Σύγκριση Αριθμών

Σύγκριση Αριθμών

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=30104 Άσκηση 2Να συγκριθούν οι αριθμοί...

Να βρεθούν τα άγνωστα ψηφία

Να βρεθούν τα άγνωστα ψηφία

  ΑΣΚΗΣΗ 4:   Να βρεθούν τα ψηφία , αν γνωρίζουμε ότι ο αριθμός διαιρείται με το , με το και...

Επτάδες φυσικών αριθμών

Επτάδες φυσικών αριθμών

Να αποδειχθεί ότι σε οποιαδήποτε επτάδα φυσικών αριθμών μικρότερων του 126, μπορούμε να βρούμε...

Άσκηση ΔΦ4

Να εξετάσετε αν υπάρχουν θετικοί ακέραιοι x,y,zτέτοιοι ώστε να ισχύει: 5x+6y=3·9z...

Άσκηση AN5

Αν x,y,z>0 x,y,z > 0 , να αποδείξετε ότι: x2+z2y+y2+x2z+z2+y2x≥2(x+y+z) \frac{x^2...

ΑΝ6 - Ανισότητα Nesbitt

Για κάθε a,b,c>0 a,b,c>0 να αποδειχθεί ότι: ab+c+bc+a+cb+a≥32 \frac{a}{b+c} +...

Ανισότητα Αναδιάταξης

Ανισότητα αναδιάταξης (Rearrangement inequality) Η ανισότητα αναδιάταξης αποτελεί φυσιολογική...

Πλήθος διαγωνίων κυρτού πολυγώνου

Σε ένα κυρτό πολύγωνο με n n πλευρές να βρεθεί το πλήθος των διαγωνίων του, ως συνάρτηση του n...

ΣΥ7 - Συστήματα αλγεβρικών εξισώσεων

Να λυθεί στους πραγματικούς το σύστημα: x2=y3-3y2+2y x^2=y^3-3y^2+2y ,  y2=x3-3x2+2x...

  • Σύγκριση Αριθμών

    Σύγκριση Αριθμών

    Tuesday, 14 April 2015 20:44
  • Να βρεθούν τα άγνωστα ψηφία

    Να βρεθούν τα άγνωστα ψηφία

    Tuesday, 14 April 2015 21:17
  • Επτάδες φυσικών αριθμών

    Επτάδες φυσικών αριθμών

    Wednesday, 15 April 2015 23:54
  • Άσκηση ΔΦ4

    Friday, 17 April 2015 10:57
  • Άσκηση AN5

    Friday, 17 April 2015 11:11
  • ΑΝ6 - Ανισότητα Nesbitt

    Saturday, 18 April 2015 18:24
  • Ανισότητα Αναδιάταξης

    Saturday, 18 April 2015 18:47
  • Πλήθος διαγωνίων κυρτού πολυγώνου

    Thursday, 23 April 2015 01:30
  • ΣΥ7 - Συστήματα αλγεβρικών εξισώσεων

    Saturday, 09 May 2015 18:56

Εικασία 3ν + 1

Πολλά σημαντικά προβλήματα  των μαθηματικών έχουν προέλθει από φαινομενικά απλά ερωτήματα! Άλλα πάλι είναι όντως απλά.

Χαρακτηριστικότερο παράδειγμα αποτελεί το πασίγνωστο τελευταίο θεώρημα του Fermat (Φερμά) , το οποίο μοιάζει με μία γενίκευση του Πυθαγορείου θεωρήματος. Συγκεκριμένα αφορά την αναζήτηση ακέραιων λύσεων της εξίσωσης {tex}x^n + y^n = z^n{/tex}. όπου n ακέραιος μεγαλύτερος του 2. Παρότι για n=2 είναι γνωστό ότι υπάρχουν άπειρες Πυθαγόρειες τριάδες που το ικανοποιούν, αποδείχθηκε το 1998 από τον Andrew Wiles ότι δεν υπάρχει καμία τριάδα ακεραίων που να ικανοποιεί το θεώρημα για n>2. Τα μαθηματικά που αναπτύχθηκαν και χρησιμοποιήθηκαν για αυτό άνοιξαν νέους δρόμους στην έρευνα ή υπήρξαν ήδη και χρησιμοποιήθηκαν πρωτίστως για άλλους σκοπούς.

Παρόμοια προβλήματα με απλή διατύπωση έχουν παραμείνει εικασίες έτοιμες να απορριφθούν ή να αποδειχθούν.

Μία τέτοια είναι και η εικασία 3ν+1 :

Συγκεκριμένα αναφέρει ότι κάθε ακολουθία ακεραίων που προκύπτει με επαναληπτικά από τη συνάρτηση f(n) = 3n+1, αν n περιττός ή n/2, αν n άρτιος καταλήγει πάντα να περιλαμβάνει τον αριθμό 1.

Παράδειγμα ξεκινώντας με τον αριθμό 3  παίρνουμε διαδοχικά τους αριθμούς : 3 , f(3) = 3 3 + 1 = 10 , f(10) = 5 , f(5) = 3 5 + 1 = 16 , f(16) = 8 , f(8) = 4 , f(4) = 2 , f(2) = 1.

Ή ξεκινώντας με τον αριθμό 6 : 6, f(6) = 3, f(3) =3 3 + 1 = 10 και επαναλαμβάνεται η προηγούμενη ακολουθία.

 

Αυτή η  πρόταση δεν έχει αποδειχθεί ότι ισχύει για κάθε n φυσικό αριθμό, αλλά ούτε έχει βρεθεί αντιπαράδειγμα , δηλαδή τουλάχιστον ένας αριθμός για τον οποίο δεν ισχύει. Παρατηρούμε ότι η ακολουθία οδηγείται με βεβαιότητα στο 1 όταν προκύψει ένας όρος ο οποίος θα είναι δύναμη του 2.

Add comment


Security code
Refresh