Κλασικές Τροχιές και Κβαντομηχανική

Πώς εφαρμόζεται η αρχή της αντιστοιχίας στα μοντέλα του Bohr και του Rutherford;

Θα το πιάσω από την αρχή. Γνωρίζεις τη βασική θεωρία του Bohr: τα ηλεκτρόνια του ατόμου μπορούν να βρίσκονται μόνο σε συγκεκριμένα ενεργειακά επίπεδα, και μπορούν να δώσουν ή να απορροφήσουν ακτινοβολία μόνο όταν πηδούν από το ένα επίπεδο στο άλλο. Όταν ένα ηλεκτρόνιο πέφτει σε χαμηλότερο ενεργειακά επίπεδο απελευθερώνεται ένα φωτόνιο. Από την αρχή διατήρησης της ενέργειας, γνωρίζουμε οτι η ενέργεια αυτού του φωτονίου είναι ίση με την ενέργεια που έχασε το ηλεκτρόνιο -- δηλαδή, την ενεργειακή διαφορά ανάμεσα στο υψηλότερο επίπεδο και το χαμηλότερο. Όμως, επίσης γνωρίζουμε οτι η ενέργεια του φωτονίου ισούται με την σταθερά του Planck επί την συχνότητά του. Έτσι, αν γνωρίζουμε ποια είναι τα ενεργειακά επίπεδα, μπορούμε να προσδιορίσουμε ποια θα πρέπει να είναι η συχνότητα.

Yeah, μα πως ξέρουμε ποια ενεργειακά επίπεδα επιτρέπονται;

Λοιπόν, ο Bohr επινόησε έναν τύπο. Δεν είχε στέρεη θεωρητική επιβεβαίωση, αλλά συμφωνούσε αρκετά καλά με τα πειραματικά δεδομένα. Το 1885, περίπου 30 χρόνια πριν από την εργασία του Bohr, o J.J. Balmer είχε μελετήσει τις συχνότητες των φασματικών γραμμών του υδρογόνου και είχε ανακαλύψει μια υπέροχη εξίσωση που έδενε αυτές τις συχνότητες τέλεια. Ο Bohr παρετήρησε οτι η θεωρία του συμφωνούσε πολύ με αυτόν τον τύπο αν υπέθετε οτι η στροφορμή ενός ηλεκτρονίου περιοριζόταν σε ένα συγκεκριμένο σύνολο τιμών. (Όφειλε να είναι ακέραιο πολλαπλάσιο της σταθεράς του Planck διά 2π, ή h μπάρα.)

Μπορώ να σας δείξω τι ήταν ο τύπος του Balmer και πώς απ' αυτόν ο Bohr κατέληξε στη στροφορμή του ηλεκτρονίου.

Με δεδομένη τη στροφορμή, ο Bohr εύκολα μπόρεσε να βρει την ταχύτητα του ηλεκτρονίου και την ακτίνα της τροχιάς, που του επέτρεψαν να υπολογίσει την κινητική και δυναμική του ενέργεια. Αυτό σήμαινε οτι μπορούσε να βρεθεί η διαφορά ενέργειας μεταξύ δύο οποιονδήποτε τροχιών, κι έτσι να υπολογιστεί η συχνότητα του αντίστοιχου φωτονίου.

Okay ... τώρα πέστε μου τι είναι όλα αυτά περί συνωστισμού ενεργειακών επιπέδων;

Όπως είπα, η στροφορμή όφειλε να είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του h μπάρα. O ακέραιος ήταν γνωστός ως n. Η τιμή για n=1 αντιστοιχεί στη βασική κατάσταση, όπου το ηλεκτρόνιο διαθέτει τη μικρότερη δυνατή ενέργεια. Παρατηρώντας τον τύπο του, ο Bohr πρόσεξε οτι καθώς ο n μεγαλώνει, η διαφορά μεταξύ διαδοχικών ενεργειακών επιπέδων γίνεται όλο και μικρότερη. Για την ακρίβεια πλησιάζει στο μηδέν καθώς ο n τείνει στο άπειρο.

Έτσι όταν ο n είναι μεγάλος, τα ενεργειακά επίπεδα «συνωστίζονται». Όμως τι έχει να κάνει όλο αυτό με το κλασικό μοντέλο;

Θυμάσαι πώς βγάζουμε την ταχύτητα και την ακτίνα της τροχιάς του ηλεκτρονίου από τον τύπο του Bohr; Αυτές οι τιμές, με τη σειρά τους, μας επιτρέπουν να υπολογίσουμε τη συχνότητα περιστροφής -- δηλαδή, τον αριθμό των περιστροφών, που πραγματοποιεί, ανά μονάδα χρόνου.

Αυτό είναι που ονομάσαμε «συχνότητα δόνησης». σωστά;

Σωστά. Τώρα, εδώ είναι το ενδιαφέρον κομμάτι: Καθώς ο n γίνεται όλο και μεγαλύτερος, η διαφορά μεταξύ των ενεργειακών επιπέδων n και n+1 όλο και πλησιάζει την σταθερά του Planck επί την συχνότητα περιστροφής στο επίπεδο n.

Για ένα λεπτό ... είπαμε οτι η διαφορά μεταξύ των ενεργειακών επιπέδων όφειλε να είναι ίση με την σταθερά του Planck επί τη συχνότητα του φωτονίου. Έτσι για πολύ μεγάλες τιμές του n, η συχνότητα του φωτονίου θα πρέπει να είναι πολύ κοντά στη «συχνότητα δόνησης» του ηλεκτρονίου -- πράγμα που προβλέπει το μοντέλο του Rutherford!

Πολύ σωστά. Εδώ είναι το σημείο που η κλασική μηχανική και η κβαντομηχανική αλληλοεπικαλύπτονται. Ένας άλλος τρόπος για να το δείτε είναι ο εξής: η συχνότητα ενός εκπεμπομένου φωτονίου βρίσκεται πάντα ανάμεσα στις συχνότητες περιστροφής των δύο ενεργειακών επιπέδων που εμπλέκονται (γεγονός που μπορεί να αποδειχθεί με λίγη άλγεβρα). Όταν τα ενεργειακά επίπεδα πλησιάζουν το ένα το άλλο, δεν υπάρχει αρκετός «χώρος» αναμεταξύ τους, κι έτσι η συχνότητα του φωτονίου τείνει να ταυτιστεί όλο και περισσότερο με τη συχνότητα περιστροφής.

Μπορώ να σας παρουσιάσω μια αλγεβρική απόδειξη αυτής της σχέσης μεταξύ των μοντέλων του Rutherford και του Bohr.

Τέλεια. Τώρα μπορώ να διακρίνω τη σχέση μεταξύ του κλασικού τρόπου να βλέπεις τα πράγματα, που φαίνεται να δουλεύει σωστά για μεγάλα αντικείμενα όπως αστέρια και πλανήτες, και του μοντέλου του Bohr, που περιγράφει πώς πραγματικά είναι ο κόσμος σε ατομική κλίμακα ...

Λοιπόν, η εικόνα δεν είναι ακόμα πλήρης. Στην πραγματικότητα κανείς δεν γνωρίζει ακριβώς τι «πραγματικά» συμβαίνει μέσα σε ένα άτομο, όμως γνωρίζουμε οτι το μοντέλο του Bohr δεν είναι εντελώς ακριβές. Τα ηλεκτρόνια δεν περιστρέφονται καν σε τροχιές. Το μοντέλο του Schrödinger συμφωνεί περισσότερο με τα πειραματικά δεδομένα, κι έτσι πιστεύουμε οτι τείνει να περιγράψει την πραγματικότητα με μεγαλύτερη ακρίβεια.

Oh, όχι κι άλλο μοντέλο! Πώς εξηγεί το μοντέλο του Schrödinger την ακτινοβολία των ατόμων; Ταιριάζει κι αυτό με την ιδέα των «παλλόμενων φορτίων»;

Λοιπόν, αυτό είναι μια άλλη ιστορία ...