3.3 Τα ηλεκτρικά σήματα
3.3.1 Ορισμός του σήματος
Τονίστηκε στην προηγούμενη παράγραφο ότι το βασικό ηλεκτρικό σήμα είναι το ηλεκτρικό μέγεθος που έχουμε στην έξοδο του αισθητήρα μετατροπέα και αντιπροσωπεύει το αρχικό φυσικό μέγεθος της πληροφορίας.
Παραδείγματα, που αναφέρθηκαν και σε άλλες περιπτώσεις, είναι το ηλεκτρικό σήμα στην έξοδο του μικροφώνου (σχήμα 3.3.1α) ή του φωτοκυττάρου της κάμερας (σχήμα 3.3.1β) . Είναι μεταβαλλόμενα μεγέθη και γι’ αυτό τα συμβολίζουμε ως συνάρτηση του χρόνου με τον εξής τρόπο:
v(t) : μεταβαλλόμενη τάση
i(t) : μεταβαλλόμενο ρεύμα
s(t) : γενικός συμβολισμός ενός βασικού σήματος.
Οι χρονικές μεταβολές του σήματος είναι ίδιες με αυτές του αρχικού μεγέθους, για παράδειγμα του αρχικού ήχου. Την ακριβή εικόνα του σήματος μπορούμε να την παρατηρήσουμε με το εργαστηριακό όργανο που λέγεται παλμογράφος, του οποίου τη χρήση γνωρίζουμε από τα εργαστηριακά μας μαθήματα. Έτσι, αν οι μεταβολές πίεσης του αέρα στην είσοδο του μικροφώνου ακολουθούν τη μορφή της γραφικης παράστασης 3.3.2α , συνδέοντας τον παλμογράφο στην έξοδο του μικροφώνου (ή του ενισχυτή που ακολουθεί) θα παρατηρήσουμε τη μορφή του σήματος που βλέπουμε στην εικόνα 3.3.2.
Το γεγονός ότι σχεδιάζουμε το σήμα με θετικές και αρνητικές τιμές δηλώνει ότι το ρεύμα στην έξοδο του μικροφώνου μπορεί να έχει θετική ή αρνητική φορά, όπως το αντίστοιχο ηχητικό κύμα δημιουργεί υπερπιέσεις ή υποπιέσεις στη μεμβράνη του μικροφώνου (κεφάλαιο 1). Το ίδιο θα συνέβαινε, αν μιλούσαμε για το ρεύμα ή την τάση στην έξοδο του φωτοκυττάρου. Ένα τέτοιο σήμα, που παρουσιάζει συνεχείς μεταβολές στο χρόνο, το ονομάζουμε αναλογικό σήμα σε αντίθεση με τα παλμικά ή ψηφιακά σήματα που παρουσιάζουν ασυνέχειες.
Τα ηλεκτρικά σήματα γενικά χαρακτηρίζονται:
- Από την ισχύ τους ή απλούστερα την έντασή τους. Είναι το μέγεθος που επιτρέπει να συγκρίνουμε και να εκτιμήσουμε αν ένα σήμα είναι ισχυρότερο ή ασθενέστερο από ένα άλλο αντίστοιχο σήμα. Στα σύνθετα σήματα που έχουν τυχαία μορφή ο ακριβής υπολογισμός της ισχύος δεν είναι πάντοτε εύκολη υπόθεση.
- Από το ρυθμό με τον οποίο εξελίσσονται στο χρόνο (γρήγορα ή αργά, απότομα ή λιγότερο απότομα, έχουμε πολλές ή λίγες αλλαγές της τιμής του σήματος στη μονάδα του χρόνου;). Ο ακριβής προσδιορισμός των ρυθμών μεταβολής ενός σήματος επίσης δεν είναι πάντοτε εύκολη υπόθεση. Στον παλμογράφο απλώς μπορούμε να συγκρίνουμε αυτούς τους ρυθμούς μεταξύ δύο σημάτων (σχήμα 3.3.3).
3.3.2 Διάκριση των σημάτων
Για να διευκολύνουμε τη μελέτη των σημάτων στην ηλεκτρονική και ιδιαίτερα στις τηλεπικοινωνίες, τα διακρίνουμε σε:
- Περιοδικά σήματα και
- μη περιοδικά σήματα.
Περιοδικό σήμα: Ένα σήμα το αποκαλούμε περιοδικό, όταν επαναλαμβάνεται στο χρόνο (σχήμα 3.3.4), δηλαδή παίρνει μετά από συγκεκριμένο χρόνο τις ίδιες τιμές.
Αυτός ο συγκεκριμένος χρόνος ονομάζεται περίοδος και συμβολίζεται Τ.
Δηλαδή, s(t) = s(t+n.T) , όπου n ακέραιος αριθμός
Στο παράδειγμα του σχήματος η περίοδος του σήματος είναι
Τ = 0,5 sec = 500 msec.
Το αντίστροφο της περιόδου ενός περιοδικού σήματος ονομάζεται συχνότητα, συμβολίζεται F (ή f) και μετριέται σε Ερτζ (Hertz = sec-1 : Hz).
Για το παράδειγμα μας ισχύει:
F = 1/T = 1/(5 . 10-1) = 2 sec-1 = 2 Hz.
Η συχνότητα εκφράζει το ρυθμό επανάληψης του σήματος στη μονάδα του χρόνου που είναι το sec.
Εφαρμογή 1: Ένα περιοδικό σήμα έχει περίοδο 1,5 μs. Να προσδιοριστεί η συχνότητα του .
Λύση: F = 1/1,5 . 10-6 = 0,66 . 106 Hz = 660 kHz
Εφαρμογή 2: Η συχνότητα ενός περιοδικού σήματος είναι 18 kHz. Να προσδιοριστεί η περίοδος του σήματος.
Λύση: Τ = 1/F = 1/18.103 = 55,5 . 10-6 sec = 55,5 μs
Το απλούστερο περιοδικό σήμα είναι το ημιτονικό σήμα, που το έχουμε γνωρίσει και από τα μαθήματα ηλεκτρονικής και ηλεκτροτεχνίας. Είναι το βασικότερο σήμα στις τηλεπικοινωνίες και το χρησιμοποιούμε πάντοτε σαν σήμα αναφοράς, για να περιγράψουμε και να χαρακτηρίσουμε όλα τα άλλα ηλεκτρικά σήματα. Η εικόνα του ημιτονικού σήματος στον παλμογράφο είναι αυτή του σχήματος 3.3.5 .
Υπενθυμίζουμε ότι το ημιτονικό σήμα ονομάζεται έτσι, διότι οι τιμές που παίρνει σε μιά περίοδο Τ αντιστοιχούν στις τιμές του ημιτόνου της γωνίας που σχηματίζεται στον τριγωνομετρικό κύκλο, όταν ένα κινητό, ξεκινώντας από το σημείο Ο, κινείται για να διαγράψει πλήρη κύκλο στο χρόνο μιάς περιόδου με σταθερή γωνιακή ταχύτητα.
Η πλήρης γωνία του τριγωνομετρικού κύκλου είναι 2π.
Άρα, η γωνιακή ταχύτητα είναι:
Ω = 2π/Τ = 2π . F
όπου F η συχνότητα του σήματος, που ορίσαμε προηγούμενα.
Στην ηλεκτρονική και τις τηλεπικοινωνίες για το μέγεθος Ω δεν χρησιμοποιούμε τον όρο γωνιακή ταχύτητα, αλλά κυκλική συχνότητα.
Είναι προφανές ότι τη χρονική στιγμή t η σχηματιζόμενη γωνία Φ = ΟΚΜ (σχήμα 3.3.5) είναι:
Φ = Ω . t = (2π/Τ) . t = (2π . F) . t .
Έτσι η έκφραση του ημιτονικού σήματος είναι:
s(t) = So . sin(Ωt) = So . sin(2πFt) . (1)
Το So είναι η μέγιστη τιμή του σήματος και την όνομάζουμε πλάτος του σήματος.
Υπενθυμίζουμε ότι η ισχύς του ημιτονικού σήματος που αποδίδεται σε ωμική αντίσταση R δίνεται από τη σχέση:
P = So2 / 2R (2)
Η έκφραση (1) του ημιτονικού σήματος προϋποθέτει ότι το σήμα μας, όταν αρχίσαμε να το μετράμε, δηλαδή όταν t = 0, ήταν s(t) = 0.
Πράγματι Ω.t = 0, άρα s(t) = So .sin0 = 0.
Αν όμως το σήμα, όταν αρχίσαμε τη μέτρησή του, δεν ήταν μηδέν, αλλά είχε τιμή διάφορη του μηδενός, θα είμαστε υποχρεωμένοι να γράψουμε:
s(t) = So.sin(Ω.t+φο) . (3)
Πράγματι, για t = 0 το σήμα μας έχει τιμή s(t) = So.sinφο .
Το μέγεθος φο ονομάζεται αρχική φάση του σήματος.
Παράδειγμα ημιτονικού σήματος είναι αυτό που έχουμε στην έξοδο του μικροφώνου, όταν διεγείρουμε το μικρόφωνο με τον ήχο του διαπασών. Ημιτονικό είναι επίσης το σήμα που έχουμε στην έξοδο μιάς εργαστηριακής γεννήτριας ημιτονικών σημάτων, που την ρυθμίζουμε σε συγκεκριμένη συχνότητα.
Θα τελειώσουμε τη γνωριμία μας με το ημιτονικό σήμα με μια σημαντική παρατήρηση. Αναφέραμε προηγουμένως ότι το ημιτονικό σήμα είναι το πιό απλό σήμα και ότι χρησιμοποιείται σαν σήμα αναφοράς για τη μελέτη της ηλεκτρονικής και των τηλεπικοινωνιών. Αυτό συμβαίνει διότι το ημιτονικό σήμα χαρακτηρίζεται λειτουργικά από μια βασική ιδιότητα:΄Οταν μια ημιτονική τάση ή ρεύμα διεγείρει ένα κύκλωμα, τότε παντού στο κύκλωμα, σε οποιδήποτε κλάδο του, αποκαθίσταται ημιτονική τάση ή ρεύμα. Με απλά λόγια το ημιτονικό σήμα διατηρεί σε οποιοδήποτε σύστημα, απλό ή σύνθετο, τη μορφή και τη συχνότητα του. Το μόνο που αλλάζει είναι το πλάτος του (Sο) και η φάση του (φο). Αποδεικνύεται έτσι ότι η ανάλυση και ο υπολογισμός ή ο προσδιορισμός του κυκλώματος είναι εύκολος. Την αλήθεια αυτής της παρατήρησης μπορούμε εύκολα να την επαληθεύσουμε πειραματικά στο εργαστήριο με την βοήθεια του παλμογράφου.
Εφαρμογή 3: Να δοθεί η έκφραση ενός ημιτονικού σήματος συχνότητας 25 kHz και πλάτους 10 V.
Λύση: s(t) = 10sin(2π. 25 . 103t)
Εφαρμογή 4: Να υπολογιστεί η ισχύς ημιτονικής τάσης, σε αντίσταση R = 50Ω, όταν το πλάτος του σήματος είναι 20 Volt.
Λύση: P = So2/2R = 202/2 . 50 = 4 Watt
Μη περιοδικά σήματα: Τα τυχαία σήματα που δεν παρουσιάζουν επαναληπτικότητα ονομάζονται μη περιοδικά σήματα (σχήμα 3.3.6). Για παράδειγμα η ομιλία μας είναι μη περιοδικό σήμα.
Το σήμα που θα προκύψει στην έξοδο του φωτοκυττάρου από την σάρωση μιας εικόνας με την κάμερα είναι μη περιοδικό σήμα.
Τα περισσότερα ηλεκτρικά σήματα στη φύση είναι μη περιοδικά σήματα.
3.4 Ανάλυση των σημάτων
Η παρατήρηση για τη συμπεριφορά του ημιτονικού σήματος σε ένα κύκλωμα, ότι, δηλαδή, διατηρεί τη μορφή του, δεν ισχύει για κανένα άλλο σήμα οποιασδήποτε μορφής. Ο υπολογισμός μάλιστα της απόκρισης y(t), όταν ένα τυχαίο σήμα s(t) οδηγηθεί για επεξεργασία στην είσοδο του συστήματος, είναι πάρα πολύ δύσκολο πρόβλημα (σχήμα 3.4.1).
Έτσι λοιπόν οι τηλεπικοινωνιακοί μηχανικοί αναζήτησαν μιά μέθοδο, ώστε να αναλύουν το οποιοδήποτε σήμα σε ένα σύνολο από ημιτονικά σήματα, για τα οποία ο υπολογισμός της συμπεριφοράς του συστήματος είναι πολύ πιό εύκολο πρόβλημα. Πράγματι, αυτή η ανάλυση είναι δυνατή και αναφέρεται στη βιβλιογραφία ως ανάλυση Φουριέ (Fourier), προς τιμή του Γάλλου μηχανικού, που πρότεινε την μέθοδο. Σε αυτό το βιβλίο δεν θα μας απασχολήσει η ανάλυση Fourier. Την αναφέρουμε όμως, γιατί μας οδηγεί στη σημαντικότερη έννοια που χρησιμοποιούμε στις τηλεπικοινωνίες, στην έννοια του φάσματος.
Φάσμα ενός σήματος είναι το σύνολο των συχνοτήτων των ημιτονικών σημάτων με συγκεκριμένα πλάτη που πρέπει να προστεθούν, ώστε να δώσουν ως αποτέλεσμα το αρχικό σήμα.
Αποδεικνύεται ότι οποιοδήποτε περιοδικό μη ημιτονικό σήμα περιόδου Τ έχει φάσμα που αποτελείται από άπειρες συχνότητες, οι οποίες είναι ακέραια πολλαπλάσια της βασικής συχνότητας F = 1/T του σήματος. Δηλαδή, το σήμα s(t) ισοδυναμεί με το άθροισμα ημιτονικών σημάτων που καθένα έχει συχνότητα πολλαπλάσια της F. Οι συχνότητες αυτές λέγονται αρμονικές συχνότητες και το φάσμα λέγεται διακριτό φάσμα (σχήμα 3.4.2).
Γράφουμε:
s(t) = A1.sin(Ωt+φ1) + Α2.sin(2Ωt+φ2) + Α3.sin(3Ωt+φ3) + …… (4)
όπου τα διάφορα ημιτονικά σήματα εμφανίζονται με διαφορετικές φάσεις.
Παράδειγμα αποτελεί η περίπτωση των ήχων (φθόγγων) των περισσότερων μουσικών οργάνων.
Οποιοδήποτε μη περιοδικό σήμα έχει φάσμα που αποτελείται από άπειρο αριθμό ημιτονικών σημάτων, των οποίων οι συχνότητες είναι τυχαίες, δεν έχουν σχέση μεταξύ τους και περιλαμβάνονται μεταξύ δύο ακραίων συχνοτήτων Fmin (ελάχιστη) και Fmax (μέγιστη), οι οποίες
εξαρτώνται από τη φύση του σήματος (σχήμα 3.4.3).
Παράδειγμα αποτελεί η περίπτωση των ηχητικών σημάτων, των οποίων οι συχνότητες ανήκουν στην ζώνη :
(Fmin = 20 Hz έως Fmax = 20000 Hz)
Στην περίπτωση αυτή είναι σωστότερο να μιλάμε για ‘φασματική ζώνη’ του σήματος.
Τα πλάτη (ένταση) των ημιτονικών σημάτων που αθροίζονται δεν είναι τα ίδια. Αυτά καθορίζουν την ακουστική ποιότητα του σήματος, δηλαδή τη χροιά του ήχου, στην οποία αναφερθήκαμε στο πρώτο κεφάλαιο. Έτσι, εντελώς απλοϊκά στο σχήμα 3.4.4 αποδίδεται το φάσμα μιας ανδρικής (α) και μιας γυναικείας φωνής (β). Στην περίπτωση της ανδρικής φωνής στις χαμηλότερες συχνότητες αντιστοιχούν μεγαλύτερα πλάτη, που προσδίδουν βαρύτονη χροιά. Στην περίπτωση του γυναικείου φάσματος οι υψηλότερες συχνότητες είναι ενισχυμένες και δίνουν υψίτονη χροιά.
Τη φασματική εικόνα ενός σήματος μπορούμε να την παρατηρήσουμε και να τη μελετήσουμε στο εργαστήριο με ένα ακριβό εργαστηριακό όργανο, που το ονομάζουμε ‘αναλυτή φάσματος’ (spectrum analyser).
Συμπερασματικά, ο παλμογράφος, που επιτρέπει τη χρονική παρατήρηση και μελέτη ενός σήματος, και ο αναλυτής φάσματος, που επιτρέπει την παρατήρηση και τη μελέτη του φάσματος του σήματος, είναι τα δύο βασικά όργανα που πρέπει να υπάρχουν σε κάθε σοβαρό εργαστήριο τηλεπικοινωνιών. Ένα σήμα το γνωρίζουμε πλήρως, όταν ξέρουμε και τη χρονική και τη φασματική του συμπεριφορά (σχήμα 3.4.5).
Αναφέρθηκε προηγουμένως ότι η έννοια του φάσματος ή της φασματικής ζώνης ενός σήματος είναι από τις σημαντικότερες έννοιες στην ηλεκτρονική και τις τηλεπικοινωνίες. Έμμεσα το φάσμα ενός σήματος είναι αυτό που στις προηγούμενες παραγράφους ονομάσαμε ‘μήνυμα’ ή ‘πληροφορία’. Όσο πιό πλούσιο ή φτωχό σε συχνότητες είναι το φάσμα ενός σήματος τόσο μεγαλύτερη ή μικρότερη είναι η ‘ποσότητα της πληροφορίας’ που περιέχει το σήμα.
Παράδειγμα 1: Μουσικό ακουστικό φάσμα. Το ακουστικό φάσμα ενός μουσικού σήματος είναι στη ζώνη από 20 Hz έως 20 kHz.
Προέρχεται από την πλήρη ανάπτυξη ορχήστρας και περιλαμβάνει όλες τις συχνότητες που μπορούν να διεγείρουν το ανθρώπινο όργανο της ακοής. Η συχνότητα των 20 kHz θεωρείται σε κάθε περίπτωση το ανώτατο όριο του ακουστικού φάσματος. Είναι το άκουσμα του
συνδυασμού όλων αυτών των συχνοτήτων, που επιτρέπει να απολαύσουμε μουσική ποιότητας (σχήμα 3.4.6α).
Παράδειγμα 2: Φάσμα Video. Το οπτικό φάσμα ή φάσμα Video στην έξοδο του φωτοκυττάρου της κάμερας καταλαμβάνει την ευρεία ζώνη από 0 Hz έως 5 MHz. Δηλαδή, το σήμα Video περιλαμβάνει και χαμηλές συχνότητες, έως το συνεχές ( το συνεχές σήμα έχει συχνότητα 0 Hz).
Παράδειγμα 3: Ανθρώπινη ομιλία. Πειράματα έχουν δείξει ότι η φασματική ζώνη της ανθρώπινης ομιλίας εκτείνεται από 20 Hz έως 12 ή 15 kHz.
Παράδειγμα 4: Τηλεφωνική φασματική ζώνη. Έχει αποδειχθεί ότι το ουσιαστικότερο τμήμα του φάσματος της ανθρώπινης ομιλίας είναι από 300 Hz έως 3400 Hz. Είναι το τμήμα του φάσματος που περιέχει τα βασικά χαρακτηριστικά που επιτρέπουν, αν κάποιος το ακούσει από μακριά, να καταλάβει ποιος ομιλεί. Είναι ακριβώς η ζώνη που διεθνώς έχει καθοριστεί, για να αποστέλλεται μέσω των τηλεφωνικών γραμμών. Γι’ αυτό ονομάζεται και τηλεφωνικό φάσμα (σχήμα 3.4.6β).
Χωρίς βαθύτερη ανάλυση αντιλαμβανόμαστε ότι το σήμα Video είναι το πιό πλούσιο σε πληροφορία, το μουσικό σήμα πιό πλούσιο από την ανθρώπινη ομιλία, ενώ φτωχότερο από τα προηγούμενα είναι το τηλεφωνικό φάσμα.
Πρέπει επίσης να τονίσουμε ότι όσο πλουσιότερο (ευρύτερο) είναι το φάσμα ενός σήματος τόσο δυσκολότερα μπορεί να σταλεί μέσω τηλεπικοινωνιακού συστήματος γιατί απαιτεί σύστημα συνθετότερο και ακριβότερο. Να γιατί στο τηλεφωνικό δίκτυο, για παράδειγμα, δώσαμε από άποψη φάσματος την ελάχιστη απαραίτητη, φτωχότερη λύση.
