Τριγωνομετρικός κύκλος

Στη Γ- Γυμνασίου είχαμε ορίσει τους(βλέπε το αντίστοιχο μάθημα στη Γ-Γυμνασίου) τριγωνομετρικούς αριθμούς μιας γωνίας ω ,με
0^ο ≤ω≤360^ο ,που παράγεται από τον ημιάξονα Οx όταν περιστραφεί κατά την θετική φορά. Ο θετικός ημιάξονας λέγεται αρχική πλευρά της γωνίας ω ,ενώ η τελική του θέση τελική πλευρά της ω .Πάνω στη τελική πλευρά πήραμε ένα οποιοδήποτε σημείο Μ διαφορετικό από την αρχή Ο ,βρήκαμε τις συντεταγμένες του x,y (στο σχήμα τις συμβολίζουμε με xM,yM) την απόσταση του ρ από την αρχή Ο δηλ το μήκος του τμήματος ΟΜ(στο σχήμα rM) και χρησιμοποιήσαμε τους τύπους

(x≠0)

Ορίζουμε ακόμα την συνεφαπτομένη της γωνίας ω ως εξής : .

Γίνεται τώρα φανερό ότι , αν επιλέξουμε το σημείο Μ ώστε η απόσταση ρ= ΟΜ να είναι ίση με τη μονάδα τότε οι υπολογισμοί μας θα είναι ευκολότεροι αφού στο ημίτονο και στο συνημίτονο ο παρανομαστής θα είναι η μονάδα και οι τύποι θα πάρουν τη μορφή :

ημω= y = τεταγμένη του Μ , συνω= x = τετμημένη του Μ

Για να βρίσκουμε εύκολα το σημείο Μ με ρ=ΟΜ=1 μπορούμε να γράψουμε ένα κύκλο με κέντρο το Ο και ακτίνα ρ=1 και εκεί που η τελική πλευρά της γωνίας τέμνει τον κύκλο αυτό είναι το σημείο Μ που θέλουμε. Τον κύκλο αυτό τον ονομάζουμε τριγωνομετρικό κύκλο .
Δηλ Τριγωνομετρικός κύκλος είναι ο κύκλος με κέντρο το σημείο Ο και ακτίνα ρ=1.
Στην παρακάτω εφαρμογή φαίνεται ο κύκλος αυτός .

Χρησιμοποιώντας την εφαρμογή αυτή μπορείτε να βρείτε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οποιαδήποτε γωνίας δίνοντας τις τιμές που θέλετε στο πεδίο κειμένου (δώστε τη γωνία σε μοίρες και πατήστε το "Ο.Κ" ,για δεκαδικούς χρησιμοποιούμε τελεία (35.6 ) αντί για κόμμα ,κάνοντας κλικ στο σημείο Μ μιας γωνίας που έχουμε δώσει έχουμε τους τριγωνομετρικούς της αριθμούς στο πεδίο κειμένου ,μπορούμε επίσης να μετακινήσουμε το σημείο Μ και να δούμε πως μεταβάλλονται οι τριγωνομετρικοί αριθμοί καθώς η γωνία αυξάνεται ή ελαττώνεται . )

Μπορούμε να ορίσουμε αρνητικές γωνίες αν ο ημιάξονας Οx στραφεί κατά την αρνητική φορά (κατά τη φορά που κινούνται οι δείκτες του ρολογιού) και με τους παραπάνω ορισμούς να ορίσουμε και γι' αυτές τριγωνομετρικούς αριθμούς .(δώστε μια αρνητική τιμή στο πεδίο κειμένου ) .

Μπορούμε επίσης να ορίσουμε γωνίες μεγαλύτερες από 360 μοίρες (π.χ γωνία 400^ο) αν ο ημιάξονας Οx κάνει μια πλήρη στροφή και συνεχίσει να κινείται ακόμη κατά τη θετική φορά (π.χ κατά 40^ο) (δώστε στο πεδίο κειμένου 400).Όμοια ορίζουμε και αρνητικές γωνίες μικρότερες από -360 μοίρες.

Εύκολα καταλαβαίνουμε ότι για το ημίτονο και το συνημίτονο ισχύουν οι σχέσεις . -1 ≤ημx≤1 και -1 ≤συνx≤1

Χρησιμοποιώντας τον τριγωνομετρικό κύκλο μπορείτε να συμπληρώσετε το παρακάτω πίνακα με το πρόσημο των τριγωνομετρικών αριθμών σε κάθε τεταρτημόριο .

	1ο Τετα/ριο	2ο Τετα/ριο	3ο Τετα/ριο	4ο Τετα/ριο
ημω
συνω
εφω
σφω

Κεντρική σελίδα>Θέματα Λυκείου>Τριγωνομετρικός κύκλος