Τριχοτόμηση Γωνίας -Η δεύτερη
λύση του Πάππου
Ο Πάππος στο έργο του "Μαθηματική συναγωγή" έδωσε δύο λύσεις στο πρόβλημα της τριχοτόμησης μιας γωνίας.
Η δεύτερη από αυτές, στηρίζεται σε μία ειδική υπερβολή, που παρουσιάζουμε αρχικά.
 |
Έστω δύο σταθερά σημεία Ε και Δ ,θα βρούμε τον γεωμετρικό τόπο των
σημείων Ρ του επιπέδου για τα οποία ισχύει η σχέση Έστω Ρ ένα
τέτοιο σημείο και Μ το μέσο του ΕΔ, φέρουμε την κάθετη στην ΕΔ
στο Μ η οποία τέμνει την ΡΔ στο Κ, τότε |
άρα η ΚΕ θα είναι διχοτόμος της γωνίας ΡΕΔ και η γωνία ΡΚΕ θα είναι 2ω ως εξωτερική του τριγώνου ΚΔΕ.
Επειδή η ΚΕ
είναι διχοτόμος της γωνίας ΡΕΔ ισχύει 
Φέρουμε την ΡΒ κάθετη στην ΔΕ άρα
ΚΜ//ΡΒ και θα ισχύει 
Από τις (2)
και (3) προκύπτει 
και επειδή η
είναι ΔΕ=2ΔΜ θα είναι
Το ΜΒ όμως είναι ίσο με την απόσταση του Ρ από την ΚΜ ,άρα από τη σχέση (4) προκύπτει ότι το Ρ θα βρίσκεται σε μία υπερβολή με εκκεντρότητα ε=2, η οποία θα έχει εστία το σημείο Ε και διευθετούσα την ΚΜ . Αν πάρουμε ένα σημείο Α πάνω στο ΔΕ ώστε ΑΕ=2ΜΑ, τότε το Α θα είναι σημείο της υπερβολής όπως επίσης και το Δ αφού ΔΕ=2ΔΜ . Αν θεωρήσουμε ένα σύστημα συντεταγμένων του οποίου ο άξονας ΟΧ να ταυτίζεται με την ΜΕ τότε τα σημεία Α και Δ θα είναι οι κορυφές της υπερβολής και το μέσο Ο του ΔΑ το κέντρο του συστήματος.
Θέτουμε α=ΟΑ και επειδή
ε=2 από τη σχέση 
άρα η
υπερβολή έχει εξίσωση 
Απόδειξη:
Επειδή το σημείο Γ ανήκει στην υπερβολή θα είναι 
. Η γωνία ΓΟΕ είναι επίκεντρη και βαίνει στο ίδιο τόξο με την ΓΔΕ άρα θα είναι 
λόγω της προηγούμενης σχέσης.
Όμοια για την ΔΟΓ θα είναι 
άρα η γωνία ΓΟΕ θα είναι το ένα τρίτο της ΔΟΕ .
Έτσι η γωνία ΑΟΒ τριχοτομήθηκε.