Ε   ρ   μ   η   ν   ε   ί   ε   ς

Απο την ύλη της Γ Λυκείου

Απο την ύλη της Β Λυκείου

Εσωτερικά σημεία του διαστήματος Δ λέγονται τα σημεία του, που δεν είναι άκρα του
αν χο εσωτερικό του Δ τότε (χο-δ, χο+δ ) υποσύνολο του Δ όπου υπάρχει πάντα δ>0
π.χ.αν Δ=[α,β) τότε τα α, β δεν είναι εσωτερικά του.
Εσωτερικά  είναι εκείνα τα χ ώστε α<χ<β

Οταν μια συνάρτηση ορίζεται στο Δ τότε μπορεί
η παράγωγός της να μην ορίζεται στο Δ αλλά στο Δ χωρίς τα άκρα του π.χ
που ορίζεται στο [ 0 , ∞)
ενώ η f ' ορίζεται στο ( 0 , ∞), 
έτσι είναι f ' >0 για κάθε εσωτερικό σημείο χ του ( 0 , ∞)
και f γν. αύξουσα στο  [ 0 , ∞)
up

Πεδίο ορισμού της f '

Θεωρία του σχολικού:
Η f(x) θα είναι παρ/μη στο [α,β] όταν είναι παρ/μη στο (α,β) και επιπλέον τα παρακάτω όρια είναι πραγματικοί

ΜΕΘΟΔΟΣ

Προσοχή και στα π.χ. του σχολικού

θυμίζουμε ότι όταν έχουμε δύναμη με εκθέτη θετικό ρητό η βάση πρέπει να είναι μη αρνητική
Παραγωγίζοντας θέτουμε x διάφορο 0 και παίρνουμε lim στο 0 (πλευρικά) τα οποία δεν είναι πραγματικά οπότε δεν είναι παρ/μη στο 0

Παραγωγίζοντας θέτουμε x διάφορο 0 και παίρνουμε lim στο 0 (πλευρικά) τα οποία είναι μηδέν οπότε είναι παρ/μη στο 0

up

Πρόσημο f '

1 για ολικά
 Αν η f(x) είναι συνεχής στο [α,β] τότε έχει σίγουρα ολικά ακρότατα  και για να τα βρούμε :

• Βρίσκουμε κρίσιμα σημεία της  f(x) 

• Υπολογίζουμε τις τιμές της στα σημεία αυτά καθώς και στα άκρα α,β

• απο αυτές η μεγαλύτερη και η μικρότερη είναι αντίστοιχα  το MAX - MIN
  

 2 (εκτός σχολ. ύλης) για τοπικά
Εστω  f(x) παρ/μη στο (α,β) και χο σημείο του (α,β) στο οποίο η  f(x) παρ/μη δύο φορές

• Αν  f ' (xο)=0 και  f '' (xο) >0 τότε το f(xo) είναι τοπικό ελάχιστο

• Αν  f ' (xο)=0 και  f '' (xο)<0 τότε το f(xo) είναι τοπικό μέγιστο

up

Ασύμπτωτες: Πολλοί θεωρούν ότι είναι ευθείες

που η γραφική παράσταση της f δεν τίς τέμνει.

Στην πραγματικότητα είναι ευθείες που  η γραφική παράσταση της f
τις πλησιάζει ΟΣΟΔΗΠΟΤΕ κοντά.
Ειδικά όμως στις κατακόρυφες τις πλησιάζει οσοδήποτε ΧΩΡΙΣ να τις τέμνει

up

 Ενδιάμεσες τιμές

Η f(χ) είναι συνεχής στο [α,β] , f(α)=2003 f(β)=2008 τότε απαραίτητα
υπάρχει χο στο (α,β) ώστε f(χο)=2004 .

Είναι σωστό αφού το 2004 είναι ενδιάμεσο των 2003 και 2008

Προσοχή

Η f(χ) είναι συνεχής στο [α,β] , f(α)=2003 f(β)=2008 τότε απαραίτητα
δεν υπάρχει χο στο (α,β) ώστε f(χο)=2010 ;

είναι λάθος
 αφού το μόνο που γνωρίζουμε είναι ότι η f(χ) παίρνει όλες τις ενδιάμεσες  τιμές απο 2003 έως 2008  
   ( δηλ το [2003,2008] είναι ένα τμήμα του συνόλου τιμών και όχι ολόκληρο) , 
δεν γνωρίζουμε τι άλλες τιμές μπορεί να παίρνει η f(χ)
Αν ήταν δεδομένο ότι η f(χ) γν μονότονη τότε θα απαντούσαμε με σιγουριά 
ότι  η παραπάνω πρόταση είναι σωστή
  (το [2003,2008] είναι τότε ολόκληρο το σύνολο τιμών }

up

Πώς βρίσκουμε την διάμεσο δ όταν το 50%
αντιστοιχεί σε δύο ισοϋψείς ράβδους

Έστω η παρακάτω κατανομή

την συμπληρώνουμε με την στήλη vi

και είναι φανερό ότι η διάμεσος είναι η τιμή 6 αφού

αριστερά και δεξιά της της βρίσκεται το 50% των παρατηρήσεων


ενώ αν πάρουμε το πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων
υπάρχει μια μικρή αδυναμία σε ποιό σημείο θα τμηθεί το πολύγωνο

πολύγωνο

γενικότερα υπάρχει ο τύπος (εκτός σχολ. ύλης) δ=Li + ci .(v/2 -Ni-1)/vi όπου Li το αριστερό άκρο της κλάσης που περιέχει την δ vi η συχνότητα της κλάσης αυτής Ni-1 η αθρ. συχνότητα της κλάσης αυτής ν το πλήθος ci το πλάτος της κλάσης αυτής

up

Κριτήριο παρεμβολής

Όταν με το κριτήριο παρεμβολής οι 2 συναρτήσεις που παρεμβάλλουν την f(x) έχουν διαφορετικά όρια
τότε ΔΕΝ λέμε η f  δεν έχει όριο
απλά λέμε δεν ισχύει το κριτήριο παρεμβολής

πχ    
|ημx|≤ |x|
-|x| ≤ ημx ≤   |x|

όριο  των -|x| ,  |x| στο χ=2 είναι    -2 και 2 αντίστοιχα.

ΔΕΝ μπορούμε όμως να πούμε ότι  το ημχ στο χ=2 ΔΕΝ εχει όριο

 απλά δεν ισχύει το κριτήριο παρεμβολής

up

Αντίστροφο Bolzano; 

Εκδοχή 1
Η f(χ) είναι συνεχής στο [α,β] και υπάρχει χο στο (α,β) ώστε f(χο)=0
τότε απαραίτητα f(α). f(β)<0 ; 

φυσικά δεν ισχύει

π.χ. f(x)=χ²-1 συνεχής στο [-2,2]
f(-1)=f(1)=0
και όμως
f(-2).f(2)=9 >0

Εκδοχή 2

Η f(χ) είναι ορίζεται  στο [α,β] και υπάρχει χο στο (α,β) ώστε f(χο)=0
και f(α). f(β)<0 τότε η  f(χ) είναι συνεχής στο [α,β] ; 

φυσικά δεν ισχύει

f(1).f(10)=-2<0   η f(χ) μηδενίζεται για x=8  αλλά η  f(χ) δεν είναι συνεχής στο [1,10]

Εκδοχή 3

Η f(χ) ορίζεται στο [α,β] και f(α). f(β)<0 τότε
απαραίτητα υπάρχει χο στο (α,β) ώστε f(χο)=0 ;

φυσικά δεν ισχύει

 γιατί πρέπει απαραίτητα να είναι συνεχής  π.χ

f(-1).f(3)=-20<0  και όμως η f(χ) δεν μηδενίζεται για καμία τιμή του (-1,3)

up

Παράδειγμα όπου φαίνεται ότι η διάμεσος
είναι εκείνη η τιμή ώστε το πολύ 50%
των παρατηρήσεων είναι μικρότερη απ'αυτή
και το πολύ 50% είναι μεγαλύτερη απ'αυτή

Διάμεσος 50%

up

Τι γίνεται όταν σε μια σχέση με μιγαδικούς πάρουμε μέτρα;

Δίνεται η εξίσωση  z² +2/z = 2  όπου z∈C με z≠0

B1. Να βρείτε τις ρίζες z₁ και z₂ της εξίσωσης.  Μονάδες 7

B2. Να αποδείξετε ότι  z₁²⁰¹⁰+ z₂²⁰¹⁰ =0   Μονάδες 6

Οι ρίζες είναι 1+i και 1-i. Πολλοί μαθητές λένε στο β)
Αρκεί (1+i) ²⁰¹⁰+ (1-i)²⁰¹⁰ =0
(1+i) ²⁰¹⁰=- (1-i)²⁰¹⁰ 
|1+i |²⁰¹⁰=|- (1-i)|²⁰¹⁰ 
Τ_ρ(2)²⁰¹⁰=Τ_ρ(2)²⁰¹⁰
ισχύει
Το αποτέλεσμα πράγματι ισχύει.
Το λάθος είναι ότι παίρνοντας μέτρα δεν ισχύει η ισοδυναμία

Πότε θα παίρνουμε μέτρα;
Απάντηση:
Γενικά όταν υπάρχει μια ζητούμενη σχέση και πάρουμε μέτρα σε αυτή ,τότε η εργασία είναι λάθος.
Άλλο ένα π.χ.
Δίνεται η σχέση (2w-1)⁵ =(z-2)⁵ (1) όπου w συζυγής του z
Φανερό ότι δεν δουλεύεται η σχέση με z=χ+ψi, w=χ-ψi  λόγω της 5ης δύναμης,
οπότε θα πάρουμε μέτρα  |2w-1|⁵ =|z-2|⁵ 
οπότε |2w-1|=|z-2| και με z=χ+ψi, w=χ-ψi καταλήγουμε σε χ²+ψ²=1 (2)
Το συμπέρασμα τώρα θα είναι ότι οι εικόνες του Z ανήκουν στον παραπάνω κύκλο.

ΔΕΝ μπορούμε να πούμε ότι ο γ.τ. των εικόνων του z είναι ο παραπάνω κύκλος.
Άλλωστε η (1) αν λυνόταν θα έδινε σαν λύση  μερικές τιμές για το z 
που δεν δίνουν ολόκληρο τον κύκλο(2), αλλά σημεία του.
Αν είχαμε αρχική σχέση την |2w-1|⁵ =|z-2|⁵ τότε,
 θα  λέγαμε ανεπιφύλακτα ότι ο γ.τ. είναι ο κύκλος (2)
Όλα αυτά επειδή δεν ισχύει το αντίστροφο όταν παίρνουμε μέτρα

up

 Πώς λύνεται η f(x).g(x)=0;

αν είναι   f(x).g(x)=0 για κάθε χ Є Α τότε ΔΕΝ μπορούμε να πούμε   f(x)=0 για κάθε χ Є Α ή g(x)=0 για κάθε χ Є Α
πχ. 

Αν όμως f(x), g(x) είναι πολυωνυμικές ή ρητές τότε η f(x).g(x)=0 
δίνει f(x)=0 ή g(x)=0 (μία τουλάχιστον)

Επίσης αν μία από τις δύο συναρτήσεις είναι ≠0 
τότε η f(x).g(x)=0 δίνει την άλλη συνάρτηση =0

Επίσης αν μία από τις δύο συναρτήσεις  είναι συνεχής και διατηρεί σταθερό πρόσημο 
τότε η f(x).g(x)=0 δίνει την άλλη συνάρτηση =0

up

Συνέχεια και πρόσημο, πώς λύνεται η f ²(χ)=...

 π.χ.
Έστω   η f (χ) είναι συνεχής στο R και ισχύει f ²(χ)=χ²+1   (1)   στο R 
τότε επειδή χ²+1 είναι διάφορο 0 λέμε ότι και η f ²(χ) ≠0 οπότε f (χ) ≠0 άρα η f (χ) διατηρεί σταθερό πρόσημο
(Πράγματι αν πούμε δεν διατηρεί τότε εφαρμόζουμε Θ. Bolzano οπότε f(ρ)=0 άρα η (1): ρ²=-1 αδύνατο)
οπότε f(x) =ρίζα(χ²+1 )  ή  f(x) = - ρίζα(χ²+1 )
Αν επιπλέον έδινε η άσκηση f(κ)=3>0 τότε θα λέγαμε  μόνο f(x) =ρίζα(χ²+1 ) 

άλλο πχ.

Έστω   ισχύει f ²(χ)=1   (1)   στο R 

Αν δεν είναι συνεχής τότε υπάρχουν άπειρες συναρτήσεις με αυτή την ιδιότητα
όπως 

Αν όμως είναι συνεχής τότε επειδή f (χ) ≠0 άρα η f (χ) διατηρεί σταθερό πρόσημο
 οπότε ο τύπος της θα είναι f(x)=1 στο R ή f(x)=-1 στο R 

Ας το δούμε σε μια άσκηση 

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f: R→R η οποία για κάθε x∈R ικανοποιεί τις σχέσεις:

f(x)≠x  και  f(x)–x =3+ ∫t/(f (t)-t) dt          (ολοκλ. απο 0 έως χ)   (1)

Δ1. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο R με

παράγωγο f ΄(x)=f (x)/(f (x) -x) , x∈ R   Μονάδες 5

Δ2. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g(x)= f ²(x) –2xf(x), (2)

x∈ R, είναι σταθερή.              Μονάδες 7

Δ3. Να αποδείξετε ότι f(x)=x+ Τ-Ρ(x² + 9) , x∈R   Μονάδες 6

Ας ασχοληθούμε με το Δ3

Έχουμε δείξει ότι g΄(x)=0  επομένως g(x)=c , c σταθερά. 
Απο (2): g(0)=f ²(0)=9 , αφού f (0)=3 λόγω (1)
Απο (2): f ²(x) –2xf(x)=9, οπότε (f(x)–x )² =x² + 9  (3)
Απο την σχέση αυτή επειδή f(x)≠x (ή επειδή x² + 9≠0)
συμπεραίνουμε ότι 
η f(x)–x  διατηρεί σταθερό πρόσημο , και μάλιστα θετικό (αφού f(0)–0=3 )
επομένως η (3) δίνει f(x)=x+ Τ-Ρ(x² + 9) , x∈R
Τ-Ρ σημαίνει τετραγωνική ρίζα

up

up