3.8.2.2 Διαμόρφωση συχνότητας (FM)

 

Η δεύτερη πιό συχνά χρησιμοποιούμενη μεθοδολογία στις αναλογικές διαμορφώσεις είναι η διαμόρφωση συχνότητας ή σε συντομογραφία FM, από τον αγγλικό όρο Frequency Modulation. Όπως υποδηλώνει και το όνομα, στην περίπτωση αυτή το σήμα της πληροφορίας s(t) αποτυπώνεται στη συχνότητα του φέροντος, το οποίο έχει σταθερό πλάτος.

Στη διαμόρφωση συχνότητας η βασική σχέση που περιγράφει τη διαδικασία είναι:

 

f(t) = f_o + k^.s(t) ,                                             (22)

 

 

όπου f(t) η στιγμιαία συχνότητα του φέροντος.

 

Αν στην είσοδο του διαμορφωτή (σχήμα 3.8.14) δεν εφαρμόσουμε σήμα s(t), τότε η συχνότητα του φέροντος είναι σταθερή f_o και η εικόνα του στον παλμογράφο είναι αυτή που βλέπουμε στο σχήμα 3.8.15α.

 

Δηλαδή: E(t) = M(t) = E_o^.sin(ω_ot)  

 

Όταν όμως εφαρμόσουμε το σήμα s(t), τότε η συχνότητα του φέροντος μεταβάλλεται γύρω από την κεντρική συχνότητα f_o στο ρυθμό του διαμορφώνοντος σήματος. Στο σχήμα 3.8.15β φαίνεται αυτή η μεταβολή, σε περίπτωση που το s(t) είναι ημιτονικό. Στο σχήμα 3.8.15γ δίνεται η μορφή που παίρνει το διαμορφωμένο φέρον E(t).

 

 

Έτσι, όταν s(t) = S_osin(Ωt) , τότε   f(t) = f_o + k^.S_o^.sin(Ωt)           (23)

 

 

Ο συντελεστής k χαρακτηρίζει το διαμορφωτή και τον τρόπο κατασκευής του, που θα δούμε σε επόμενη κεφάλαιο. Η συχνότητα f(t) μετριέται σε Hz, το σήμα s(t) μετριέται σε Volt. Είναι προφανές ότι ο συντελεστής k εκφράζει επίσης την κλίση του διαμορφωτή και μετριέται σε Ηz/Volt ή συνήθως σε kHz/Volt.

Μετασχηματίζοντας τη σχέση (23) γράφουμε:

 

f(t) = f_o + Δf_max^.sin(Ωt)                                                       (24)

 

To μέγεθος Δf_max καλείται μέγιστη απόκλιση συχνότητας. Εκφράζει τη μέγιστη απομάκρυνση της συχνότητας προς τη μια ή την άλλη κατεύθυνση (όταν το ημίτονο πάρει τις τιμές 1 ή –1) από την κεντρική της τιμή f_o και εξαρτάται από την ένταση (πλάτος) του βασικού σηματος S_o.

 

Αποδεικνύεται σε αυτή την περίπτωση ότι :

 

E(t) = E_o^.sin[ω_οt – (Δf_max/F)^.cos(Ωt)] =

 

= E_o^.sin[ω_οt – m_f ^.cos(Ωt)]                                                 (25)

 

Ο λόγος m_f = Δf_max/F = k^.S_ο/F ονομάζεται δείκτης διαμόρφωσης και είναι η βασική παράμετρος που χαρακτηρίζει μια διαμόρφωση FM.

 

Για να υπολογίσουμε τη φασματική ζώνη ενός φέροντος διαμορφωμένου κατά συχνότητα, πρέπει, όπως και στη διαμόρφωση πλάτους, να αναλύσουμε τη σχέση που δίνει το E(t). Η μαθηματική ανάλυση είναι σχετικά δύσκολη και δε θα μας απασχολήσει αναλυτικά. Θα περιοριστούμε μόνο στην εικόνα του φάσματος.

Η εικόνα του φάσματος, που βλέπουμε στον αναλυτή φάσματος, όταν στην είσοδο του στείλουμε το διαμορφωμενο E(t), περιέχει πολλές φασματικές ακτίνες. Κάνοντας το πείραμα για διαφορετικές τιμές του δείκτη διαμόρφωσης m, διαπιστώνουμε ότι ο αριθμός των φασματικών ακτίνων εξαρτάται από το m. Οι εμφανιζόμενες πλευρικές φασματικές ακτίνες καταλαμβάνουν ανά δύο συμμετρικές θέσεις ως προς τη συχνότητα του αδιαμόρφωτου φέροντος f_ο:

f_o+n^.F και f_o-n^.F (n ακέραιος).

Στο σχήμα 3.8.16 απεικονίζεται η εικόνα του φάσματος για τιμές m_f =1 , m_f =2 και m_f =5. Οι αριθμοί που σημειώνονται δίνουν το ποσοστό του πλάτους της φασματικής ακτίνας ως προς την ακτίνα του αδιαμόρφωτου φέροντος Ε_ο (όταν m_f =0).

 

 

Στον πίνακα που ακολουθεί δίνονται επίσης η κατανομή των ποσοστών για διάφορες τιμές του m, ώστε, αν θέλουμε, να σχεδιάσουμε το φάσμα ή να το επιβεβαιώσουμε στον αναλυτή φάσματος.

 

Πίνακας κατανομής ποσοστού στις φασματικές ακτίνες

(Συντελεστές Bessel)

 

               m     J_o          J₁      J₂      J₃     J₄      J₅     J₆   J₇     J₈       J₉

 

               0    1

               0,25   0,98   0,12

               0,50   0,94   0,24   0,03

               1,00   0,77   0,44   0,03

               1,5     0,51   0,26   0,23   0,01

               2,0     0,22   0,58   0,35   0,13   0,03

               2,5      0,05   0.5     0,45   0,22   0,07 0,02

               3,0     0,26   0,34   0,49   0,31   0,13 0,04 0,01

               4,0     0,40   0,07   0,36   0,43   0,28 0,13 0,05   0,02

               5,0     0,18   0,33   0,05   0,36   0,39 0,26 0,13   0,05   0,02

               9,0     0,09   0,24   0,14   0,18   0,27 0,06 0,20   0,33   0,30 0,21                                

 

 

Το συνολικό εύρος της φασματικής ζώνης (Bandwith) ενός FM σήματος δίνεται από τη σχέση του Κάρσον (Carson):

 

B = 2(Δf_max + F) = 2(m_f ^.F + F) = 2F^.(m_f +1)               (26)

 

Γενικεύοντας, όταν το σήμα s(t) δεν είναι ημιτονικό, αλλά τυχαίο με φάσμα (F_min , F_max) (σχήμα 3.8.2), οι πλευρικές ζώνες αλληλοκαλύπτονται και το φάσμα δε διατηρεί πλήρως τη συμμετρία του (σχήμα 3.8.17).

 

 

Το συνολικό εύρος ζώνης υπολογίζεται πάλι από τη σχέση του Carson, που διατυπώνεται για τη μέγιστη συχνότητα διαμόρφωσης F_max του σήματος s(t):

 

B = 2(Δf_max + F_max) = 2F_max(m_f + 1) ,   m_f = Δf_max/F_max

 

Συμπερασματικά, όσο μεγαλύτερη τιμή έχει ο δείκτης διαμόρφωσης τόσο μεγαλύτερο είναι το φασματικό εύρος του σήματος. Αποδεικνύεται μάλιστα ότι το μεγάλο φασματικό εύρος   προστατεύει το σήμα από το θόρυβο και τις κάθε είδους παρενοχλήσεις στο κανάλι μετάδοσης. Έτσι, όπου έχουμε υψηλές απαιτήσεις καθαρότητας του σήματος, υιοθετούμε μεγάλο m_f (m_f > 1), όπως στη ραδιοφωνία, και μιλάμε για διαμόρφωση συχνότητας μεγάλου εύρους. Όπου αυτές οι απαιτήσεις είναι μικρότερες, όπως στη ραδιοτηλεφωνία, υιοθετούμε μικρό m_f ( m_f ≤ 1) και μιλάμε για διαμόρφωση FM στενού εύρους (NBFM: Narrow Band Frequency Modulation).

Στη ραδιοφωνία FM διεθνώς έχουν καθιερωθεί οι τιμές:

 

F_max = 15 kHz

Δf_max = 75 kHz

Άρα     m_f = 5

 

Έτσι,   Β = 2(75 + 15) = 180 kHz

 

Για να υπάρχει ένα μικρό περιθώριο και να μην επικαλύπτονται ο ένας ραδιοφωνικός σταθμός από τον άλλο, οι συχνότητες (κεντρικές), που χορηγούνται με νόμο που πρέπει να τηρείται και να εφαρμόζεται αυστηρά, τοποθετούνται σε αποστάση τουλάχιστον 200 kHz και πλέον ο ένας από τον άλλο.

Η φασματική ζώνη της FM διαμόρφωσης είναι πολύ πλατύτερη από την αντίστοιχη της ΑΜ. Γι’ αυτό και για να μπορέσουν να συνυπάρξουν σε δεδομένη ζώνη συχνοτήτων πολλοί ραδιοφωνικοί σταθμοί, αναγκαζόμαστε να χρησιμοποιούμε πολύ μεγαλύτερες συχνότητες. Η ζώνη της ραδιοφωνίας FM είναι διεθνώς από 88 MHz έως 108 MHz.

 

Η ισχύς του φέροντος πριν και μετα την αποδιαμόρφωση είναι η ίδια, γιατί το πλάτος του σήματος παραμένει σταθερό:

 

P_ολ = E_o² / 2R_L

 

Ο διαμορφωτής, δηλαδή, σε αντίθεση με την περίπτωση της ΑΜ, δε χορηγεί πρόσθετη ισχύ στο φέρον. Απλώς με τη διαμόρφωση η ισχύς κατανέμεται σε όλη τη φασματική ζώνη που προκύπτει. Ο δέκτης, για να αποδιαμορφώσει το διαμορφωμένο φέρον, πρέπει να λάβει όλη τη φασματική ζώνη του σήματος.

 

Εφαρμογή 8: Το φάσμα ενός ακουστικού σήματος εκτείνεται από 100 Hz έως 8 kHz. Ο δείκτης διαμόρφωσης m_f που αντιστοιχεί στη μέγιστη συχνότητα είναι 3. Να προσδιοριστεί το εύρος της φασματικής ζώνης μετά τη διαμόρφωση FM.

Λύση: Από τον τύπο του Carson υπολογίζουμε:

Β = 2 ^. 8 ^. (3+1) kHz = 64 kHz.

 

Εφαρμογή 9: Φέρον συχνότητας f_o = 90 MHz διαμορφώνεται κατά συχνότητα από σήμα s(t) = 2sin(2π5^.10³t) (V). Ο διαμορφωτής παρουσιάζει κλίση k = 15 kHz/Volt. Να προσδιοριστεί η μέγιστη απόκλιση συχνότητας και ο δείκτης διαμόρφωσης m_f. Να προσδιοριστούν επίσης το εύρος του φάσματος και ο αριθμός των φασματικών ακτίνων στο φάσμα του διαμορφωμένου φέροντος.

Λύση: α) Δf_max = k ^. S_o = 15 ^. 2 = 30 kHz

β) m_f = 30 ^. 10³ /5 ^. 10³ = 6

γ) Β = 2 ^. 5^. 10^3.(6+1) = 70 kHz

δ) Ο αριθμός των πλευρικών φασματικών ακτίνων είναι :

Ν = Β/F = 2(m_f + 1) = 12. Αν συνυπολογίσουμε και τη φασματική ακτίνα του φέροντος, έχουμε σύνολο 13.  

 

Εφαρμογή 10: Πόσοι ραδιοφωνικοί σταθμοί FM μπορούν να υπάρξουν στη ζώνη συχνοτήτων από 88 έως 108 MHz στην ίδια γεωγραφικά περιοχή;

Λύση: Θεωρώντας ότι η απόσταση μεταξύ των ραδιοφωνικών σταθμών είναι 200 kHz, τότε έχουμε:

Ν = (108 – 88) MHz / 0,2 MHz = 100.

 

Προσθήκη νέου σχολίου

Όνομα (υποχρεωτικό)

E-mail (υποχρεωτικό)

Ιστότοπος

Αποστολή ειδοποίησης σε περίπτωση νέων σχολίων

Ανανέωση

Αποστολή

Ακύρωση