Το μοντέλο του γραμμικού ταλαντωτή στην Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας και στη Νευτώνεια Μηχανική
Σύνοψη
Σε αυτή την εργασία, ορίζουμε, μελετάμε και προσομοιώνουμε τον γραμμικό ταλαντωτή στο πλαίσιο της Σχετικιστικής και της Νευτώνειας Μηχανικής. Περιγράφουμε το σχετικιστικό και το Νευτώνειο μοντέλο και παράγουμε τις αντίστοιχες εξισώσεις κίνησης, ως προς ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς. Ο χρόνος t στο Νευτώνειο μοντέλο ταυτίζεται με τον παγκόσμιο χρόνο του αδρανειακού συστήματος αναφοράς στο σχετικιστικό μοντέλο. Οι εξισώσεις κίνησης εκφράζονται με ελεύθερη παράμετρο τον κοινό χρόνο t των δύο μοντέλων. Οι αρχικές συνθήκες και οι παράμετροι που προσδιορίζουν την κίνηση του ταλαντωτή σε κάθε μοντέλο επιλέγονται έτσι ώστε στο μη σχετικιστικό όριο οι εξισώσεις κίνησης και οι αρχικές συνθήκες του σχετικιστικού ταλαντωτή να ταυτίζονται με εκείνες του Νευτώνειου.
Με βάση τις εξισώσεις κίνησης, προσομοιώνουμε την κίνηση του Νευτώνειου και του σχετικιστικού ταλαντωτή. Υπολογίζουμε την περίοδο και τη συχνότητα της κίνησης κάθε ταλαντωτή, σε συνάρτηση με τη μηχανική του ενέργεια. Μελετάμε τα αντίστοιχα γραφήματα θέσης - χρόνου και ταχύτητας - θέσης σε κάθε μοντέλο και συγκρίνουμε τις προβλέψεις τους.
Βασικές έννοιες και σχέσεις
Αδρανειακό σύστημα συντεταγμένων σε χώρο Minkowski - Παγκόσμιος χρόνος - Δύναμη Minkowski - Οι εξισώσεις κίνησης σωματιδίου σε χώρο Minkowski - Σχετικιστικός ταλαντωτής - Ο 2ος νόμος του Newton - Νευτώνειος ταλαντωτής
Με click στην εικόνα, μπορείτε να μεταφορτώσετε την εργασία σε μορφή αρχείου pdf (Ελληνικά), αλλιώς (και εφόσον το επιτρέπει ο φυλλομετρητής σας), μπορείτε να τη μελετήσετε απ'ευθείας πάνω στην παρούσα σελίδα.
Για να μεταβείτε στην προσομοίωση (English version) ακολουθήστε την υπερσύνδεση: Linear Oscillator: the relativistic and the Newtonian model
Αναφορές
Electrodynamics and Classical Theory of Fields and Particles: A.O. Barut, Dover edition 1980.
Classical Mechanics: Goldstein, Poole & Safko, Addison Wesley, 3d edition.
Σε αυτή την εργασία, ορίζουμε, μελετάμε και προσομοιώνουμε τον γραμμικό ταλαντωτή στο πλαίσιο της Σχετικιστικής και της Νευτώνειας Μηχανικής. Περιγράφουμε το σχετικιστικό και το Νευτώνειο μοντέλο και παράγουμε τις αντίστοιχες εξισώσεις κίνησης, ως προς ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς. Ο χρόνος t στο Νευτώνειο μοντέλο ταυτίζεται με τον παγκόσμιο χρόνο του αδρανειακού συστήματος αναφοράς στο σχετικιστικό μοντέλο. Οι εξισώσεις κίνησης εκφράζονται με ελεύθερη παράμετρο τον κοινό χρόνο t των δύο μοντέλων. Οι αρχικές συνθήκες και οι παράμετροι που προσδιορίζουν την κίνηση του ταλαντωτή σε κάθε μοντέλο επιλέγονται έτσι ώστε στο μη σχετικιστικό όριο οι εξισώσεις κίνησης και οι αρχικές συνθήκες του σχετικιστικού ταλαντωτή να ταυτίζονται με εκείνες του Νευτώνειου.
Με βάση τις εξισώσεις κίνησης, προσομοιώνουμε την κίνηση του Νευτώνειου και του σχετικιστικού ταλαντωτή. Υπολογίζουμε την περίοδο και τη συχνότητα της κίνησης κάθε ταλαντωτή, σε συνάρτηση με τη μηχανική του ενέργεια. Μελετάμε τα αντίστοιχα γραφήματα θέσης - χρόνου και ταχύτητας - θέσης σε κάθε μοντέλο και συγκρίνουμε τις προβλέψεις τους.