Chaque déterminant d`une matrice 2 × 2 dans cette équation est appelé un «mineur» de la matrice A. En outre, prenez votre temps pour vous assurer que votre arithmétique est également correcte. Soyez très prudent lors de la substitution des valeurs dans les bons endroits dans la formule. Delta_ {1,3} = $ $ = a_ {1, 1} cdot (-1) ^ {2} cdotDelta_{1, 1} + a_ {1. L`ensemble de toutes ces permutations (également connu sous le nom de groupe symétrique sur n éléments) est notée par Sn. Ceci est particulièrement intéressant pour les matrices sur les anneaux. Les types spéciaux de matrices ont des déterminants spéciaux; par exemple, le déterminant d`une matrice orthogonale est toujours plus ou moins un, et le déterminant d`une matrice hermitienne complexe est toujours réel. Ces méthodes sont de l`ordre O (N3), qui est une amélioration significative par rapport à O (n! Ces équations disent que le déterminant est une fonction linéaire de chaque colonne, que les colonnes adjacentes interchangeantes renverse le signe du déterminant, et que le déterminant de la matrice d`identité est 1. Historiquement, les déterminants ont été utilisés bien avant les matrices: à l`origine, un déterminant a été défini comme une propriété d`un système d`équations linéaires. Maintenant, si vous développez ce nouveau déterminant sur la première rangée à l`aide de mineurs, deux des déterminants 3 par 3 résultants ont un coefficient de 0, simplifiant ainsi le calcul. Un algorithme de Mahajan et Vinay, et Berkowitz [19] est basé sur des promenades commandées fermées (Short Clow). Par exemple, la commutation de deux colonnes modifie le signe du déterminant; de même, permutation les vecteurs dans le produit extérieur v1 ∧ v2 ∧ v3 ∧…
∧ VN à V2 ∧ V1 ∧ v3 ∧… ∧ VN, par exemple, change aussi son signe. Dans la géométrie analytique, les déterminants expriment les volumes n-dimensionnels signés des parallélépipèdes n-dimensionnels. La formule de Laplace exprime le déterminant d`une matrice en termes de ses mineurs. Cela signifie qu`un {displaystyle A} mappe l`unité n-cube au parallotope n-dimensionnel défini par les vecteurs a 1, a 2,…, a n {displaystyle {mathbf {a}} _ {1}, {mathbf {a}} _ {2}, ldots, {mathbf {a}} _ {n}}, la région P = {c 1 a 1 + ⋯ + c n A n ∣ 0 ≤ c i ≤ 1 ∀ i}. Le calcul du det (A) au moyen de cette formule est appelé expansion du déterminant le long d`une rangée, la i-ème rangée en utilisant la première forme avec i fixe, ou en étendant le long d`une colonne, en utilisant la deuxième forme avec j fixe. Le déterminant peut être considéré comme attribuant un nombre à chaque séquence de n vecteurs dans RN, en utilisant la matrice carrée dont les colonnes sont les vecteurs donnés. À condition que les scalaires sous-jacents forment un champ (plus généralement, un anneau commutatif avec l`unité), la définition ci-dessous montre qu`une telle fonction existe, et il peut être montré pour être unique.