Des erreurs courantes surviennent lorsque les élèves deviennent négligents lors de l`étape initiale de substitution des valeurs. En Amérique, Hanus (1886), Weld (1893), et Muir/Metzler (1933) publient des traités. Par l`invariance de similitude, ce déterminant est indépendant du choix de la base pour V et ne dépend donc que de l`endomorphisme T. Pour montrer qu`AD − BC est la zone signée, on peut considérer une matrice contenant deux vecteurs a = (a, b) et b = (c, d) représentant les côtés du parallélogramme. Ces deux approches sont extrêmement inefficaces pour les grandes matrices, cependant, puisque le nombre d`opérations requises croît très rapidement: il est de l`ordre n! Au Japon, Seki Takakazu (関 孝和) est crédité de la découverte des résultants et du déterminant (au début en 1683, la version complète au plus tard 1710). Pour les matrices sur des anneaux non commutatifs, les propriétés 8 et 9 sont incompatibles pour n ≥ 2, [6] donc il n`y a pas de bonne définition du déterminant dans ce paramètre. Les exemples incluent le groupe spécial orthogonale (qui si n est 2 ou 3 se compose de toutes les matrices de rotation), et le groupe unitaire spécial. Si le déterminant d`une matrice carrée $n times n $ $A $ est zéro, alors $A $ n`est pas inversible. Dans la matrice carrée utilisée pour déterminer dy, remplacez la deuxième colonne par les constantes. Comme il respecte la multiplication dans les deux groupes, cette carte est un homomorphisme de groupe. Si elle est zéro, le cube d`unité est mappé à l`intérieur d`un plan et a le volume zéro.

LET A être une matrice arbitraire n × n de nombres complexes avec des valeurs propres λ 1 {displaystyle lambda _ {1}}, λ 2 {displaystyle lambda _ {2}},…, λ n {displaystyle lambda _ {n}}. Il a récemment été démontré que la règle de Cramer peut être mise en œuvre en O (N3) temps [10], ce qui est comparable à des méthodes plus courantes de résolution des systèmes d`équations linéaires, tels que LU, QR, ou la décomposition de la valeur singulière. Parce que D = 0 et les deux DX = 0 et dy = 0, nous savons que c`est un système dépendant. Il est significatif de savoir comment une matrice et son inverse sont liés par le résultat de leur produit. En fait, correspondant à chaque État tracial d`une algèbre de von Neumann, il existe une notion de déterminant de Fuglede − Kadison. Par exemple, la méthode d`élimination gaussienne (ou de décomposition LU) est de l`ordre O (N3), mais la longueur des bits des valeurs intermédiaires peut devenir exponentiellement longue. Le signe de la valeur du déterminant donne une sorte d`information sur l`orientation de ce corps. Cette formule peut également être utilisée pour trouver le déterminant d`une matrice AIJ avec des indices multidimensionnels I = (I1, I2,…, IR) et J = (J1, J2,…, Jr).