Κεντρική σελίδα

Το Χωριό

Καρδαμάς Ηλείας

Άρθρα

 Θέματα Μαθηματικών

Βιογραφικό-Εργασίες

Επικοινωνία

 Συνδέσεις

Επιστημονικές  και  άλλες  Εργασίες

Η καταχώριση  θεμάτων γίνεται σταδιακώς!

Πειραματική Ιστοσελίδα 

 Άγγελου Λιβαθινού,

Καθηγ. Μαθηματικών

 - Στις σελίδες αυτές παρουσιάζουμε ορισμένα μόνον θέματα, επιλεγμένα από την ύλη τών αντιστοίχων Τάξεων τών Σχολείων, μέχρι και θέματα εισαγωγικών Εξετάσεων στα Πανεπιστήμια.

 - Μερικά από τα παρουσιαζόμενα θέματα απευθύνονται όχι μόνον σε Μαθητές ή διδάσκοντες τα Μαθηματικά ( Καθηγητές Μαθηματικών ή Δάσκαλους), αλλά και γενικώς σε φίλους τών Μαθηματικών.

 - Κάποια εξ αυτών τών θεμάτων μπορούν να συμβάλουν και στην διασκέδασή μας ή στην διεύρυνση τών μαθηματικών γνώσεών μας. 

 Καλή Περιήγηση!

Ο Πολλαπλασιασμός 

τών Ακεραίων Αριθμών κατά την Αρχαιότητα

- Με την μέθοδο τών Αιγυπτίων

- Με την Ρώσικη ή Αιθιοπική μέθοδο

( Δύο παλαιοί εναλλακτικοί  και ενδιαφέροντες τρόποι πολλαπλασιασμού ακεραίων,

με την χρήση μόνον τού διπλασιασμού και τού υποδιπλασιασμού)

Υπό τού Άγγελου Λιβαθινού

Καθηγητή Μαθηματικών Μ.Ε.

Εισαγωγή

Η γνωστή σύγχρονη μέθοδος πολλαπλασιασμού δύο ακεραίων αριθμών δεν είναι η μόνη.  Εδώ και αιώνες έχουν προταθή και άλλοι τρόποι για να εκτελούμε πολλαπλασιασμούς δύο ακεραίων αριθμών.

Πρίν κάν  να είναι γνωστό στον άνθρωπο το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης, είχαν εφευρεθή  απλοί τρόποι εκτέλεσης τού πολλαπλασιασμού ακεραίων. Έτσι, οι Αιγύπτιοι, χιλιάδες χρόνια πρό Χριστού, εκτελούσαν πολλαπλασιασμούς ακεραίων με έναν απλό, όσον και εντυπωσιακό, τρόπο, τον οποίον μας παραδίδει ο περίφημος Πάπυρος Rhind.

 Στην παρούσα εργασία θα παρουσιάσουμε αυτόν τον  Αιγυπτιακό αλγόριθμο, αλλά και έναν άλλον ακόμη, που χρησιμοποιούσαν αργότερα οι Ρώσοι και οι Αιθίοπες, τον λεγόμενο Αγροτικό Ρώσικο ή Αιθιοπικό αλγόριθμο πολλαπλασιασμού.

 Γνώμη μας είναι, ότι οι δύο αυτοί αλγόριθμοι είναι κατάλληλοι για να παρουσιασθούν στους μαθητές τόσον τού Δημοτικού σχολείου, όσον και στους μεγαλύτερους, τού Γυμνασίου. Παρουσιάζοντας αυτούς τους εναλλακτικούς τρόπους πολλαπλασιασμού στην Τάξη, θα διεγερθή το ενδιαφέρον τών μαθητών και θα βοηθηθούν να έλθουν πιο κοντά στα Μαθηματικά, απέναντι στα οποία κρατούν συχνά μιά αρνητική στάση.

Η παρουσίαση κάθ’ ενός από τους δύο αυτούς αλγορίθμους  θα γίνει με την εξής διάταξη:

- Πρώτα θα γίνεται η παρουσίαση τού αλγορίθμου με ένα ή περισσότερα απλά παραδείγματα, όπου θα εκθέτουμε αναλυτικώς τα βήματα  εργασίας, και έπειτα

- θα παρουσιάζεται η αιτιολόγηση της μεθόδου, τόσον επί τού παραδείγματος όσον και θεωρητικώς.

Ι. Ο Πολλαπλασιασμός τών Αιγυπτίων ( Aegyptische Multiplikation)

Απαραίτητες γνώσεις:    ο πολλαπλασιασμός επί  2 ( διπλασιασμός) και   η πρόσθεση

 Με τον σύγχρονο συμβολισμό τών ακεραίων και τών πράξεων επ’ αυτών, η μέθοδος τών  Αιγυπτίων έχει ως εξής:

Ι.1. Άς υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε το γινόμενο των αριθμών  27 και 18, δηλαδή το γινόμενο 27.18

Βήμα 1^ο

Στην θέση του πρώτου αριθμού (27)  θέτουμε το 1 , και κατόπιν τους δύο αριθμούς, 1 και 18 , τους τοποθετούμε  τον ένα δίπλα στον άλλον:                                                      1                   18    

Βήμα 2^ο                                                                                                                                                                                  

                                                                                                                                                          27.18= ;

   Βήμα 3^ο  

                                                                                                                        27.18= ;

Βήμα 4^ο  

                                                                                                                         27.18= ;

Συμπέρασμα: Το γινόμενο 27.18 ισούται με 486, δηλαδή είναι  27.18 = 18+36+144+288 = 486

Ι. 2. Εξήγηση και αιτιολόγηση τής μεθόδου

      A) Από το παράδειγμα φαίνεται, ότι αναλύουμε το 27 σε άθροισμα δυνάμεων τού 2:

           27=2⁰+2¹+2³+2⁴ =1+2+8+16, οπότε ισχύει :

           27.18=(2⁰+2¹+2³+2⁴).18=(1+2+8+16).18=1.18+2.18+8.18+16.18=18+36+144+288=486.

      B) Γενικώς: Σε ένα γινόμενο Χ.Ψ, αναλύουμε το Χ σε άθροισμα δυνάμεων τού 2:     Χ= 2^κ₁+2^κ₂+…+2^κ_ν, το

           οποίο είναι πάντοτε και κατά μοναδικόν τρόπον εφικτόν ( μετατροπή αριθμού από το δεκαδικό στο δυαδικό

           σύστημα). Έπειτα, είναι Χ.Ψ= (2^κ₁+2^κ₂+…+2^κ_ν).Ψ= 2^κ₁.Ψ+2^κ₂.Ψ+…+2^κ_ν.Ψ=…

Ι. 3.  Σχόλια

 Α. Η μέθοδος αυτή προτιμάται εις τις περιπτώσεις, κατά τις οποίες έχουμε να πολλαπλασιάσουμε  σχετικώς μικρούς

     αριθμούς, χωρίς να είναι όμως απαγορευτικοί και οι μεγάλοι αριθμοί.

 Β. Είναι προφανές, ότι θα μπορούσαμε να λάβουμε ως πρώτον παράγοντα τον μικρότερο αριθμό, δηλαδή το 18, ώστε

     να υπολογισθή ευκολώτερα το άθροισμα τής αριστερής στήλης: 18.27=(2¹+2⁴).27=…=486

 Γ.  Ανάλογη μέθοδος εφαρμόζεται και για την διαίρεση ακεραίων αριθμών, το αποτέλεσμα τής οποίας μπορεί να είναι

      ακέραιος ή κλασματικός αριθμός.

Ι. 4. Ιστορικό Σχόλιο

 Η μέθοδος αυτή  τών  Αιγυπτίων παρουσιάζεται στον περίφημο πάπυρο Rhind ( στην ιερογλυφική γραφή), ο οποίος χρονολογείται από τον 19^ο αιώνα π.Χ.  Τον Πολλαπλασιασμό, όμως, τον εγνώριζαν  και οι Βαβυλώνιοι ήδη από το 3.000 π.Χ περίπου, καθώς μαθαίνουμε από κείμενα τής σφηνοειδούς γραφής τους.

Πάντως, η πρώτη γραπτή πηγή, εις την οποίαν  εξηγείται η έννοια τού πολλαπλασιασμού, είναι το βιβλίο «Στοιχεία»  

τού μεγάλου Έλληνα Μαθηματικού Ευκλείδη ( Βιβλίο 7, Ορισμός 15), που έζησε περί το 300 π.Χ.

Ι. 5.  Άσκηση

Υπολογίστε, με την βοήθεια τής «μεθόδου τού διπλασιασμού»  ( τών Αιγυπτίων), τα κατωτέρω γινόμενα:

α) 43.92,      β) 39.79,   γ) 64.53,   δ) 196.46,   ε) 128.58

IΙ. Ο Αγροτικός  Ρώσικος Πολλαπλασιασμός ή Πολ/σμός τών Αιθιόπων

( Russische Bauernmultiplikation ή  Abessinische Bauernmultiplikation)

 Απαραίτητες γνώσεις:  η έννοια τού περιττού και τού αρτίου αριθμού, η διαίρεση διά 2 , ο πολλαπλασιασμός

  επί 2 (διπλασιασμός), και η πρόσθεση

ΙI. 1.    Άς υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε το γινόμενο των αριθμών  35 και 91, δηλαδή το γινόμενο 35.91

Βήμα 1^ο

Tους δύο αριθμούς, 35  και  91 , τους τοποθετούμε  τον ένα δίπλα στον άλλον:          35             91

Βήμα 2^ο

1) Στην αριστερή στήλη, επειδή ο  αριθμός (35) είναι περιττός, τον μειώνουμε κατά μία μονάδα (34), ώστε να

    λάβουμε  άρτιον αριθμό, και  το 34 το υποδιπλασιάζουμε ( διαιρούμε διά 2) και γράφουμε το πηλίκο 17 κάτω

    από τον 35.

   Τον αριθμό τής δεξιάς στήλης (91) τον διπλασιάζουμε και το απότέλεσμα 182 το θέτουμε κάτω από  το 91.

2)  Στην αριστερή στήλη, επειδή ο  αριθμός (17) είναι περιττός, τον μειώνουμε κατά μία μονάδα (16), ώστε να

     λάβουμε άρτιον αριθμό, και  το 16 το υποδιπλασιάζουμε ( διαιρούμε διά 2) και γράφουμε το πηλίκο 8 κάτω από

     τον 17.

     Τον αριθμό τής δεξιάς στήλης (182) τον διπλασιάζουμε και το απότέλεσμα 364 το θέτουμε κάτω από το 182.

3) Στην αριστερή στήλη, επειδή ο  αριθμός (8) είναι άρτιος, τον υποδιπλασιάζουμε ( διαιρούμε διά 2) και γράφουμε

   το πηλίκο 4 κάτω από τον 8.

   Τον αριθμό τής δεξιάς στήλης (364) τον διπλασιάζουμε και το απότέλεσμα 728 το θέτουμε κάτω από το 364.

Η επαναληπτική αυτή διαδικασία συνεχίζεται μέχρι που να προκύψει στην αριστερή στήλη  ο αριθμός 1(η μονάδα).

                                                                                                                                          35.91=;  

Βήμα 3^ο

1) Από τον πίνακα  τών αριθμών, με τις δύο στήλες,  που έχει δημιουργηθή, αγνοούμε ( ή διαγράφουμε ) τις γραμμές

    εκείνες, που έχουν άρτιο τον αριστερό αριθμό.

     Εδώ, δηλαδή, αγνοούμε

- την γραμμή με τους αριθμούς 8 και 34

- την γραμμή με τους αριθμούς  4 και 728

- και την γραμμή με τους αριθμούς  2 και 1456

2) Από κάθε γραμμή, τής οποίας ο αριστερός αριθμός είναι περιττός, μεταφέρουμε δεξιά τον δεύτερο (δεξιό) αριθμό.

    Εδώ, δηλαδή, μεταφέρουμε δεξιά:

-  τον αριθμό 91 τής πρώτης γραμμής

-  τον αριθμό 182 τής δεύτερης γραμμής

-  και τον αριθμό 1456 τής τελευταίας γραμμής.

   Και τούτο επειδή μόνον  των γραμμών αυτών οι αριστερά αριθμοί είναι περιττοί!

                                                                                                                                                     ^35.91=;         

                                                                                                  Άθροισμα τών αριθμών δεξιά   = 91+182+2912 = 3185

Βήμα 4^ο

Στον τελευταίο αριθμό τής δεξιάς στήλης ( 2912) αθροίζουμε όλους τους αριθμούς, που μεταφέραμε δεξιά. Δηλαδή: 2912+182+91= 3185

Συμπέρασμα:    το γινόμενο 35. 91 = 91+182+2912 = 3.185

ΙI. 1.     Εξήγηση και αιτιολόγηση τής μεθόδου

                    B) Γενικώς: Σε ένα γινόμενο Χ.Ψ,  μπορούμε να γράφουμε : Χ.Ψ=(X/2).(2.Ψ), οπότε :

   1)  Εάν ο Χ είναι άρτιος, τότε γράφουμε Χ.Ψ=(Χ/2).(2.Ψ), και οι αριθμοί (Χ/2) και 2.Ψ είναι ακέραιοι.

        Εάν και ο (Χ/2) είναι άρτιος, τότε ο (Χ/4) είναι ακέραιος, και επομένως θα έχουμε Χ.Ψ= (Χ/2).(2.Ψ)=

        =2.(Χ/4).(2.Ψ) = (Χ/4).(4.Ψ), κ.ο.κ.

   2) Εάν, όμως ο Χ είναι περιττός, τότε ο (Χ-1) θά είναι άρτιος.

       Οπότε, μπορούμε να γράφουμε Χ.Ψ= (Χ-1+1).Ψ= (Χ-1).Ψ+Ψ.

       Αφήνουμε το Ψ και εργαζόμεθα με το γινόμενο (Χ-1).Ψ

       Στο γινόμενο (Χ-1).Ψ,  ο Χ-1 είναι άρτιος, οπότε ο (Χ-1)/2 είναι ακέραιος. Τώρα, ισχύει:

       (Χ-1).Ψ= [(Χ-1)/2].(2.Ψ), και οι αριθμοί  (Χ-1)/2  και 2.Ψ είναι ακέραιοι.

          -  Εάν, τώρα, ο αριθμός (Χ-1)/2 είναι άρτιος, τότε ο αριθμός (Χ-1)/4 είναι ακέραιος και επομένως έχουμε:

        [(Χ-1)/2].(2.Ψ) = [(Χ-1)/4].(4.Ψ), με (Χ-1)/4 ακέραιο.     

          -  Εάν, όμως, ο αριθμός (Χ-1)/2 είναι περιττός, τότε ο αριθμός [(Χ-1)/2]-1 είναι άρτιος, οπότε: 

    [(Χ-1)/2].(2.Ψ)= {[(Χ-1)/2]-1+1}.(2.Ψ)= {[(Χ-1)/2]-1}.(2.Ψ)+(2.Ψ), με [(Χ-1)/2]-1 άρτιο αριθμό.

       Έτσι, προχωρώντας, ολοκληρώνουμε την επαναληπτική αυτήν διαδικασία, όπως στο παράδειγμά μας.

ΙΙ. 3.  Σχόλια

 Α. Η μέθοδος αυτή χρησιμοποιείται είτε όταν έχουμε μικρούς είτε όταν έχουμε  μεγάλους  αριθμούς. Επειδή, όμως,

     η προηγουμένη μέθοδος τών Αιγυπτίων αποφεύγεται σε μεγάλους παράγοντες, σε αυτές τις περιπτώσεις προτιμάμε

    την  Ρώσικη μέθοδο.

 Β. Είναι προφανές, ότι, για να συντομεύεται  αυτή η επαναληπτική διαδικασία , καλόν θα είναι να λαμβάνουμε ως πρώτον

    τον παράγοντα που είναι μικρότερος. Στο παράδειγμά μας έχουμε να πολλαπλασιάσουμε τους αριθμούς 35 και 91. 

    Γνωρίζουμε ότι είναι 35.91 = 91.35. Προτιμάμε να παίρνουμε το 35.91, διότι ο επαναληπτικός υποδιπλασιασμός τού  

    μικρότερου αριθμού 35 θα ολοκληρωθή συντομώτερα.

 Γ.  Ανάλογη μέθοδος εφαρμόζεται και για την διαίρεση ακεραίων αριθμών, το αποτέλεσμα τής οποίας μπορεί να είναι

     ακέραιος ή κλασματικός αριθμός.

 Δ.  Πρέπει να σημειώσουμε, ότι, όταν έχουμε γινόμενο δύο παραγόντων εκ τών  οποίων ο πρώτος είναι δύναμη τού 2,

     τότε  η μέθοδος  ολοκληρώνεται σύντομα, χωρίς να «κρατήσουμε»  στην πορεία κάποιον αριθμό, όπως δείχνει και

     το επόμενο παράδειγμα:

      32.91=(2.16).91= 16.(2.91)=16.182=(2.8).182=8.(2.182)=8.364=(2.4).364=4.(2.364) =

     =4.728= =(2.2).728=2.(2.728)=2.1456= 2912.  Δείτε και τον πίνακα:

                                                                                                                                                32.91=;

ΙΙ. 4. Ιστορικό Σχόλιο

1)       Η μέθοδος αυτή έχει τα ίδια χαρακτηριστικά με την Αιγυπτιακή μέθοδο, και ουσιαστικά έλκει την καταγωγή της από την Αίγυπτο και αυτή. Λέγεται  επίσης  και Αιγυπτιακή μέθοδος.  Το όνομά της, « Αγροτικός  Ρώσικος ή Αιθιοπικός Πολλαπλασιασμός»,  έλαβε από το γεγονός, ότι στην Ρωσία και στην Αιθιοπία χρησιμοποιήθηκε μέχρι και κατά τους νεώτερους χρόνους. Στην Ευρώπη η μέθοδος αυτή  χρησιμοποιήθηκε κατά τον Μεσαίωνα.

2)   Το πλεονέκτημα τής μεθόδου αυτής, όπως και τής προηγουμένης, τής Αιγυπτιακής, είναι ότι, κατά βάση για την εκτέλεσή της απαιτείται η γνώση μόνον  τού διπλασιασμού, τού υποδιπλασιασμού, και τής πρόσθεσης, καθώς και ο διαχωρισμός των ακεραίων σε περιττούς και άρτιους ( μονούς και ζυγούς αριθμούς), ενώ δεν απαιτείται να γνωρίζει κάποιος τήν «Προπαίδεια» τού πολλαπλασιασμού. Γι’ αυτό και ήσαν ιδανικές για τους υπολογισμούς  με τον άβακα ( Αριθμητήριον).

3)   Βασικός κανόνας τής Ρώσικης μεθόδου πολλαπλασιασμού είναι, ότι αγνοούμε ( δεν λαμβάνουμε υπ’ όψη) τους αριθμούς τής κάθε γραμμής, όταν αυτή η γραμμή έχει άρτιο (ζυγό) τον πρώτο αριθμό της ( τον αριστερό αριθμό). Οι Αιθίοπες έλεγαν, ότι « οι άρτιοι αριθμοί είναι κακοί οιωνοί»!  Με άλλα λόγια, λαμβάνουμε υπ’ όψη μόνον  εκείνους τους αριθμού τής δεξιάς στήλης, που είναι αντίστοιχοι περιττών αριθμών τής πρώτης στήλης.

 ΙΙ. 5.  Άσκηση

       Χρησιμοποιώντας την Ρώσικη μέθοδο πολλαπλασιασμού, υπολογίστε τα γινόμενα:

α)  8.9,  β)  11.13,  γ) 53.26 ,  δ) 16.13, ε) 125. 251

 III.  Γενικό Σχόλιο

         Οι δύο αυτές μέθοδοι πολλαπλασιασμού μπορούν να παρουσιασθούν στους μαθητές, με στόχους:

       1) να κατανοήσουν, πώς ένας άνθρωπος τών αρχαίων χρόνων, που δεν γνώριζε το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης, μπορούσε να υπολογίζει το αποτέλεσμα ενός πολλαπλασιασμού, με την χρήση τού άβακος.

        Για παράδειγμα, ας δούμε το εξής πρόβλημα: " Ένας εργάτης Γής στην Αρχαία Αθήνα αμοίβετο με 8 οβολούς την ημέρα. Εργάσθηκε συνολικά 9 ημέρες. Πόσους οβολούς θα εισπράξει;"

Για την απάντηση στο ερώτημα, σχηματίζουμε τον πίνακα τής Αιγυπτιακής μεθόδου ή τής Αιθιοπικής ( που εδώ παίζουν τον ρόλο τού άβακος) και βρίσκουμε 72 οβολούς. Ένα τέτοιο πρόβλημα μπορεί να δοθή ως δραστηριότητα σε μαθητές τού Δημοτικού σχολείου, που θα κληθούν από τον Δάσκαλο να εφαρμόσουν την μία ή την άλλη μέθοδο πολλαπλασιασμού.

      2) να κατανοήσουν την χρησιμότητα τού δυαδικού συστήματος για τους αρχαίους λαούς, που δεν γνώριζαν το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης, και κατ' επέκταση την χρησιμότητά του στην δική μας εποχή, κατά την οποίαν κυριαρχεί ο Ηλεκτρονικός Υπολογιστής, βάση λειτουργίας τού οποίου είναι αυτό το σύστημα αρίθμησης(σε έναν υπολογιστή, όλοι οι αριθμοί μετασχηματίζονται σε αριθμούς τού δυαδικού συστήματος) .

      3) να επαναλάβουν και να εμπεδώσουν τήν έννοια τού περιττού και τού αρτίου αριθμού ( Δημοτικό, Γυμνάσιο).

           Αλλά, και να εμβαθύνουν στην αποδεικτική διαδικασία (Γυμνάσιο-Λύκειο), παρουσιάζοντάς τους την γενική απόδειξη-αιτιολόγηση, που παρουσιάσαμε ανωτέρω ( με τους ακεραίους Χ και Ψ). 

    Εν κατακλείδι, ο  διδάσκων μπορεί να βρεί αφορμές στην διδακτική πράξη, ώστε να παρουσιάσει τις μεθόδους αυτές, που εντυπωσιάζουν για την απλότητά τους, αλλά και για την αυστηρά μαθηματική λογική τους. Το βέβαιον, πάντως, είναι ότι οι μαθητές θα διασκεδάσουν και θα ψυχαγωγηθούν ταυτόχρονα, αν τους δοθή η ευκαιρία να ασχοληθούν με τις μεθόδους αυτές. -

Άγγελος  Λιβαθινός, Καθηγ. Μαθηματικών-Λυκειάρχης, 21.01.2006

----------------------------   ……-------------------------------------

Βιβλιογραφία

1)       Johanes Lehmann : “ So  rechneten  Aegypten  und Babylonier” , Urania- Verlagsgesellschaft mbH, Leipzig 1994

2)       Διάφορα βιβλία Ιστορίας των Μαθηματικών

Επάνω

Αρχική

Σελίδα

Άλλη Εργασία

(C): Κατασκευή Ιστοσελίδας:    Άγγελος  Λιβαθινός, Μαθηματικός,  697-8197763,   

 efkardamas@in.gr , Τελευταία ενημέρωση:   21.01. 2006