Προηγούμενη
Άσκηση 1
Επόμενη
Σε κύκλο διαμέτρου 2 παίρνουμε διαδοχικά τόξα ,
και , με
= .
Αν το Α' είναι το αντιδιαμετρικό του Α, να δείξετε ότι Α'Β + Α'Γ + Α'Δ > 2.
Υπόδειξη
To ''2'' που εμφανίζεται στην ανισότητα είναι το μήκος του Α'Α.
Λύση
το σχήμα χωρίς τα τρίγωνα το σχήμα με τα τρίγωνα
Στο τρίγωνο Α'ΓΔ λόγω της τριγωνικής ανισότητας ισχύει
Α'Γ + Α'Δ > ΓΔ
Όμως ΓΔ = ΑΒ (χορδές ίσων τόξων). Επομένως,
Α'Γ + Α'Δ > ΑΒ ⇔
A'Β + Α'Γ + Α'Δ > Α'Β + ΑΒ
Εφαρμόζοντας τριγωνική ανισότητα στο Α'ΒΑ παίρνουμε
Α'Β + ΑΒ > Α'Α
που σε συνδυασμό με το προηγούμενο,
Α'Β + Α'Γ + Α'Δ > Α'Α = 2
(καθώς ο κύκλος είναι διαμέτρου 2)
Σχόλιο
Η άσκηση αυτή είναι το γεωμετρικό ανάλογο της εξής άσκησης μιγαδικών αριθμών, που μού υπέδειξε ο συνάδελφος
Δημήτρης Καλυκάκης:
Αν οι z1, z2 είναι μοναδιαίοι μιγαδικοί αριθμοί, τότε:
|z1+1|+|z2+1|+|z1z2+1| > 2