2.1 ΑΡΧΕΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

Ένα αριθμητικό σύστημα είναι ένα σύνολο από ψηφία (αριθμοί και χαρακτήρες) που χρησιμοποιούνται για αρίθμηση και υπολογισμούς (πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμό, διαίρεση).

Η ανάπτυξη των αριθμητικών συστημάτων βασίζεται σε δύο αρχές:

1. την ύπαρξη βάσης (base, radix) του συστήματος

1. την ύπαρξη αξίας - βάρους (weight) των θέσεων των συμβόλων

Το περισσότερο χρησιμοποιούμενο αριθμητικό σύστημα είναι το δεκαδικό (αραβικό σύστημα). Άλλα συστήματα με τα οποία και θα ασχοληθούμε είναι το δυαδικό, το οκταδικό και το δεκαεξαδικό.

2.2 ΔΕΚΑΔΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ

Το δεκαδικό σύστημα (decimal) χρησιμοποιεί δέκα ψηφία (τους αριθμούς 0-9), έχει βάση το 10 και η αξία των ψηφίων εξαρτάται από τις θέσεις τους (το βάρος των θέσεων υπολογίζεται από την αντίστοιχη δύναμη του 10).

Για παράδειγμα, ο αριθμός 5832 του δεκαδικού συστήματος παριστάνει μία ποσότητα που είναι ίση με 5 χιλιάδες συν 8 εκατοντάδες συν 3 δεκάδες συν 2 μονάδες, αφού:

5832 = 5 x 10³ + 8 x 10² + 3 x 10¹ + 2 x 10⁰

Το πρώτο ψηφίο του αριθμού είναι το Περισσότερο Σημαντικό Ψηφίο (Most Significant Digit - MSD), γιατί έχει την μεγαλύτερη αξία, ενώ το τελευταίο ψηφίο είναι το Λιγότερο Σημαντικό Ψηφίο (Least Significant Digit - LSD), γιατί έχει την μικρότερη αξία.

Από τις θέσεις των ψηφίων προκύπτουν τα βάρη τους (οι αντίστοιχες δυνάμεις του 10), όπως φαίνεται στο Σχήμα 2.2.1.

Σχήμα 2.2.1

Βάρη θέσεων δεκαδικού αριθμού

Κάθε αριθμός εκφρασμένος σε αριθμητικό σύστημα με βάση (radix) το r παριστάνεται με μία σειρά από n+1 ψηφία οι τιμές των οποίων κυμαίνονται από 0 μέχρι r-1, δηλαδή:

(A)­_r=a_na_n-1…a₂a₁a₀

Ο αντίστοιχος δεκαδικός αριθμός (αριθμητικό σύστημα με βάση το 10) είναι:

(A)­₁₀ = a_nxrⁿ + a_n-1xr^n-1 + … + a₂xr² + a₁xr¹ + a₀xr⁰

2.3 ΔΥΑΔΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ

2.3.1 ΟΡΙΣΜΟΙ

Το δυαδικό σύστημα έχει βάση τον αριθμό 2. Επομένως, χρησιμοποιεί τα ψηφία 0 και 1. Κάθε δυαδικός αριθμός παριστάνεται από μία σειρά από τέτοια ψηφία που ονομάζονται δυαδικά ψηφία (bits). Από τις θέσεις των ψηφίων προκύπτουν τα βάρη τους (οι αντίστοιχες δυνάμεις του 2). Το πρώτο ψηφίο του αριθμού είναι το Περισσότερο Σημαντικό Δυαδικό Ψηφίο (Most Significant Bit - MSB), γιατί έχει την μεγαλύτερη αξία, ενώ το τελευταίο ψηφίο είναι το Λιγότερο Σημαντικό Δυαδικό Ψηφίο (Least Significant Bit - LSB), γιατί έχει την μικρότερη αξία.

Για παράδειγμα, τα βάρη των θέσεων του δυαδικού αριθμού 1011 φαίνονται στο Σχήμα 2.3.1.

Σχήμα 2.3.1

Βάρη θέσεων δυαδικού αριθμού

Ο αντίστοιχος δεκαδικός αριθμός είναι:

1011 = 1x2³ + 0x2² +1x2¹ +1x2⁰ =8+0+2+1=11         

2.3.2 ΑΡΙΘΜΗΣΗ ΣΤΟ ΔΥΑΔΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ

Στο δεκαδικό σύστημα χρησιμοποιώντας n ψηφία μπορούμε να μετρήσουμε 10ⁿ αριθμούς (από το 0 μέχρι και το 10ⁿ -1).

Για παράδειγμα με 1 ψηφίο μπορούμε να μετρήσουμε τους αριθμούς 0-9, με δύο ψηφία τους αριθμούς 0-99, με τρία ψηφία τους αριθμούς 0-999.

Αντίστοιχα, στο δυαδικό σύστημα χρησιμοποιώντας n ψηφία (bits) μπορούμε να μετρήσουμε 2ⁿ αριθμούς (από το 0 μέχρι και το 2ⁿ -1).

Για παράδειγμα με 1 ψηφίο μπορούμε να μετρήσουμε τους αριθμούς 0-1, με δύο ψηφία τους αριθμούς 0-3, με τρία ψηφία τους αριθμούς 0-7, με τέσσερα ψηφία τους αριθμούς 0-15.

Η ακολουθία δυαδικής αρίθμησης, χρησιμοποιώντας τέσσερα ψηφία (bits) παρουσιάζεται στον Πίνακα 2.3.1, από όπου προκύπτει ότι:

το λιγότερο σημαντικό bit (LSB - τελευταία στήλη) αλλάζει (από 0 σε 1 και από 1 σε 0) σε κάθε βήμα αρίθμησης, το αμέσως προηγούμενο bit αλλάζει κάθε δύο βήματα αρίθμησης, το αμέσως προηγούμενο bit αλλάζει κάθε τέσσερα βήματα αρίθμησης και το περισσότερο σημαντικό bit (MSB) αλλάζει κάθε οκτώ βήματα.

Αυτή η παρατήρηση αποτελεί έναν εύκολο μνημονικό κανόνα για να θυμάστε την ακολουθία δυαδικής αρίθμησης.

Πίνακας 2.3.1

Δυαδική αρίθμηση

2.3.3 ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΔΥΑΔΙΚΟΥ ΣΕ ΔΕΚΑΔΙΚΟ

Για τη μετατροπή του δυαδικού αριθμού

(A)­₂=a_na_n-1…a₂a₁a₀

σε δεκαδικό αριθμό χρησιμοποιείται ο ακόλουθος τύπος:

(A)­₁₀ = a_nx2ⁿ + a_n-1x2^n-1 + … + a₂x2² + a₁x2¹ + a₀x2⁰

Για παράδειγμα, ο δυαδικός αριθμός (1110)₂ αντιστοιχεί στον δεκαδικό αριθμό (14)₁₀

αφού:

(1110)₂=1x2³+1x2²+1x2¹+0x2⁰=1x8+1x4+1x2+0x1=(14)₁₀

2.3.4 ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΔΕΚΑΔΙΚΟΥ ΣΕ ΔΥΑΔΙΚΟ

Για τη μετατροπή ενός ακέραιου δεκαδικού αριθμού σε δυαδικό αριθμό χρησιμοποιείται η ακόλουθη διαδικασία:

Ο δεκαδικός αριθμός διαιρείται δια του 2, οπότε προκύπτει ακέραιο πηλίκο και υπόλοιπο (που είναι 0 ή 1). Το πηλίκο της προηγούμενης διαίρεσης διαιρείται εκ νέου δια του 2, οπότε προκύπτει νέο ακέραιο πηλίκο και νέο υπόλοιπο. Η διαδικασία επαναλαμβάνεται μέχρι να προκύψει πηλίκο ίσο με 0. Τα υπόλοιπα των διαιρέσεων αποτελούν τα ψηφία του ακέραιου μέρους του δυαδικού αριθμού με LSB, το υπόλοιπο της πρώτης διαίρεσης και MSB το υπόλοιπο της τελευταίας διαίρεσης.

Για παράδειγμα, ο δεκαδικός αριθμός (41)₁₀ αντιστοιχεί στο δυαδικό αριθμό (101001)₂ αφού:

(41)₁₀=(101001)₂

Προσθήκη νέου σχολίου