Τριχοτόμηση Γωνίας -Η δεύτερη
λύση του Πάππου |
||
Ο Πάππος στο έργο του "Μαθηματική συναγωγή" έδωσε δύο λύσεις στο πρόβλημα της τριχοτόμησης μιας γωνίας. |
||
|
||
άρα η ΚΕ θα είναι διχοτόμος της γωνίας ΡΕΔ και η γωνία ΡΚΕ θα είναι 2ω ως εξωτερική του τριγώνου ΚΔΕ. Επειδή η ΚΕ είναι διχοτόμος της γωνίας ΡΕΔ ισχύει |
||
Φέρουμε την ΡΒ κάθετη στην ΔΕ άρα ΚΜ//ΡΒ και θα ισχύει |
||
Από τις (2) και (3) προκύπτει και επειδή η είναι ΔΕ=2ΔΜ θα είναι |
||
Το ΜΒ όμως είναι ίσο με την απόσταση του Ρ από την ΚΜ ,άρα από τη σχέση (4) προκύπτει ότι το Ρ θα βρίσκεται σε μία υπερβολή με εκκεντρότητα ε=2, η οποία θα έχει εστία το σημείο Ε και διευθετούσα την ΚΜ . Αν πάρουμε ένα σημείο Α πάνω στο ΔΕ ώστε ΑΕ=2ΜΑ, τότε το Α θα είναι σημείο της υπερβολής όπως επίσης και το Δ αφού ΔΕ=2ΔΜ . Αν θεωρήσουμε ένα σύστημα συντεταγμένων του οποίου ο άξονας ΟΧ να ταυτίζεται με την ΜΕ τότε τα σημεία Α και Δ θα είναι οι κορυφές της υπερβολής και το μέσο Ο του ΔΑ το κέντρο του συστήματος. |
||
Θέτουμε α=ΟΑ και επειδή ε=2 από τη σχέση |
||
|
||
άρα η υπερβολή έχει εξίσωση |
||
Χρησιμοποιπώντας την παραπάνω υπερβολή, η τριχοτόμηση μιας γωνίας γίνεται όπως παρουσιάζεται στην παρακάτω εφαρμογή. | ||
Απόδειξη: Επειδή το σημείο Γ ανήκει στην υπερβολή θα είναι . Η γωνία ΓΟΕ είναι επίκεντρη και βαίνει στο ίδιο τόξο με την ΓΔΕ άρα θα είναι λόγω της προηγούμενης σχέσης. Όμοια για την ΔΟΓ θα είναι άρα η γωνία ΓΟΕ θα είναι το ένα τρίτο της ΔΟΕ . |
||
Βιβλιογραφία | ||
Η λύση του : Αρχιμήδη-1, Αρχιμήδη-2, Πάππου-1, Πάππου -2 , Ιππία, Νικομήδη, Pascal |