5.3 Ιδανικά και πραγματικά φίλτρα
Πολλές φορές, για λόγους τυποποίησης και απλούστευσης, είναι βολικό να αντιμετωπίζουμε τα ενεργά φίλτρα με προσεγγιστικό τρόπο, ανάγοντάς τα σε
εξιδανικευμένα και απλοποιημένα θεωρητικά πρότυπα τα οποία ονομάζονται ιδανικά φίλτρα. Σε άλλες πάλι περιπτώσεις, η προσφυγή σε αυτά τα πρότυπα είναι ανεπαρκής ή οδηγεί σε αξιοσημείωτα σφάλματα τότε το φίλτρο πρέπει να αντιμετωπίζεται με βάση την ακριβή πραγματική του συμπεριφορά, δηλ. ως πραγματικό φίλτρο.
5.3.1 Ιδανικά Φίλτρα
Ιδανικό θεωρείται το φίλτρο που ικανοποιεί τους εξής 4 βασικούς όρους:
• Έχει απολαβή (ενίσχυση) μονάδα, δηλ. δε δημιουργεί ούτε ενίσχυση ούτε
υποβιβασμό του σήματος εισόδου σ' όλη την έκταση του ή των ζωνών διέλευσής του.
• Δημιουργεί πλήρη υποβιβασμό (100%) του σήματος εισόδου σε όλη την έκταση του ή των ζωνών αποκοπής του.
• Η μετάβαση της απόκρισης από τη μια ζώνη στην άλλη είναι τελείως απότομη.
• Δε δημιουργεί καμία παραμόρφωση στα σήματα που περνούν μέσα από τις ζώνες διέλευσης.
Τα παραπάνω οδηγούν στις καμπύλες απόκρισης του Σχ.5.7 για τις τέσσερις κύριες κατηγορίες ιδανικών φίλτρων, δηλ. ΦΧΣ (α), ΦΥΣ (β), ΦΖΔ (γ) και ΦΖΑ (δ). Όπως παρατηρούμε, όλες αυτές οι ιδανικές καμπύλες απόκρισης είναι ορθογώνιες και η απολαβή τάσης στη ζώνη διέλευσης θεωρείται μονάδα.
(δ)
Στο ιδανικό ΦΧΣ, η ζώνη διέλευσης εκτείνεται από τη μηδενική συχνότητα μέχρι τη συχνότητα αποκοπής f1. Στο ιδανικό ΦΥΣ, η ζώνη διέλευσης εκτείνεται από τη συχνότητα αποκοπής f2 μέχρι την άπειρη συχνότητα. Στο ιδανικό ΦΖΔ, η ζώνη διέλευσης καλύπτει την περιοχή f1 < f < f2 . Τέλος, στο ιδανικό ΦΖΑ, η ζώνη διέλευσης εκτείνεται από τη μηδενική συχνότητα μέχρι την f 1 και απο την f2 μέχρι την άπειρη συχνότητα.
5.3.2 Πραγματικά Φίλτρα
Τα πραγματικά φίλτρα έχουν συμπεριφορά που μοιάζει με αυτή που προβλέπεται από τα ιδανικά φίλτρα μόνο κατά μεγάλη προσέγγιση. Έτσι, π.χ. η απότομη μετάβαση από τη ζώνη διέλευσης στη ζώνη αποκοπής και αντίστροφα, που θεωρείται ότι ισχύει στα ιδανικά φίλτρα, δεν είναι πραγματοποιήσιμη στα πραγματικά φίλτρα. Επίσης, ανέφικτη είναι η σταθερότητα τιμής της απολαβής τάσης καθ' όλη την έκτασή της ή των ζωνών διέλευσης.Τέλος, η ύπαρξη μηδενικής ενίσχυσης σ' όλη την έκτασή της ή των ζωνών αποκοπής είναι αδύνατη στα πραγματικά φίλτρα.
Συνήθως, σε αντίθεση με τις ιδανικές καμπύλες απόκρισης του Σχ.5.7, η τυπική πρακτική καμπύλη απόκρισης ενος πραγματικού φίλτρου, συγκεκριμμένα ενός ΦΧΣ, έχει τη μορφή που εικονίζει το Σχ.5.8 (με απολαβή τάσης 1).
Από το σχήμα αυτό μπορούμε να σημειώσουμε τα εξής ιδιάζοντα
χαρακτηριστικά της απόκρισης ενος πραγματικού φίλτρου.
• Στο καταληκτικό μέρος της ζώνης διέλευσης εμφανίζεται τοπική μείωση της ενίσχυσης σε τιμή απολαβής κάτω από 0 dB. Η μείωση αυτή είναι μικρή αλλά όχι αμελητέα και έχει μέγιστη τιμή που συμβολίζεται με Amax.
• Στη ζώνη αποκοπής ο υποβιβασμός της ενίσχυσης είναι μεγάλος αλλά όχι άπειρος (όπως στο ιδανικό φίλτρο). Συνήθως, στη ζώνη αυτή και κοντά στη συχνότητα αποκοπής παρατηρείται έξαρση της καμπύλης απόκρισης. Με αποτέλεσμα, ο υποβιβασμός της απολαβής να εμφανίζει μια ελάχιστη τιμή που συμβολίζεται με Amin.
• Μεταξύ της ζώνης διέλευσης και της ζώνης αποκοπής εμφανίζεται μια μεταβατική ζώνη μέσα στην οποία η απολαβή τάσης μειώνεται προοδευτικά και όχι απότομα. Η μεταβατική αυτή ζώνη εκτείνεται μεταξύ της συχνότητας αποκοπής f1 και μιας άλλης συχνότητας της fs.
Το πόσο απότομη είναι η πτώση της καμπύλης απόκρισης μέσα στη μεταβατική ζώνη εξαρτάται από την τιμή του λόγου συχνοτήτων fs /f1. Αν η μετάβαση είναι τελείως απότομη
θα έχουμε fs = f1 άρα fs/f1 = 1.
Όσο πιο «απαλή» είναι η μετάβαση, δηλ. όσο πιο μικρή είναι η κλίση της καμπύλης απόκρισης μέσα στη μεταβατική ζώνη, τόσο μεγαλύτερος από 1 θα είναι ο λόγος αυτός.
Θα πρέπει να σημειώσουμε ότι η πάρα πάνω κλίση της καμπύλης, σε λογαριθμική κλίμακα συχνοτήτων, εξαρτάται άμεσα με τη λεγόμενη τάξη ή βαθμό του φίλτρου. Για την ακριβή έννοια της τάξης ενός φίλτρου θα επανέλθουμε παρακάτω.
5.4 Οικογένειες των φίλτρων
Στη μαθηματική ανάλυση των φίλτρων έχουν αναπτυχθεί διάφορα μαθηματικά μοντέλα (πρότυπα) και κυκλώματα με τα οποία προσπαθούμε να επιτύχουμε μια όσο το δυνατόν καλύτερη προσομοίωση της συμπεριφοράς των ιδανικών φίλτρων. Τα μοντέλα αυτά ταξινομούνται στις εξής τέσσερις οικογένειες: Τα φίλτρα Butterworth, τα φίλτρα Chebyshev, τα φίλτρα Bessel και τα Ελλειπτικά φίλτρα.
Το Σχ.5.9 εικονίζει τις τυπικές καμπύλες απόκρισης αυτών των φίλτρων.
Σχήμα 5.9. Καμπύλες απόκρισης οικογενειών φίλτρων
Τα φίλτρα Butterworth είναι πρότυπα φίλτρα τα οποία προσομειώνουν ικανοποιητικά την πτώση της καμπύλης απόκρισης στη μεταβατική ζώνη, αλλά δεν εμφανίζουν την κυμάτωση της απολαβής που παρατηρείται στη ζώνη διέλευσης και τη ζώνη αποκοπής των άλλων φίλτρων. Στα φίλτρα αυτά, η απόκριση στη ζώνη διέλευσης εμφανίζεται σταθερά επίπεδη καθ' όλη την έκτασή της (μεγιστοεπίπεδη).
Στα φίλτρα αυτά, ως κάτω άκρη της μεταβατικής ζώνης, δηλ. ως συχνότητα f1, θεωρείται η συχνότητα στην οποία (στο πραγματικό φίλτρο) το ύψος της καμπύλης απόκρισης, παρεχόμενο από το μέτρο της συνάρτησης μεταφοράς, πέφτει από τη στάθμη των 0 dB,
κατά Amax, Σχ.5.8. Η άλλη άκρη της μεταβατικής ζώνης είναι η συχνότητα fs για την οποία το επίπεδο της καμπύλης απόκρισης πέφτει κατά Amin από τη στάθμη των 0 dB (στην αρχή της ζώνης αποκοπής).
Τα φίλτρα Chebyshev, αντίθετα με τα προηγούμενα, δίνουν τη δυνατότητα ύπαρξης και υπολογισμού κυμάτωσης μέσα στη ζώνη διέλευσης. Έχουν όμως, αυξομοίωση της απολαβής μέσα στη μεταβατική ζώνη και πιο απότομη από ότι τα φίλτρα Butterworth.
Τα φίλτρα Bessel δεν παρουσιάζουν κυμάτωση στην καμπύλη απόκρισης και η μεταβατική μετάπτωση της απολαβής είναι η χειρότερη από ότι στίς άλλες οικογένειες φίλτρων. Το πλεονέκτημά τους είναι ότι έχουν γραμμική φάση και χρησιμοποιούνται σε συστήματα που επεξεργάζονται παλμούς, επειδή λόγω της ιδιότητας αυτής, δεν αλλοιώνουν τη μορφή του παλμού.
Τέλος, τα ελλειπτικά φίλτρα εμφανίζουν κυμάτωση της καμπύλης απόκρισης τοσο στη ζώνη διελευσης οσο και στη ζώνη αποκοπής, ενώ η μετάπτωση απολαβής στη μεταβατική ζώνη είναι πιο απότομη από ότι σε όλες τις άλλες οικογένεις των φίλτρων, Σχ.5.8.
5.5 Βαθμός < τάξη ενος φίλτρου
Στα φίλτρα η συνάρτηση μεταφοράς H(s) ή H(jf) εκφράζεται από μια παράσταση στην οποία ο παρονομαστής είναι ένα πολυώνυμο ως προς s ή j f. O (αλγεβρικός) βαθμός αυτού του πολυωνύμου ονομάζεται βαθμός ή τάξη, n, του φίλτρου. Στο βιβλίο αυτό θα μελετήσουμε φίλτρα 1ης (n = 1) και 2ης (n=2) τάξης.
Στην πράξη, τα μεγέθη Amax <, Amin, f < fi και fs επηρρεάζουν το βαθμό του φίλτρου, που είδαμε στην ενότητα 5.3. Στην παραγματικότητα, το n καθορίζει άμεσα την κλίση (κ) της μεταβατικής περιοχής (μετάπτωση) της καμπύλης απόκρισης του φίλτρου, Σχ.5.10. Σε λογαριθμική κλίμακα συχνοτήτων, η κλίση αυτή σχετίζεται με το βαθμό του φίλτρου με βάση τον προσεγγιστικό τύπο
Σημειώνεται ότι δεκάδα είναι το διάστημα μεταξύ δύο συχνοτήτων από τις οποίες η μεγαλύτερη είναι 10-πλάσια της μικρότερης, ενώ οκτάβα είναι το διάστημα στο οποίο η μεγαλύτερη συχνότητα είναι 2-πλάσια της μικρότερης. Εξ' άλλου, το (-) στην Εξ.5.5.1 υποδηλώνει αρνητική κλίση, άρα κατερχόμενη καμπύλη (περίπτωση ΦΧΣ) και το ( + ) θετική κλίση, άρα ανερχόμενη καμπύλη (περίπτωση ΦΥΣ).
Συνεπώς, κατά την Εξ.5.5.1, σε ένα ΦΧΣ 1ης τάξης η κλίση θα είναι κ = 20 1 = - 20dB/δεκάδα η - 6 dB/οκτάβα (ευθεία "1" του σχήματος), ενώ σε ένα ΦΥΣ 2ης τάξης, η κλίση θα είναι κ = + 20 2 = + 40 dB/δεκάδα = + 12 dB/οκτάβα.
5.6 ΦΧΣ 1ης τάξης
Το Σχ.5.11 δείχνει το κύκλωμα ενός ενεργού ΦΧΣ 1ης τάξης με ενίσχυση Κ. O τελεστικός ενισχυτής (ΤΕ) είναι συνδεσμολογημένος σαν ενισχυτής ελεγχόμενης τάσης (VCVS) και ονομάζεται όμως και φίλτρο Sallen-Key 1ης τάξης προς τιμή των δύο ερευνητών που το αναπτύξανε.
Αποδεικνύεται ότι η συνάρτηση μεταφοράς του φίλτρου δίνεται από
τη σχέση:
όπου;
είναι η ενίσχυση (απολαβή τάσης) στο dc, δηλ. για f = 0 και
η συχνότητα αποκοπής του φίλτρου. Η συχνότητα είναι εκείνη για την
οποία ο λόγος f/f1 Στην Εξ.(5.6.1) γίνεται μονάδα, οπότε το μέτρο της
συνάρτησης μεταφοράς γίνεται |H βω)Ι = K//2 < 0.707 K η 20 log K - 3dB,
δηλ. 3 dB κάτω από τη μέγιστη απολαβή (σε dB).
O υπολογισμός του φίλτρου αυτού, γίνεται με τη βοήθεια των
Εξ.(5.6.2) και (5.6.3), μετασχηματιζόμενες, ώστε να πάρουν την πιο κάτω μορφή:
R2
Σχήμα 5.11. ΦΧΣ Sallen-Key 1ης τάξης
(5.6.5)
Για να υπολογίσουμε το φίλτρο, με δεδομένη την ενίσχυση K και η συχνότητα αποκοπής f1, δεχόμαστε (έστω και αυθαίρετα) μια κατάλληλη τιμή για τη χωρητικότητα C και μια κατάλληλη τιμή της R1 και μετά υπολογίζουμε τις αντιστάσεις R και R2 .
Παράδειγμα 5-1
Θα υπολογίσουμε ένα ΦΧΣ 1ης τάξης, τυπου Sallen-Key με ενίσχυση 5 και συχνότητα αποκοπής 3000 Hz.
5.7 ΦΥΣ 1ης τάξης
Αν αντιμεταθέσουμε τη θέση του πυκνωτή C και της αντίστασης R στο κύκλωμα του Σχ.5.11, προκύπτει ΦΥΣ Sallen-Key, Σχ.5.13. Αποδεικνύεται
οτι η συνάρτηση μεταφοράς του φίλτρου αυτου, δίνεται απο τη σχέση:
οπου,
είναι η συχνότητα αποκοπής.
Η απολαβή τάσης Κ εξακολουθεί να δίνεται από την Εξ. (5.6.2).
O υπολογισμός του φίλτρου γίνεται όπως ακριβώς και με το αντίστοιχο ΦΧΣ.
Παράδειγμα 5-2
Να υπολογισθεί ένα ΦΥΣ 1ης τάξης, τυπου Sallen-Key με Κ=5 και
f =300 Hz.
