαντείο των Δελφών , το ιερό νησί της Δήλου , το ιερό της Δωδώνης κ.λ.π) όταν "χαράξουμε" Κύκλο με κέντρο το μνημείο και ακτίνα ένα άλλο μνημείο , τότε η νοητή περιφέρεια του κύκλου θα περάσει και από άλλο ένα μνημείο ή πόλη ! (π.χ κέντρο "την δωδώνη" και ακτίνα κύκλου "την Αθήνα" .... τότε η περιφέρεια του Κύκλου θα περάσει από την Σπάρτη ! , κέντρο η "οι Δελφοί" - ακτίνα η Αθήνα - θα περάσει η περιφέρεια και από την Ολυμπία... , Δήλος - Αργος - Μηκύνες .... και πάρα πολλά άλλα παραδείγματα...) .
Η Χαλκίδα απέχει απ' την Θήβα και το Αμφιάρειο, 162 (Φ*100) στάδια (το ίδιο) . Η απόσταση Θήβας - Αμφιαρείου είναι 262 στάδια (162 x 1.62 = 2.62 αλλά και 100 x φ2= 262) το τρίγωνο υπακούει στην αρμονία του χρυσού αριθμού φ=1.62. Η Χαλκίδα ισαπέχει επίσης απ' την Αθήνα και τα Μέγαρα 314 στάδια. Δηλαδή παρουσιάζονται ο χρυσός αριθμός φ και το π εκατονταπλασιασμένα.

Η Σμύρνη ισαπέχει απ' την Αθήνα και την Θεσσαλονίκη (1620 στάδια). (Φ x 1000) . Εκτός από την "ιερή" γεωγραφία του αρχαίου Ελλαδικού χώρου , είναι γνωστό ότι το Παρθενώνας έχει κατασκευαστεί με αναλογίες και συνδυασμούς του ΧΡΥΣΟΥ αριθμού Φ = 1,618034 και του π =3,1415927 .

Είναι τυχαίο ότι θεωρείται από το πιο λαμπρά μνημεία στην ιστορία της ανθρωπότητας ;

Η ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ Fibonachi ΚΑΙ Ο ΧΡΥΣΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ.

Να δούμε τώρα την καταπληκτική "θεική" σχέση της σειράς Fibonachi με τον ΧΡΥΣΟ ΑΡΙΘΜΟ Φ=1,618034 .

Κάντε το εξής απλό : διαιρέστε κάθε όρο της ακολουθίας με τον αμέσως προηγούμενο όρο και συγκρίνετε το αποτέλεσμα με το Φ .

όροι	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144	233	377

α_ν+1/α_ν		1	2	1,5	1,666667	1,6	1,625	1,615385	1,619048	1,617647	1,618182	1,617978	1,618056	1,618026

Οσο πιο πολύ προχωρούμε στους μεγαλύτερους όρους της ακολουθίας Fibonachi και κάνουμε την διαίρεση , τόσο πιο πολύ προσεγγίζουμε με καταπληκτική ακρίβεια τον ΧΡΥΣΟ ΑΡΙΘΜΟ 1,618034 .

: Φ= 1,618034 , αλλά και ότι : 1/Φ=0,618034

επίσης ισχύει

Κάθε λόγος στην αρχιτεκτονική μπορεί να περιγραφεί από ένα συναίσθημα. Ένα μόνο είναι αυτό που δημιουργεί το συναίσθημα του τέλειου το ΧΡΥΣΟ ορθογώνιο αυτό δηλαδή που ο λόγος των πλευρών του είναι Φ.

δες το στο geogebra

το Φ στην Γεωμετρία των Fractals από το site math.uoa.gr/alkeos/

(1471 - 1528) Πεντάγωνο. Χρυσή τομή. Ένας καλλιτέχνης του 15ου αιώνα που παρήγαγε ένα fractal αντικείμενο. Θεωρούμε ένα κανονικό πεντάγωνο και στην κάθε πλευρά του ας προσαρτήσουμε από άλλο ένα ίδιο κανονικό πεντάγωνο. Με τον τρόπο αυτόν δημιουργούνται μέσα έξι νέα πεντάγωνα στα οποία εφαρμόζοντας την ίδια διαδικασία λαμβάνουμε ένα fractal απίστευτο για την εποχή του. Από υπολογισμούς μπορούμε να δούμε ότι ο λόγος των πλευρών κάθε ισοσκελούς τριγώνου βρίσκεται στη χρυσή τομή.

το Φ στη Βίβλο του Ισλάμ από το site astro.gr

Η λέξη Κοράνι, πιο σωστά στα Αραβικά Κουράν - Qur'an, προέρχεται από το ρήμα κάρα’α - qara’a που σημαίνει, απαγγέλλω κι αποτελείται από 114 κεφάλαια (Σούρα). Ο αριθμός 114 είναι διαιρετέος με το 19, ήτοι 19*6=114. Το 114 προκύπτει από τη διαίρεση του κύκλου με το π, ήτοι 360/π, όπου π=3,14159 και το 19 εκτός του ότι είναι ο Μετωνικός Αριθμός, προκύπτει επίσης σαν δεκαπλάσιο του π/Φ, όπου Φ=1,618034

Πυθαγόρειες τριάδες "βρήκα ένα πολύ ωραίο τρόπο απόδειξης αυτής της πρότασης αλλά δυστυχώς το περιθώριο της σελίδας μου δεν την χωρά"	Ο χρυσός αριθμός φ
*Καραθεοδωρή Κωνσταντίνος*