πλοηγείτε στον  ιστοχώρο της Βούλας Βαβαρούτσου

για καλύτερη πλοήγηση στις ιστοσελίδες

πατήστε ΚΕΝΤΡΙΚΗ  

 

 

 

Η ιστοσελίδα αυτή είναι  τμήμα του οικοχώρου " ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ" &" Η ΓΝΩΣΗ ΜΕ ΕΝΑ ΚΛΙΚ"

ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΤΕ την ιστοσελίδα

 

 

 

 

τελευταία ενημέρωση: 28/01/2016

ΕΞΕΤΑΣΗ-ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

  ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ

 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Μαθηματικά για όλους           Μετατρέπω και υπολογίζω

Δυσαριθμησία: μεταμορφώνει τους αριθμούς σε τέρατα!

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ     Τα μαθηματικά του τρόμου

 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ 

 Το θεώρημα της πίτσας          Η ομορφιά του Ιmaginary

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ποια η αξία της άρνησης;

 Η απόκρυφη συνάθροιση των 11  O αλγόριθμος των σουξέ

   Η Σταθερά π                Η μαγεία των φράκταλ

Η γεωμετρία είναι έμφυτη!            Αριθμοί και τέχνες
Μαθηματικά 3ου & 2ου Γυμνασίου Σπάρτης  

Μαθήματα χωρίς σύνορα με ψηφιακό εκπαιδευτικό  περιεχόμενο

Φουναριωτάκης  Αθανάσιος  LEARN MATH

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Αριθμοί και ασυνείδητο

7 εξισώσεις που άλλαξαν τον κόσμο

Νέα λέξη Cliodynamics Αναγνωρίσατε τη διπλή ελληνική ρίζα στον αγγλικό όρο; Το πρώτο συνθετικό της λέξης προέρχεται από το όνομα της Μούσας της Ιστορίας Κλειούς. Ο όρος περιγράφει ένα νέο διεπιστημονικό ερευνητικό πεδίο το οποίο στοχεύει στην ανάπτυξη μαθηματικών μοντέλων που περιγράφουν την ιστορική δυναμική. Οι επιστήμονες που ασχολούνται με το πεδίο αυτό προσπαθούν να κατανοήσουν και να εξηγήσουν μεγάλα ιστορικά γεγονότα, όπως παραδείγματος χάριν η άνοδος και η πτώση αυτοκρατοριών, με τη βοήθεια μαθηματικών μοντέλων. Αν και το πεδίο είναι αμφιλεγόμενο στους κύκλους των ιστορικών, διαθέτει ήδη μια επιστημονική επιθεώρηση με το όνομα «Cliodynamics: The Journal of Theoretical and Mathematical History».

Μαγικά τετράγωνα: τα ξαδέρφια του Sudoku
Η ομορφιά των μαθηματικών- Γρίφοι
Η αριθμητική των Χριστουγέννων προκαλεί πόνο
Τα μαθηματικά του κελαϊδίσματος
Μπορούμε να φέρουμε εξάρες με το ζόρι;
O περίεργος αριθμός 4
Η αίσθηση του χρόνου σημαίνει μαθηματική ικανότητα

Πώς να τινάξετε την μπάνκα στον αέρα

Το «τανγκό» Φυσικής και Μαθηματικών
Η μαθηματική σπαζοκεφαλιά που δείχνει αν είστε εσωστρεφής ή εξωστρεφής

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

 Εφαρμογή Πυθαγορείου Θεωρήματος                                              Υπολογιστής

...
Poodwaddle.com.

...
Poodwaddle.com.

Υπολογισμός δευρεροβάθμιας εξίσωσης

                     Δημιουργία γραφικής παράστασης

                         
Poodwaddle.com.....

..
Poodwaddle.com..

Υπολογισμός  με ποσοστά

Κινέζικος πολλαπλασιασμός

...
Poodwaddle.com..
...

Τέλειος κύκλος

Ο κύριος που βλέπετε ονομάζεται Alexander Overwijk, είναι καθηγητής και οι μαθητές του έχουν το συνήθειο να τον βάζουν να κάνει κάτι που κάνει τέλεια: να σχεδιάζει ελεύθερα (χωρίς δηλαδή τη χρήση κάποιου γεωμετρικού οργάνου) κύκλους. Και δεν μιλάμε για σχεδόν τέλειους κύκλους, αλλά κύκλους που μοιάζουν να έγιναν κατευθείαν με διαβήτη! Εδώ, ο απίθανος καθηγητής σχεδιάζει με κιμωλία στον πίνακα έναν κύκλο με διάμετρο περίπου ενός μέτρου μέσα σε ένα δευτερόλεπτο!

Δείτε το βίντεο: http://www.youtube.com/watch?v=eAhfZUZiwSE

ΜΗΧΑΝΗ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

Ιστοσελίδες Μαθηματικών 

 

119 ιστοσελίδες εκπαιδευτικών

της Δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης

Μαθήματα Γυμνασίου από το Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο Άλγεβρα

Μαθήματα Γυμνασίου από το Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο Γεωμετρία

ΜΑΘΕ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

 

ΥΠΟΣΤΗΡΙΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

 

...

ΚΟΡΥΦΗ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Μαθηματικά για όλους

 

Μαθηματικά για πιτσιρίκια

Βοηθήστε τα πιτσιρίκια να δουν με άλλο μάτι το στριφνό για κάποιους μάθημα, δρομολογώντας συχνές επισκέψεις στο www.mathtwo.com. Εκεί θα βρείτε ασκήσεις για σχεδόν όλα τα επίπεδα, από τις πολύ απλές μέχρι και αρκετά σύνθετες. Το μυστικό του ιστότοπου είναι ότι ξεγελάει τα παιδιά, μεταμφιέζοντας σε παιχνίδια και ηλεκτρονικές εφαρμογές μαθηματικές πράξεις, παρουσιάζοντας τη λύση τους ως διασκεδαστική ενασχόληση. ΜΕΤΑΦΡΑΣΜΕΝΗ

 

Μαθηματικό

ΔΗΜΙΟΥΡΓΗΘΗΚΕ και ενημερώνεται από εν ενεργεία και συνταξιούχους μαθηματικούς. Το www.mathematica.gr αφορά όλους όσοι ασχολούνται με τα μαθηματικά και στόχος του είναι η προαγωγή της μαθηματικής παιδείας και επιστήμης, αλλά και η άμεση επικοινωνία των μαθηματικών και η αλληλοβοήθεια μεταξύ τους. Μέσα από το site οι μαθηματικοί μπορούν να ανταλλάξουν απόψεις, να συζητήσουν για ηλεκτρονικές και έντυπες εκδόσεις κ.λπ. Μέλος του mathematica μπορεί να γίνει όποιος ενδιαφέρεται για την επιστήμη των μαθηματικών και διαθέτει ηλεκτρονικό υπολογιστή με σύνδεση στο Ιντερνετ.

 

Τα μαθηματικά, παιχνίδι

ΟΤΑΝ ένας απίθανος σκύλος κάνει τις σούμες σε μαθηματικές πράξεις, τότε τα πιτσιρίκια θα πειστούν με άνεση να δοκιμάσουν να βρουν τις λύσεις σε προβλήματα. Εξάλλου το www.sumdog.com έχει την ιδιαιτερότητα πως κάνει τα μαθηματικά, παιχνίδι και άρα προσιτά στα παιδιά. Στον ιστότοπο θα βρείτε παιχνίδια που χρειάζονται μαθηματική σκέψη και υπολογισμούς, ενώ σε κάθε ένα από αυτά υπάρχει και επίπεδο δυσκολίας από 1-10, για να ξεκινήσουν τα μικρά σας χαλαρά και κλιμακωτά να μπαίνουν στα βαθιά. Το καλό είναι πως η εικονογράφηση και τα βίντεο στο site δεν παραπέμπουν καθόλου σε δασκαλίστικες μεθόδους εκμάθησης, ενώ επιπλέον οι ασκήσεις δεν αφορούν -για παράδειγμα- μόνο αφαίρεση ή πρόσθεση, ώστε να γίνονται βαρετές, αλλά εμπεριέχουν περί τις 100 διαφορετικές πράξεις που μπορούν να γίνουν με αριθμούς. ΜΕΤΑΦΡΑΣΜΕΝΗ

 

Μαθηματικό!             http://forums.cisco.com/CertCom/game/binary_game_page.htm  .

Είναι ένα παιχνίδι «για να ακονίζονται τα μαθηματικά μυαλά».  Είναι ένα παιχνίδι που μοιάζει με Τέτρις, μόνο που για να συμπληρώσετε τις γραμμές πρέπει να βρείτε τον σωστό δυαδικό. Όσοι έχετε μανία με τα μαθηματικά δοκιμάστε το. Οι υπόλοιποι... αφήστε το καλύτερα!

 

Δύο και δύο

ΚΑΝΟΥΝ τέσσερα, και ένα και ένα κάνει δύο. Αν θέλετε να μάθουν τα πιτσιρίκια σας να παίζουν στα δάχτυλα προπαίδειες, πράξεις μαθηματικών, αριθμούς και σύμβολα, μπείτε στο http://2plus2.prv.pl και παίξτε, μαθαίνοντας παράλληλα ένα από τα πιο «στρυφνά» μαθήματα για την πλειονότητα των μικρών μαθητών, τα μαθηματικά. Το πρόγραμμα προσφέρεται εντελώς δωρεάν και ουσιαστικά είναι ένας μπούσουλας, για να μάθουν τα πιτσιρίκια να κάνουν απλές μαθηματικές πράξεις (πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμό και διαίρεση). Μιλάει αγγλικά, οπότε χρησιμοποιώντας το μπορείτε να πετύχετε δύο σε ένα: και να μάθουν τα μικρά σας πράξεις, και να «λυθεί» η γλώσσα τους στα αγγλικά. Για δείτε το. ΜΕΤΑΦΡΑΣΜΕΝΗ

 

Μαθηματικός κόσμος

ΕΙΝΑΙ εξειδικευμένο, απευθύνεται σε ειδικό κοινό, αλλά μπορούν να το παρακολουθήσουν και όσοι αγαπούν και τους συναρπάζουν τα μαθηματικά. Ο λόγος για το http://mathworld.wolfram.com, μία από τις παγκοσμίως πλουσιότερες τράπεζες δεδομένων στον τομέα των μαθηματικών, αφού περιέχει αναλυτικότατα στοιχεία και θεωρίες σχετικά με την άλγεβρα, τα εφαρμοσμένα μαθηματικά, τους υπολογισμούς και τις αναλύσεις, την ιστορία και τη βάση των μαθηματικών, ορισμούς και ορολογία, κείμενα που εξηγούν τη θεωρία των αριθμών, αρχές της στατιστικής αλλά και της τοπολογίας, και πολλά ακόμη που θα εκτιμήσουν οι λάτρεις των αριθμών και των εξισώσεων. Ακόμα θα βρείτε εύχρηστο αλφαβητικό ευρετήριο, ασκήσεις, θεωρία κ.ά.

ΜΕΤΑΦΡΑΣΜΕΝΗ

 

Επιστημονικά βίντεο

ΤΟ www.dnatube.com είναι ένα εξειδικευμένο site που έχει αποκλειστικά και μόνο επιστημονικά βίντεο, διαλέξεις, πειράματα κ.ά. Θα μπορούσε να πει κανείς -και όχι άδικα- ότι ο ιστότοπος αποτελεί τη χαρά του επιστήμονα, αφού μπορείτε να βρείτε θεματολογικά κατηγοριοποιημένα βιντεάκια που αφορούν την άλγεβρα, τη χημεία, τη βιολογία, τη φυσική, τη βιοχημεία και πολλά ακόμα. Το ενδιαφέρον είναι πως τα βίντεο αυτά «βαθμολογούνται» και σχολιάζονται από τους χρήστες, όπως ακριβώς συμβαίνει και στο youtube, ενώ και η γενικότερη θεματολογία θυμίζει πολύ youtube. Αν ανήκετε στην επιστημονική κοινότητα και θέλετε να διευρύνετε τις γνώσεις σας σε κάποιο συγκεκριμένο αντικείμενο, εδώ είναι ένας από τους πιο κατάλληλους χώρους για να ψάξετε. ΜΕΤΑΦΡΑΣΜΕΝΗ

 

Μαθήματα... αλλιώς

ΤΟ 2004 ο Salman Khan ξεκίνησε να κάνει μαθήματα online στον ανιψιό του, ανεβάζοντας εκπαιδευτικά βίντεο στο youtube. Το 2009 παράτησε την κανονική του δουλειά και αποφάσισε να φτιάξει το Khan Academy, ένα είδος «πανεπιστημίου», στο οποίο «διδάσκει» μόνο ένας άνθρωπος - ο ίδιος.  Από τότε μέχρι και σήμερα προσφέρει 10λεπτα μαθήματα -κυρίως μαθηματικά και φυσικοχημείας- σε όποιον χρήστη του Ιστού επιθυμεί να παρακολουθήσει. Για να πάρετε μια γεύση του μεγέθους του εγχειρήματος, να σημειώσουμε ότι πίσω από τον Ιστότοπο βρίσκεται η Google και το ίδρυμα Μπιλ και Μελίντα Γκέιτς. Αν θέλετε να ρίξετε μια ματιά και -γιατί όχι- να παρακολουθήσετε ορισμένα από τα «μαθήματα», κάντε κλικ στο www.khanacademy.org. ΜΕΤΑΦΡΑΣΜΕΝΗ 

 

 

ΚΟΡΥΦΗ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Μετατρέπω και υπολογίζω ΜΑΡΙΑ ΜΥΣΤΑΚΙΔΟΥ δημοσιογράφος της καθημερινής στήλης www.τελειακαιπαυλα.enet μέχρι το 2011

 

Πολυχρηστικός μετατροπέας

ΠΟΣΕΣ πράξεις μπορεί να κάνει ένα κομπιουτεράκι; Οσο εξειδικευμένο και αν είναι, κάποια στιγμή οι δυνατότητές του σταματούν. Δεν συμβαίνει το ίδιο όμως με το διαδικτυακό «κομπιουτεράκι» που θα βρείτε στο www.easycalculation.com. Ο ιστότοπος κάνει ό,τι υπολογισμό μπορείτε και δεν μπορείτε να φανταστείτε. Εκτός από τις κλασικές μαθηματικές πράξεις, κάνει επίσης γεωμετρικούς και χημικούς υπολογισμούς, βρίσκει τι μέρα ήταν όποια ημερομηνία του παρελθόντος τού ζητήσετε, μετατρέπει κάθε μέγεθος μέτρησης, έχει όλους τους περιοδικούς πίνακες, είναι σαΐνι στην άλγεβρα, σας βοηθάει να υπολογίσετε τόκους δανείων και ένα σωρό ακόμα λειτουργίες που θα σας λύνουν τα χέρια ξανά και ξανά. Βάλτε το στα αγαπημένα σας, γιατί θα ανατρέχετε συχνά! ΜΕΤΑΦΡΑΣΜΕΝΗ

 

 

Μετατρέψτε τα όλα

ΑΠΟ τα πιο ενημερωμένα και πλήρη «κομπιουτεράκια» που κυκλοφορούν στο Διαδίκτυο το http://calculator.com  είναι ένας πανίσχυρος μετατροπέας μονάδων που τα έχει (σχεδόν) όλα. Σε ένα site θα έχετε συγκεντρωμένα μηχανήματα που κάνουν πράξεις και μετατροπές ποσοστιαίων μονάδων, κλασμάτων, επιστημονικών μετρήσεων, νομισμάτων, γραφημάτων, θερμοκρασιών, υπολογίζουν τις αλλαγές στην ώρα παγκοσμίως, κ.λπ. Παράλληλα, σας παρέχει και τις υπηρεσίες μιας κλασικής αριθμομηχανής που λύνει στο λεπτό απλές μαθηματικές πράξεις. Επειδή ποτέ δεν ξέρετε πότε θα χρειαστεί να τροποποιήσετε κάποια μονάδα, βάλτε το στα αγαπημένα σας... Μεταφρασμένη

 

Σούπερ υπολογιστής

ΥΠΟΛΟΓΙΖΕΙ όλα όσα υπολογίζονται. Και σας βοηθάει να έχετε το πάνω χέρι στα οικονομικά σας -κάτι χρησιμότατο σε περιόδους κρίσης, όπως αυτή που διανύουμε. Σε γενικές γραμμές το http://calcmoolator.com είναι ένας τρόπος να ελέγχετε τα έσοδα και τα έξοδά σας με τρόπο ώστε και με τον Σκρουτζ να μη μοιάζετε, και χωρίς δεκαράκι να μη μένετε. Ο ιστότοπος μπορεί να σας πει πόσο θα σας κοστίσει ένα κατοικίδιο, πόσα χρήματα εξοικονομείτε αν βάλετε ηλιακό θερμοσίφωνα και από πότε θα δείτε την απόσβεση, πώς να υπολογίζετε τα δάνειά σας χωρίς να «πνίγεστε», πώς να διαχειρίζεστε τα πάγιά σας με τον καλύτερο τρόπο κ.λπ. Το site έχει υμνηθεί από τα ξένα περιοδικά τεχνολογίας και από άλλους γνωστούς ιστότοπους, ενώ μπορείτε να κατεβάσετε την υπηρεσία και στο κινητό σας τηλέφωνο. Μεταφρασμένη

 

www.sensibleunits.com-ο καλύτερος (κατά τη γνώμη μου) μετατροπέας που υπάρχει. Εκτός από χρηστικός είναι και αστείος!

 

Μeτατροπέας μέτρων        

ΕΙΝΑΙ ΦΟΡΕΣ που πετυχαίνετε μια καλή συνταγή, αλλά επειδή προέρχεται από άλλη χώρα έχει διαφορετικές μεζούρες από αυτές που έχουμε συνηθίσει (χρησιμοποιούν ας πούμε pounds αντί γραμμαρίων). Ή συμβαίνει να βρίσκετε συνταγές της γιαγιάς σας με μετρήσεις των υλικών σε δράμια και ουγγιές. Σε αυτές τις περιπτώσεις, δυο τινά συμβαίνουν: ή παρατάτε την προσπάθεια και πάτε για άλλα ή ξεκινάτε τις μετατροπές. Το www.onlineconversion.com θα σας λύσει τα χέρια όποια μετατροπή και αν επιχειρήσετε, είτε αυτή έχει σχέση με την κουζίνα είτε με νομίσματα, είτε με εκτάσεις, είτε με οτιδήποτε μπορείτε να φανταστείτε. Κάνει αυτόματα όποια πιθανή και απίθανη μετατροπή χρειαστείτε με ένα μόνο κλικ. Βάλτε το στα αγαπημένα σας γιατί σίγουρα θα το χρειαστείτε!   Μεταφρασμένη

 

Σε πραγματικό χρόνο

ΣΤΟΥΣ περισσότερους οι στατιστικές μάλλον βαρεμάρα προκαλούν παρά ενδιαφέρον. Αυτές εδώ οι στατιστικές, όμως, όχι μόνο δεν θα σας αφήσουν αδιάφορους, αλλά είναι σίγουρο ότι θα σας συναρπάσουν. Δείτε σε πραγματικό χρόνο δεδομένα όπως τη μεταβολή του παγκόσμιου πληθυσμού, τις γεννήσεις και τους θανάτους σήμερα αλλά και για ολόκληρο τον χρόνο, τις εκτάσεις δασών που καταστράφηκαν, πόσα χρήματα δαπανήθηκαν σε βιντεοπαιχνίδια, πόσα κινητά τηλέφωνα πωλήθηκαν, πόσοι είναι οι χρήστες του Διαδικτύου, πόσα είδη χλωρίδας και πανίδας εξαφανίστηκαν, ποια η μέση θερμοκρασία του πλανήτη, πόσο νερό καταναλώθηκε σήμερα και πολλά ακόμα αντίστοιχου ενδιαφέροντος. Οι αριθμοί αλλάζουν ταχύτατα όσο εσείς κοιτάτε το Στατιστικά του πλανήτη Γη σε πραγματικό χρόνο

 

Το πρώτο μοιρογνωμόνιο φτιάχτηκε στην Αίγυπτο Είναι ένα παράξενο οργανο που βρέθηκε στον τάφο ενός αρχιτέκτονα των Φαραώ

 

Εξίσωση για γερά λάστιχα  Μαθηματικός τύπος προβλέπει τον ρυθμό φθοράς και τη διάρκεια ζωής τους Μια εξίσωση που ανέπτυξαν κινέζοι επιστήμονες είναι ίσως σε θέση να σας δώσει την απάντηση, προβλέποντας τον ρυθμό φθοράς των ελαστικών σε σχέση με τις συνθήκες στις οποίες χρησιμοποιείτε το αυτοκίνητό σας και τις συνήθειές σας.

 

ΚΟΡΥΦΗ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ποια η αξία της άρνησης; ΑΛΚΗΣ ΓΑΛΓΑΔΑΣ

Στη χώρα των αριθμών η άρνηση έχει τη δική της αξία-και γεννά τα δικά της ερωτήματα. Μακριά από θέσφατα, η λειτουργικότητα των αρνητικών αριθμών ορίζεται με φαντασία και ελευθερία, απαραίτητη και για τους μικρούς μαθητές του Γυμνασίου που έρχονται για πρώτη φορά σε επαφή μαζί τους

Ανοίγουμε τη βρύση και τρέχει το νερό. Πατάμε το κουμπί και το φως της λάμπας στη στιγμή διαλύει το σκοτάδι. Γράφει ο δάσκαλος στον πίνακα: 4χ+20= 0 (μια εξίσωση πρώτου βαθμού δηλαδή) και οι περισσότεροι 13χρονοι μαθητές στην τάξη σηκώνουν το χέρι γιατί ξέρουν πώς λύνεται. Αυτή την ίδια εξίσωση ο Διόφαντος, τον 3ο αι. μ.Χ., την αναφέρει στο έργο του «Αριθμητικά» ως κάτι παράλογο. Η πρόοδος δημιουργεί αυτονόητα και τα αυτονόητα μερικές φορές ισοπεδώνουν τις απορίες αυτών που μαθαίνουν πράγματα για πρώτη φορά. Καλός δάσκαλος είναι αυτός που σε ξυπνάει. Σε πόσες τάξεις αυτή τη χρονιά θα σκεφθούν, και ακόμη χειρότερα θα τολμήσουν, να πουν οι μαθητές του Γυμνασίου ότι οι «αρνητικοί αριθμοί» είναι γι΄ αυτούς ένα μυστήριο, παρ΄ όλες τις φιλότιμες προσπάθειες του εκπαιδευτικού που τους διδάσκει την Αλγεβρα; Σε πόσες τάξεις αυτοί που διδάσκουν θα πουν στα παιδιά ότι θα έπρεπε να παραξενεύονται πολύ και με τους αρνητικούς και με τους μιγαδικούς αριθμούς; Παρουσιάζοντας την ευθεία των πραγματικών αριθμών με τους αρνητικούς αριστερά, το μηδέν στη μέση και τους θετικούς δεξιά απλώνουμε μια γέφυρα που ενώνει τον δικό μας με πολλούς αιώνες πριν. Τότε που ο αρνητικός αριθμός έφτασε να θεωρείται από εκκλησιαστικούς κύκλους ως και διαβολική επινόηση.
Η παράξενη συμπεριφορά
Και αν ακόμη οι μαθητές μας στην τάξη φαίνεται να δέχονται με απόλυτη ψυχραιμία την ύπαρξη και τους κανόνες των αρνητικών αριθμών, θα ήταν χρήσιμο να μην τους αφήσουμε σε αυτή τη μακαριότητα. Η ιστορία των Μαθηματικών και της Φυσικής απέδειξε ότι η αμφισβήτηση γεννάει κατανόηση, αλλά και νέες ιδέες. Να τους κάνουμε λοιπόν να προσέξουν ότι παρ΄ όλο που η ευθεία των πραγματικών αριθμών επάγει μια αίσθηση τέλειας συμμετρίας, οι ορισμένες από εμάς πράξεις επάνω σε αυτούς σε κάποιες περιπτώσεις δεν δίνουν εξίσου συμμετρικά αποτελέσματα.

Η ύψωση στο τετράγωνο για παράδειγμα. Εκεί δηλαδή όπου κάθε αριθμός δεξιά από το μηδέν, όταν πολλαπλασιαστεί με τον εαυτό του δίνει πάλι ένα θετικό αριθμό που βρίσκεται κάπου επίσης δεξιά από το μηδέν, επάνω στην ευθεία.

Το πόσα «βήματα» μπρος ή πίσω πρέπει να κάνει κανείς πολλαπλασιάζοντας τους αρνητικούς αριθμούς μοιάζει για πολλούς γρίφος. Η αλήθεια είναι όμως ότι η επινόησή τους και μόνο ήταν ένα άλμα για την επιστήμη

Αυτό φαίνεται φυσιολογικό. Οταν όμως και κάθε (αρνητικός) αριθμός αριστερά από το μηδέν, αφού πολλαπλασιαστεί με τον εαυτό του δίνει αποτέλεσμα θετικό, δηλαδή πάλι δεξιά από το μηδέν, αυτό είναι φυσιολογικό; Το ίδιο συμβαίνει όταν υψώνουμε σε αρνητική δύναμη και τους θετικούς και τους αρνητικούς αριθμούς.
Σε πλήρες αδιέξοδο έφταναν οι άνθρωποι λίγους αιώνες πριν και όταν προσπαθούσαν να βρουν την τετραγωνική ρίζα ενός αρνητικού αριθμού, αφού τους έβγαινε κάτι που δεν ήταν ούτε θετικός ούτε αρνητικός. Πεταγόταν δηλαδή έξω από την ευθεία εντελώς, ενώ η τετραγωνική ρίζα των θετικών δίνει αποτέλεσμα αναμενόμενο. Επάνω στην ευθεία. Ενώ τελικά το περπάτημα προς τα αριστερά ή προς τα δεξιά φαίνεται να είναι δυο εντελώς ισοδύναμες κινήσεις, το να διατρέχεις την ευθεία των πραγματικών αριθμών αριστερά ή δεξιά από το μηδέν δεν είναι το ίδιο. Και αυτά πρέπει να τα λέμε στους μικρούς μαθητές. Βέβαια, όταν ανοίξει το κουτί με τις παιδικές απορίες είναι δύσκολο να το κλείσεις, αλλά αυτό κανονικά θα έπρεπε να είναι η χαρά όποιου διδάσκει. Οσο κι αν έτσι έρχεται πιο κοντά η στιγμή της (προσωρινής)αμφισβήτησης για ό,τι σε διδάσκουν και μιας δύσκολης να απαντηθεί ερώτησης, όπως το «γιατί πλην επί πλην κάνει συν», δηλαδή ο πολλαπλασιασμός δύο αρνητικών αριθμών να δίνει αποτέλεσμα έναν αριθμό που είναι θετικός.
Η ιεροτελεστία των πράξεων
Τα Μαθηματικά είναι το σημείο όπου ασκείται, στη διάρκεια της σχολικής ζωής, η μεγαλύτερη πίεση για πειθαρχία. Και σε μεγάλο βαθμό οι μαθητές πείθονται κατ΄ ανάγκην. Να ακολουθούν δηλαδή με την καρτερία σκλάβου τους κανόνες, με προσήλωση και δυστυχώς χωρίς αμφισβήτηση, γιατί έχουν αποδείξεις ότι η αποτυχία θα έλθει άμεσα και μερικές φορές με οδυνηρές συνέπειες, έχοντας τη μορφή ενός λάθος αποτελέσματος. Η πρόσθεση δύο αρνητικών αριθμών είναι πολύ εύκολη και αν την ψάξεις λίγο, εύκολα πείθεσαι ότι (μπορεί και να) είναι και έτσι: (-4)+(-5)=-9. Υποθέτεις, για παράδειγμα, ότι αυτό ισοδυναμεί με το να κάνεις πρώτα τέσσερα βήματα προς τα αριστερά, αφού ορίσαμε τους αρνητικούς αριθμούς αριστερά από το μηδέν, και στη συνέχεια να κάνεις από το σημείο όπου έφθασες άλλα πέντε προς την ίδια κατεύθυνση (επάνω στην ευθεία των πραγματικών αριθμών, εννοείται). Συνολικά 9 βήματα αριστερά. Τι γίνεται όμως με τον πολλαπλασιασμό (-4)x(-5); Τέσσερα βήματα προς τα αριστερά, πολλαπλασιασμένα με πέντε βήματα προς τα αριστερά; Και αυτό να δίνει είκοσι βήματα προς τα δεξιά; Στα παιδιά, και σε οποιονδήποτε έχει ρωτήσει και πολύ δικαιολογημένα: «Πες μου πώς γίνεται;» θα μπορούσαμε, βάζοντας στην άκρη αξιωματικούς ορισμούς και μηχανιστικές αποδείξεις, να εξηγήσουμε ότι αυτό το πλην μπροστά από έναν αριθμό μπορεί απλά να το ερμηνεύσουμε και ως εντολή να αλλάξουμε κατεύθυνση. Αν δηλαδή είμαστε επάνω στην ευθεία,4 σημαίνει να πάμε τέσσερα βήματα προς τα πίσω. Πολλαπλασιασμένο αυτό επί-5 σημαίνει αυτή την ποσότητα βημάτων να την επαναλάβουμε πέντε φορές σε αντίθετη κατεύθυνση. Πόσα βήματα έχουμε κάνει προς τα δεξιά; +20. Ελπίζω να υπάρχουν αντιρρήσεις και γι΄ αυτήν ακόμη την απόδειξη.
Αν δεν υπάρχουν, τις παρουσιάζω εγώ. Εδώ ο ένας αριθμός συμβιβάζεται με την έννοια των βημάτων, αλλά ο άλλος αριθμός αλλάζει φύση και μας δείχνει απλά επανάληψη, πόσες φορές. Αυτό δεν το είχαμε στην πρόσθεση όπου και οι δύο αριθμοί δείχνουν αριθμό βημάτων. Πρόκειται βέβαια για τις δυσκολίες που συναντάς προσπαθώντας να εξηγήσεις μακριά από τους αυστηρούς ορισμούς τους τα πράγματα. Μπλεχτήκαμε όμως οικειοθελώς με αυτό, θέλοντας να δείξουμε μέσα από πόσες δυσκολίες και αντιφάσεις οι άνθρωποι κατάφεραν να δημιουργήσουν εργαλεία που τους εξυπηρετούν, αν και τους δημιουργούν προβλήματα (η Κβαντομηχανική είναι ένα άλλο τεράστιο παράδειγμα). Κάποτε, μεγάλοι μαθηματικοί δεν μπορούσαν να δεχτούν καν την ύπαρξη αρνητικών αριθμών, διότι δεν χωρούσε στο μυαλό τους ότι ένας αριθμός μπορούσε να είναι μικρότερος από το... τίποτα.
Και οι αρχαίοι Ελληνες προχώρησαν τόσο πολύ στη Γεωμετρία διότι έβλεπαν εκεί τα πράγματα να είναι καθαρά και οι συλλογισμοί τους να έχουν άμεση σχέση με την πραγματικότητα. Οι ευθείες, τα επίπεδα, οι σχέσεις μεταξύ τους, φαίνονταν τόσο πραγματικά. Στην Αλγεβρα όμως έχουμε προχωρήσει πλέον. Οχι μόνον οι αριθμοί είναι σύμβολα μακριά από τα μήλα και τα πορτοκάλια, ώστε να μπορούμε να μη μας ενοχλεί η αφαίρεση του-7 από το +5, αλλά έχουν προκύψει και νέες Αλγεβρες, που θα τις δούμε κάποια άλλη στιγμή, όπου οι Μαθηματικοί δεν διστάζουν να πουν ότι-5 επί-4 μπορεί να δίνει και-20: το-5 να είναι ίσο με +5 και το-5 να είναι μεγαλύτερο από το 0(!) (αρκεί να ξαναπιάσουμε το παράδειγμα με τα βήματα στην ευθεία των αριθμών. Ενας που είναι στο 0 δεν κάνει βήμα. Ενας άλλος ξεκινάει από εκεί και κάνει +5 βήματα προς τα δεξιά και ένας άλλος-5 προς τα αριστερά. Δεν μπορούμε λοιπόν να δεχτούμε ότι αυτός με τα-5 βήματα έκανε περισσότερα από εκείνον που έμεινε ακίνητος;). Για να καταλήξουμε ότι όλα είναι θέμα ορισμού και ότι τα Μαθηματικά δεν είναι πειθαρχία και δάκρυα, αλλά φαντασία και ελευθερία.
ΜΗΧΑΝΙΣΤΙΚΕΣ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ «ΠΛΗΝ ΕΠΙ ΠΛΗΝ ΚΑΝΕΙ ΣΥΝ»
Δεν είναι ακριβώς 1) Από την επιμεριστική ιδιότητα έχουμε: α* (β+γ)= α*β+α*γ. Αν βάλουμε όπου α και γ το-1 και όπου β το +1 προκύπτει: (1)*(1+(-1))= (-1)*1+(-1)*(-1) και στη συνέχεια (-1)*(0)=-1+(-1)*(1) για να καταλήξουμε στην 0=1+(-1)*(-1),άρα αν έλθει αριστερά το-1 θα γίνει +1, οπότε: 1= (1)*(-1),δηλαδή το γινόμενο των δύο αρνητικών έδωσε θετικό αποτέλεσμα.
2) Ο πολλαπλασιασμός με θετικό αριθμό είναι ως γνωστόν επανειλημμένες προσθέσεις,ενώ με αρνητικό αριθμό μπορεί να εκληφθεί και σαν επανειλημμένες αφαιρέσεις,άρα:
(-3)*(-4)= 0- (-4)-(-4)-(-4)= 12 3) (-α) + (-(-α))= 0.Προσθέτουμε και στα δύο μέλη το α: α+(-α) + ((-α))= α και αυτό δίνει: 0 + (-(-α))= α άρα (-(-α))= α

 

ΚΟΡΥΦΗ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Η Σταθερά π

Παγκόσμια Ημέρα της Σταθεράς 

Νέο ρεκόρ υπολογισμού της μαθηματικής σταθεράς «π» π = 3,14 και άλλα... 2,7 τρισ. ψηφία

Επιστήμονας της πληροφορικής έσπασε το ρεκόρ υπολογισμού των ψηφίων του αριθμού «π». Πλέον η διάσημη μαθηματική σταθερά, υπολογίστηκε ότι έχει σχεδόν 2,7 τρισεκατομμύρια ψηφία που ακολουθούν μετά το 3,14, δηλαδή περίπου 123 δισεκατομμύρια περισσότερα ψηφία σε σχέση με το προηγούμενο ρεκόρ.

Ο Φαμπρίς Μπελάρντ, σύμφωνα με το BBC, χρησιμοποίησε έναν απλό επιτραπέζιο υπολογιστή για να κάνει το νέο υπολογισμό, που του πήρε 131 μέρες συνολικά. Ο νέος αριθμός-ρεκόρ του «π» χρειάζεται πάνω από ένα terabyte για να αποθηκευτεί σε σκληρό δίσκο.

Τα προηγούμενα ψηφία-ρεκόρ του «π» είχαν βρεθεί με τη βοήθεια τεράστιων υπερ-υπολογιστών, όμως ο Μπελάρντ υποστηρίζει ότι η δική του μέθοδος υπολογισμού είναι 20 φορές πιο αποτελεσματική.

Το προηγούμενο ρεκόρ με περίπου 2,6 τρισ. ψηφία κατείχε, από τον Αύγουστο του 2009, ο Νταϊσούκε Τακαχάσι του πανεπιστημίου Τσουκούμπα της Ιαπωνίας και του είχε πάρει 29 ώρες, αλλά με την υποστήριξη ενός σούπερ-κομπιούτερ 2.000 φορές πιο γρήγορου και χιλιάδες φορές πιο ακριβού από τον κοινό υπολογιστή που χρησιμοποίησε ο Μπελάρντ.

Εκτιμάται ότι αν χρειάζεται περίπου ένα δευτερόλεπτο για να εκφωνηθεί ένας αριθμός, η πλήρης απαρίθμηση φωναχτά όλων των ψηφίων του «π» θα απαιτούσε πάνω από 49.000 χρόνια!

Ο Μπελάρντ δήλωσε ότι διάβασε το πρώτο του βιβλίο του για τον αριθμό «π» όταν ήταν 14 ετών και έκτοτε παρακολουθούσε ανελλιπώς τις προσπάθειες υπολογισμού όλο και περισσότερων ψηφίων του. Όπως είπε, τον ενδιαφέρει ιδιαίτερα η πρακτική πλευρά του ζητήματος, καθώς ορισμένοι από τους αλγόριθμους που απαιτούνται για τον υπολογισμό του «π», είναι χρήσιμοι για άλλα πράγματα στους υπολογιστές.

Όπως ανέφερε, σχεδιάζει να δημοσιοποιήσει μια έκδοση του προγράμματος που χρησιμοποίησε για τον υπολογισμό του «π», ενώ δεν απέκλεισε να επιμείνει για την ανακάλυψη και άλλων ψηφίων στο μέλλον.

Όπως δήλωσε ο Άιβαρς Πίτερσον, διευθυντής της Μαθηματικής Ένωσης της Αμερικής, το νέο αποτέλεσμα αποτελεί τον τελευταίο κρίκο σε μια μακρά αλυσίδα προσπαθειών να διευρυνθεί το μήκος των γνωστών ψηφίων του «π». Μεταξύ άλλων, ο Νεύτων είχε περάσει αρκετό χρόνο προσπαθώντας να βρει και άλλα ψηφία.

Στην εποχή μας, πέρα από το γόητρο, τη διασκέδαση και την καθαρή περιέργεια, η αναζήτηση του «π» έχει χρησιμοποιηθεί ως «όχημα» για τον έλεγχο αλγορίθμων και υπολογιστών.

Η μαθηματική σταθερά π είναι ο αριθμός που μπορεί να οριστεί ως ο λόγος του μήκους της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του στην Ευκλείδεια γεωμετρία.

Ο συμβολισμός προέρχεται από το αρχικό γράμμα «π» της λέξης «περιφέρεια», και έχει καθιερωθεί διεθνώς, ενώ στο λατινικό αλφάβητο συμβολίζεται ως Pi.

Τα πρώτα 40 δεκαδικά ψηφία του π είναι: 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971

 

Το «π» προέρχεται από το πρώτο γράμμα της λέξης περιφέρεια και στα αγγλικά προφέρεται «πάι» (Pi) όπως ακριβώς οι πίτες (pie)! Τα πρώτα δεκαδικά του ψηφία είναι 3,141592653589793 και για την ιστορία να αναφέρουμε ότι ένας απίστευτος Κινέζος φοιτητής, ο Λου Τσάο, μπορεί και θυμάται απέξω τα πρώτα 67.890 δεκαδικά ψηφία του «π» χωρίς λάθος!

 

Νέο ρεκόρ στον υπολογισμό του αριθμού «π»

 

5 τρισ. ψηφία για το «π» από την Ιαπωνία  Ιάπωνας καθηγητής Μηχανικής Συστημάτων είναι ο νέος ρέκορντμαν στην κούρσα για την ανακάλυψη των ψηφίων της μαθηματικής σταθεράς «π».

 

 

Μαθήματα μαθηματικών Του Μιχάλη Μητσού

Ράσελ Κρόου: ο Αυστραλός ηθοποιός ως Τζον Νας, στην ταινία  «Ένας υπέροχος άνθρωπος»  «Αεί ο Θεός ο Μέγας γεωμετρεί, το κύκλου μήκος ίνα ορίση διαμέτρω, παρήγαγεν αριθμόν απέραντον, και ον, φεύ, ουδέποτε όλον θνητοί θα εύρωσι».
Έτσι μαθαίναμε στο σχολείο ότι μπορούμε να θυμόμαστε τα πρώτα 23 δεκαδικά ψηφία του θρυλικού αριθμού πι. Ο Γάλλος μαθηματικός Φαμπρίς Μπελάρ προχώρησε λίγο περισσότερο: υπολόγισε τα πρώτα 2,7 τρισεκατομμύρια δεκαδικά ψηφία του αριθμού αυτού. Όταν η είδηση δημοσιεύτηκε στην ιστοσελίδα των Τάιμς, υπήρξαν πολλές και ποικίλες αντιδράσεις. Οι περισσότερες συνοδεύονταν από έκπληξη και θαυμασμό. Η πιο ενδιαφέρουσα ήταν η εξής: «Αυτός ο τύπος γκόμενα έχει;». Στην απορία αυτή, ο υπεύθυνος της ιστοσελίδας απάντησε ότι ο διάσημος μαθηματικός Τζον Νας όχι μόνο ήταν γυναικάς, αλλά χρησιμοποιούσε τη θεωρία των παιγνίων για να προσδιορίζει κάθε φορά την καλύτερη μέθοδο προσέγγισης μιας γυναίκας.
Είναι αλήθεια, πάντως, ότι ο Βρετανός αναγνώστης έχει ένα δίκιο. Η τιτάνια προσπάθεια του Μπελάρ δεν τον φέρνει και πλησιέστερα προς την πλήρη κατανόηση αυτού του αριθμού σε σχέση με το σημείο από το οποίο ξεκίνησε. Κι αυτό, για έναν πολύ απλό λόγο: ο αριθμός πι είναι άρρητος και υπερβατικός. Αυτό σημαίνει ότι τα δεκαδικά του ψηφία είναι άπειρα. Και το άπειρο είναι σαν την αιωνιότητα. Για να μας βοηθήσει να καταλάβουμε τι σημαίνει αυτό το πράγμα, ο Μάθιου Σάιεντ των Τάιμς ανατρέχει σ΄ έναν ορισμό του Ντέιβιντ Λοτζ: «Φανταστείτε μια ατσαλένια μπάλα μεγάλη σαν τον κόσμο, και μία μύγα να προσγειώνεται σ΄ αυτήν κάθε ένα εκατομμύριο χρόνια. Όταν η μπάλα αυτή διαβρωθεί από την τριβή, η αιωνιότητα δεν θα έχει ακόμη ξεκινήσει». Μια τέτοια αιωνιότητα υπόσχονται οι θρησκείες. Ακόμη κι αν είχαν δίκιο, θα ήταν ασφαλώς κάτι πολύ βαρετό. Γιατί όπως ο Μπελάρ δεν έφτασε με το μαθηματικό του κατόρθωμα πιο κοντά στην κατανόηση του πι, έτσι κι εκείνοι που ονειρεύονται την αθανασία δεν θα φτάσουν πιο κοντά στο νόημα της ζωής. Ένας δρόμος που συνεχίζεται για πάντα, και οδηγεί παντού, δεν οδηγεί στην πραγματικότητα πουθενά.

Οι Νιου Γιορκ Τάιμς πρέπει να πήραν το μήνυμα. Και ξεκίνησαν από χθες μια στήλη που φιλοδοξεί να εξηγήσει τα μαθηματικά ξεκινώντας από πολύ απλές έννοιες. Στη δημοφιλή τηλεοπτική σειρά «Σουσάμι άνοιξε», ο Χάμφρι περνάει στην κουζίνα την παραγγελία από το δωμάτιο των πιγκουίνων: «Ψάρι, ψάρι, ψάρι, ψάρι, ψάρι, ψάρι». Μα δεν θα ήταν καλύτερα να έλεγε ο χριστιανός «έξι ψάρια»; Ιδού η χρησιμότητα των αριθμών. Τώρα, μάλιστα, το καταλάβαμε. Το πρόβλημα γίνεται λίγο πιο σύνθετο αν ο Χάμφρι πάρει την ίδια παραγγελία από ένα δεύτερο δωμάτιο με πιγκουίνους. Εδώ έχει πολλές επιλογές. Αν είναι ανεπίδεκτος, θα πει τη λέξη «ψάρι» δώδεκα φορές. Αν έχει μάθει κάτι, θα πει «Δύο φορές έξι ψάρια». Το ιδανικό βέβαια θα είναι να πει «Δώδεκα ψάρια». Αλλά αυτό είναι το επόμενο μάθημα.

 

ΚΟΡΥΦΗ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Το θεώρημα της πίτσας ΤΟΥ STEPHEN ORNES

Αν έχουν στραβοκόψει την πίτσα σας, πώς θα ξέρετε ποιος από τους συνδαιτυμόνες έχει φάει περισσότερο; Ενα τέτοιο πρόβλημα δεν απασχολεί μόνο τους πεινασμένους, αλλά και τους μαθηματικούς που διατύπωσαν- ύστερα από πολλές περιπέτειες- το περίφημο «θεώρημα της πίτσας»

Για τους περισσότερους το μεσημεριανό γεύμα με έναν συνάδελφο είναι μια χαλαρή υπόθεση όπου οι προβληματισμοί εξαντλούνται στο ποιο πιάτο θα διαλέξουν και αν θα πάρουν γλυκό. Για τον Ρικ Μέιμπρικαι τονΠολ Ντάιερμαν όμως το ζήτημα δεν ήταν ποτέ τόσο απλό. Τους είναι αδύνατον, για παράδειγμα, να δουν στο τραπέζι τους μια πίτσα χωρίς να προσπαθήσουν να βρουν τη λύση στο μαθηματικό πρόβλημα του πώς να τη μοιράσουν. «Τρώγαμε μαζί τουλάχιστον μία φορά την εβδομάδα»λέει ο κ. Μέιμπρι αναφερόμενος στις αρχές της δεκαετίας του 1990, όταν οι δύο μαθηματικοί εργάζονταν στο Πολιτειακό Πανεπιστήμιο της Λουιζιάνας. «Ο ένας από τους δυο μας έφερνε ένα τετράδιο και αρχίζαμε να κάνουμε σχεδιαγράμματα αφήνοντας το φαγητό μας να κρυώνει».
Η σπαζοκεφαλιά Το πρόβλημα που τους απασχολούσε ήταν το εξής: ας υποθέσουμε ότι στη βιασύνη του ο σερβιτόρος κόβει την πίτσα εκτός κέντρου, με όλες τις τομές να διασταυρώνονται σε ένα σημείο σχηματίζοντας ίσες γωνίες με τη γειτονική τους. Οι εκτός κέντρου τομές σημαίνουν ότι τα κομμάτια δεν θα έχουν το ίδιο μέγεθος. Επομένως δύο άτομα που παίρνουν εναλλάξ διαδοχικά κομμάτια, θα έχουν φάει ίσα μερίδια όταν τελειώσει η πίτσα και, αν όχι, ποιος θα έχει φάει περισσότερο;
Φυσικά, θα μπορούσε κανείς να λύνει κάθε φορά το συγκεκριμένο πρόβλημα υπολογίζοντας την επιφάνεια κάθε κομματιού και προσθέτοντας τα κομμάτια του καθενός μεταξύ τους. Οι δύο ερευνητές είναι όμως μαθηματικοί και δεν αρκούνται σε τέτοιου είδους λύσεις: ήθελαν μια θεωρητική κατασκευή χωρίς ακριβείς υπολογισμούς, έναν κανόνα που θα ισχύει πάντοτε και θα μπορεί να εφαρμόζεται για κάθε στρογγυλή πίτσα. Οπως συμβαίνει με πολλές μαθηματικές σπαζοκεφαλιές, η απάντηση ήρθε σε στάδια- για διαφορετικές κάθε φορά πιθανές περιπτώσεις του προβλήματος. Η ευκολότερη προσφέρεται όταν τουλάχιστον μία τομή περνάει από το κέντρο της πίτσας: ένα γρήγορο σχήμα μπορεί να δείξει ότι στην περίπτωση αυτή τα αντιδιαμετρικά κομμάτια είναι συμπληρωματικά μεταξύ τους οπότε μοιράζονται ίσα ανάμεσα στους δύο συνδαιτυμόνες, ανεξάρτητα από το πόσες είναι οι τομές.
Η ευκολία των ζυγών Τι γίνεται όμως όταν καμία τομή δεν περνάει από το κέντρο; Αν η πίτσα κόβεται μία φορά, η απάντηση είναι προφανής με το μάτι: όποιος τρώει το κέντρο τρώει περισσότερο. Αν γίνουν δύο τομές, που δίνουν τέσσερα κομμάτια, το αποτέλεσμα είναι το ίδιο: όποιος φάει το κομμάτι που περιλαμβάνει το κέντρο τρώει περισσότερη πίτσα. Οσο όμως οι τομές αυξάνονται, παρουσιάζονται διάφορες ανωμαλίες και η λύση τους οδήγησε, με τον χρόνο, στον σχηματισμό των τριών γενικών κανόνων που απαρτίζουν το θεώρημα της πίτσας. Ο πρώτος ορίζει ότι αν η πίτσα κοπεί σε ένα δεδομένο σημείο με ζυγό αριθμό τομών μεγαλύτερο του 2, θα μοιραστεί ίσα ανάμεσα στους δύο συνδαιτυμόνες που παίρνουν εναλλάξ διαδοχικά κομμάτια. Προτάθηκε για πρώτη φορά για 4 τομές (8 κομμάτια) από κάποιονΛ. Τζ. Απτον το 1967 στο περιοδικό «Μathematics Μagazine», ενώ η λύση που όριζε ότι η πίτσα μοιράζεται ίσα για οποιονδήποτε αριθμό ζυγών τομών ήλθε έναν χρόνο αργότερα ως απάντηση στην «πρόκληση» του Απτον.
Ο σκόπελος των μονών Με τους μονούς αριθμούς τομών όμως τα πράγματα περιπλέκονται. Εδώ το θεώρημα της πίτσας λέει ότι αν κόψει κανείς την πίτσα με 3, 7, 11, 15... τομές χωρίς καμία τομή να περνάει από το κέντρο της, τότε αυτός που θα πάρει το κομμάτι που περιέχει το κέντρο της πίτσας θα φάει συνολικά περισσότερο. Αν όμως οι τομές είναι 5, 9, 13, 17... αυτός που θα πάρει το κομμάτι με το κέντρο καταλήγει να τρώει λιγότερο. Το θεώρημα ισχύει αν κάνει κανείς τους υπολογισμούς, απέβη όμως εξαιρετικά δύσκολο να αποδειχθεί από τους μαθηματικούς. Τόσο δύσκολο ώστε οι κκ. Μέιμπρι και Ντάιερμαν μόλις τώρα κατόρθωσαν να ολοκληρώσουν μια απόδειξη η οποία καλύπτει όλες τις πιθανές περιπτώσεις. Η προσπάθειά τους ξεκίνησε το 1994, όταν ο κ. Ντάιερμαν έδειξε στον κ. Μέιμπρι μια διορθωμένη εκδοχή του θεωρήματος της πίτσας που επανεμφανίστηκε στο «Μathematics Μagazine» προκαλώντας τους αναγνώστες να αποδείξουν δύο συγκεκριμένες περιπτώσεις του προβλήματος, αυτή στην οποία η πίτσα κόβεται με 3 τομές και αυτή στην οποία κόβεται με 5. Η «άσχημη» λύση
Ο κ. Ντάιερμαν έλυσε γρήγορα το πρόβλημα των 3 τομών, το οποίο οι συγγραφείς του άρθρου είχαν λύσει αλλά δεν αποκάλυπταν στο δημοσίευμα. Στη συνέχεια οι δύο συνεργάτες βρήκαν τη λύση για τις περιπτώσεις των 5 και των 7 τομών (οι οποίες έδιναν το ίδιο αποτέλεσμα με τις 3). Ενθουσιασμένοι με την επιτυχία τους, θεώρησαν ότι είχαν βρει την τεχνική που θα έλυνε πλήρως το πρόβλημα. Σε ένα μονό αριθμό τομών, τα αντιδιαμετρικά αντίθετα κομμάτια πηγαίνουν σε διαφορετικούς συνδαιτυμόνες, οπότε συγκρίνοντας κανείς τα μεγέθη τους μπορεί να βρει, για αυτά τα δύο, ποιος παίρνει περισσότερο και πόσο και στη συνέχεια να περάσει στο επόμενο αντιδιαμετρικά αντίθετο «ζευγάρι».
Παρ΄ ότι ακούγεται απλό, στην πράξη αποδείχθηκε σχεδόν αδύνατον να βρεθεί μια λύση που να καλύπτει όλους τους πιθανούς μονούς αριθμούς τομών. Οι δύο μαθηματικοί χρησιμοποίησαν ένα γεωμετρικό τέχνασμα για να απλοποιήσουν τη διαδικασία, εισάγοντας ένα παραλληλεπίπεδο που σχηματίζεται από κάθε τομή και μια παράλληλή της γραμμή η οποία περνάει από το κέντρο της πίτσας. Και πάλι όμως η λύση δεν ήταν ικανοποιητική εφόσον απαιτούσε πολύπλοκους υπολογισμούς. Ηταν, όπως λένε,«άσχημη» .
Ο παράγων «καθαρός αέρας» Στα χρόνια που ακολούθησαν, ασχολήθηκαν κατά καιρούς και πάλι με το πρόβλημα, χωρίς όμως περαιτέρω επιτυχία. Η «φώτιση» ήρθε το 2006, όταν ο κ. Μέιμπρι βρισκόταν για διακοπές στη Γερμανία. «Ημουν σε ένα ωραίο ξενοδοχείο,με ευχάριστο,δροσερό περιβάλλον και χωρίς κομπιούτερ»λέει.«Αρχισα να σκέφτομαι ξανά το πρόβλημα και τότε όλα άρχισαν να λειτουργούν». Ως τότε οι δύο μαθηματικοί χρησιμοποιούσαν μοντέλα στον ηλεκτρονικό υπολογιστή για τα αποτελέσματά τους. Μόλις όμως ο κ. Μέιμπρι άφησε την τεχνολογία στην άκρη, μπόρεσε να δει το πρόβλημα καθαρά. Επιστρέφοντας έβαλε ξανά τον υπολογιστή να δουλέψει για να βρει όλες τις πληροφορίες που χρειάζονταν για να προχωρήσει τις σκέψεις του και τελικά όλα μπήκαν στη θέση τους. Η απόδειξη του θεωρήματος της πίτσας βρέθηκε, λοιπόν, επιτέλους και έχει δημοσιευθεί στην επιθεώρηση Αmerican Μathematical Μonthly (Μάιος 2009). Ποιες πρακτικές εφαρμογές μπορεί να έχει; Προς το παρόν δεν διαφαίνεται καμία, αυτό όμως δεν ανησυχεί τον κ. Μέιμπρι. «Το παράξενο με εμάς τους μαθηματικούς»λέει «είναι ότι συχνά δεν μας ενδιαφέρει αν τα αποτελέσματα έχουν εφαρμογές γιατί τα ίδια τα αποτελέσματα είναι τόσο όμορφα». Πολλές φορές ωστόσο η χρησιμότητα των λύσεων τέτοιου είδους αφηρημένων μαθηματικών προβλημάτων εμφανίζεται με απρόσμενους τρόπους: ένα ξεχασμένο μαθηματικό παράδοξο του 19ου αιώνα για ένα μορφοκλασματικό είδος καμπύλης επανήλθε στο προσκήνιο ως μοντέλο για το σχήμα του ανθρώπινου γονιδιώματος.
 

ΚΟΡΥΦΗ

Τα Μαθηματικά που ονειρευόμαστε Γαλδαδάς Αλκης 

Η φαντασία στην Παιδεία μπορεί να αλλάξει τα δεδομένα και κυρίως εκεί που πέφτουν… κορμιά στην τάξη, δηλαδή στη λύση προβλημάτων και εξισώσεων και στις γραφικές απεικονίσεις τους

Κάποιος που έχει αρχίσει μια από εκείνες τις αυστηρές δίαιτες γιατί πρόλαβε ήδη να τα… φάει όλα στη διάρκεια των εορτών αγοράζει σε τιμή ευκαιρίας τρεις χοντρές φέτες ζαμπόν γαλοπούλας που ζυγίζουν όλες μαζί 1/3 του μισού κιλού. Η αυστηρή διατροφολόγος όμως του επιτρέπει να τρώει μέσα στην ημέρα 1/4 του μισού κιλού. Πόσες φέτες λοιπόν από την ποσότητα που αγόρασε επιτρέπεται να φάει για να μην καταπατήσει από την πρώτη ημέρα τη δίαιτά του; Αν στην κάβα του έχει ένα βαρελάκι με κρασί και δύο δοχεία, ένα των 5 λίτρων και ένα των 3 λίτρων, με ποιους συνδυασμούς θα γεμίσει εντελώς μια νταμιτζάνα των 4 λίτρων; Και αν το ίδιο βράδυ ήλθαν στο σπίτι 5 φίλοι του, παράγγειλε μια πίτσα που κόπηκε στα πέντε, πήραν οι τρεις από ένα κομμάτι και τότε καταφθάνουν απρόσκλητοι άλλοι δύο, τότε τι κάνει;

Τα πρόσωπα από μια έκθεση Μέσα στη χρονιά που τελειώνει, στο Παρίσι, μια από τις πιο ενδιαφέρουσες εκθέσεις ήταν αυτή με τον τίτλο «Mathematics: Α beautiful elsewhere». Δηλαδή, τα Μαθηματικά σαν ένα όμορφο αλλού, και εκεί εκτέθηκαν έργα τέχνης που ως πηγή έμπνευσης οι δημιουργοί τους είχαν κάτι από τον ατελείωτο κόσμο των Μαθηματικών. Εξισώσεις, μέθοδοι σκέψης, σχήματα από τις δύο και τις τρεις διαστάσεις. Ερευνητές που είχαν τα Μαθηματικά ως εργαλείο δουλειάς και μέσο για να κερδίζουν τον επιούσιο, όπως ο βραβευμένος με το Abel Prize του 2009, ο ρωσικής καταγωγής γεωμέτρης Μίσα Γκρόμοφ, ο γάλλος αστροφυσικός Μισέλ Κασέ, ο διευθυντής έρευνας του CNRS Ζαν-Πιερ Μπουργκινιόν, ο Μπρους Αλμπερτ, ανθρωπολόγος, μελετητής των Ινδιάνων Yanomami του Αμαζονίου, κάθησαν μέσα σε δύο χρόνια αρκετές φορές στο ίδιο τραπέζι με καλλιτέχνες όπως ο ιάπωνας διάσημος σκηνοθέτης Τακέσι Κιτάνο, η ποιήτρια και μουσικός Πάτι Σμιθ, ο φωτογράφος Χιρόσι Σουγκιμότο, ο ζωγράφος, μουσικός και βραβευμένος στις Κάννες το 1990 αμερικανός σκηνοθέτης Ντέιβιντ Λιντς.
Ενας Σαμάνος μάλιστα της φυλής των Yanomami, όταν είδε στην οθόνη του υπολογιστή την απεικόνιση κάποιων εξισώσεων, ρώτησε με αφέλεια τον χειριστή: «Ονειρεύεσαι αρκετά; Από τι να είναι φτιαγμένα τα όνειρά σου;».Τα αποτελέσματα αυτής της συνεργασίας δεν ήταν μόνο τα έργα που προέκυψαν και τα οποία απόλαυσαν οι επισκέπτες της έκθεσης. Ηταν και η άποψη που προσπάθησαν να περάσουν. Οτι τα Μαθηματικά δεν είναι ένα υλικό άξιο να διακινείται μόνο από τα μέλη μιας κλειστής και προικισμένης αδελφότητας (σήμερα η κοινότητα των μαθηματικών υπολογίζεται ότι ανέρχεται στις 100.000 περίπου, όταν π.χ. αυτή των βιολόγων ξεπερνά τα 2 εκατομμύρια). Δεν πρέπει λοιπόν οι άλλοι απ' έξω να ακούν «Μαθηματικά» και να το βάζουν στα πόδια, κυνηγημένοι από τραυματικές εμπειρίες που είχαν όσο ήταν «κλεισμένοι» στα τείχη μιας αυστηρής και άτεγκτης σχολικής εκπαίδευσης.

Παλιά Μαθηματικά με νέα κόλπα Στο ίδιο μήκος κύματος είναι και η προσπάθεια εδώ και περίπου πέντε χρόνια στη Βρετανία για βελτίωση της διδασκαλίας των Μαθηματικών στα σχολεία της μέσης εκπαίδευσης. Οι άνθρωποι εκεί τρομοκρατήθηκαν από το ότι στις γνωστές διεθνείς εξετάσεις όπου αξιολογούνται οι επιδόσεις πολλών κρατών στο μάθημα αυτό το Ηνωμένο Βασίλειο από την 8η θέση που κατείχε το 2000 είχε πέσει στην 24η το 2007. Αυτό το αποτέλεσμα συνδυάστηκε με την πρόβλεψη για 20 εκατομμύρια μελλοντικές θέσεις εργασίας, αλλά για ποιους; Για ανθρώπους ικανούς να λύνουν προβλήματα και υπάρχει η εκτίμηση ότι με την υπάρχουσα κατάσταση μόνο το 20% αυτών των θέσεων θα είναι δυνατόν να πληρωθούν από ανθρώπους με τα απαιτούμενα προσόντα!  Στις Ηνωμένες Πολιτείες σχετική έρευνα από τους Forman και Steen αναφέρει ότι ακόμη και στον Τύπο όσοι γράφουν αναφέρονται συνεχώς σε ισοζύγια πληρωμών, πιθανότητες αλλαγής του καιρού, παγκόσμια υπερθέρμανση, πληθωρισμό, αλλά και οι σχετικές παρουσιάσεις βασίζονται σε γραφήματα, «πίτες», γραφικές παραστάσεις. Εκεί επίσης, από το 2001, γίνεται λόγος για τη δεξιότητα στα Μαθηματικά ως ακόμη ένα «πολιτικό δικαίωμα» (Moses and Cobb, «Radical Equations: Math, Literacy and Civil Rights»). Ισως και γιατί οι αμερικανοί εκπαιδευτικοί τρομοκρατήθηκαν όταν έθεσαν το ερώτημα πόσα λεωφορεία των 50 θέσεων χρειάζονται για να μεταφέρουν 1.123 στρατιώτες και πήραν στις περισσότερες των περιπτώσεων την απάντηση (της διαίρεσης 1.123/50=)  22.46, αντί για τη ρεαλιστική: 23 λεωφορεία. Εχει όμως αρχίσει να γίνεται σε αυτές τις χώρες δουλειά. Αντίθετα από εμάς που αφήσαμε στη μέση μια προσπάθεια με υπολογιστικές μηχανές στην τάξη, χωρίς καμία σκέψη συλλογικής εργασίας την ώρα των Μαθηματικών και με εξοστρακισμό της Γεωμετρίας, εκείνοι έφθασαν στο σημείο να «βλέπουν» οι μαθητές τους τις εξισώσεις χρησιμοποιώντας τουβλάκια ή ξύλινους κύβους , ενώ απορρίπτουν προβλήματα του τύπου «ένας εργάτης τελειώνει ένα έργο σε πέντε ώρες και ένας άλλος σε 6, πόσο θα προχωρήσουν αν εργαστούν μαζί δύο ώρες», θεωρώντας ότι στη ζωή αλλάζουν οι συνθήκες στις δύο περιπτώσεις. Επίσης κάνουν προσπάθειες να μην αποκλείονται οι γυναίκες από τα Μαθηματικά, ενώ στην τάξη προτρέπουν τους μαθητές όταν έχουν τελειώσει και βρει τη λύση να το δείχνουν υψώνοντας διακριτικά τον αντίχειρα και όχι να σηκώνουν προκλητικά το χέρι για να μην αισθάνονται μειονεκτικά απέναντί τους οι πιο αργοί από τους συμμαθητές τους. Η αγγλίδα καθηγήτρια της Διδακτικής των Μαθηματικών Jo Boaler στο βιβλίο της «The Elephant in the Classroom» περιγράφει τις προσπάθειες των τελευταίων χρόνων μέσα στην τάξη από μια μερίδα εκπαιδευτικών που κατάλαβαν ότι τα Μαθηματικά όπως διδάσκονται δημιουργούν όλο και μεγαλύτερους αποκλεισμούς.

Οι... λύσεις Τα προβλήματα που έχουν να κάνουν με τις φέτες της γαλοπούλας και το κρασί δόθηκαν από καθηγητές των Μαθηματικών σε γονείς των οποίων τα παιδιά φοιτούσαν στο σχολείο, αλλά και στα ίδια τα παιδιά. Οι περισσότεροι γονείς αδυνατούσαν να βρουν τις λύσεις ή έκαναν το συνηθισμένο λάθος να πολλαπλασιάζουν, για παράδειγμα, το 1/3 με το 1/4 και δεν μπορούσαν να σκεφθούν ότι το νήμα ξετυλίγεται σωστά γεμίζοντας πρώτα το πεντόλιτρο και αδειάζοντας από αυτό τα 3 λίτρα στο μικρότερο δοχείο. Επιστρέφουμε τα 3 στο βαρέλι και αδειάζουμε τα 2 που έχουν μείνει στο τρίλιτρο, μετά μένουν πια δύο κινήσεις. Τα παιδιά τους όμως, ύστερα από τη σχετική δουλειά που είχε γίνει στην τάξη, τα κατάφερναν καλύτερα. Και όχι απαραιτήτως με πράξεις. Ενας της πέμπτης τάξης, στο πλαίσιο αυτού που λέμε «αριθμητική χωρίς πράξεις», βρήκε ότι 9 φέτες αντιστοιχούσαν στο μισό κιλό, ζωγράφισε λοιπόν εννέα μικρούς κύκλους (όσες και οι φέτες αυτές) μέσα σε ένα τετράγωνο 3Χ3 και χώρισε την εικόνα με ένα σταυρό στα τέσσερα. Και ήταν σαν να τους έλεγε «διαλέξτε τώρα λοιπόν το 1/4 που θέλετε»! Οσο για το πρόβλημα της πίτσας, τα Μαθηματικά της ζωής ακριβώς όπως και με το λεωφορείο δεν ασχολούνται με τα ψίχουλα, αλλά λένε ότι… παραγγέλνουμε άλλη μία ολόκληρη πίτσα για να είναι οι πάντες χορτάτοι. Χρειαζόμαστε λοιπόν επειγόντως να ξεφύγουμε από τη μηχανική και ευρετική διδασκαλία των Μαθηματικών στα παιδιά που τελικά μπορεί, αντί να τους κάνει καλό, αντί να τα εκπαιδεύει έστω, φθάνει στο σημείο ακόμη και να τα τραυματίσει, χωρίς φυσικά το παραμικρό όφελος.
Ταυτότητες, αλλιώς! Η με διασκεδαστικό τρόπο απόδειξη ταυτοτήτων χωρίς πολύπλοκους υπολογισμούς φαίνεται καλά στο παρακάτω παράδειγμα: το άθροισμα (1+2+3+4+5+6+7+8)2 είναι ίσο με το άθροισμα των κύβων των αριθμών αυτών. Φτιάχνεις πρώτα ένα τετράγωνο με πλευρά 36, όσο το άθροισμά τους. Μέσα κατασκευάζουμε ένα τετράγωνο με πλευρά ίση με 1 μονάδα. Δύο τετράγωνα με πλευρά ίση με δυο μονάδες και ούτω καθ’ εξής. Για το 2, το 4, το 6, το 8 υπάρχει μια μικρή επικάλυψη, που συμπληρώνει όμως ακριβώς τα κενά (με λευκό χρώμα). Ετσι σκεπάζεται όλη η επιφάνεια. Ισχύει ότι έχουμε 1Χ12  = 13, 2Χ22 = 23  κ.λπ., άρα το άθροισμά τους δίνει το δεύτερο μέλος της ταυτότητας!
 

ΚΟΡΥΦΗ

 

 

 

 

 

 

 

 

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ

Τα μαθηματικά του Χόλιγουντ

Η άλγεβρα απογειώνει τη φαντασία

Τα μαθηματικά της στρογγυλής θεάς

Η ομορφιά των μαθηματικών

Η ιδανική σύντροφος θέλει τα μαθηματικά της

Ισότητα και... στην άλγεβρα

 

Η μαθηματική φόρμουλα των διαζυγίων

Η μεγάλη απώλεια του Βλαντίμιρ Αρνολντ Ο ρώσος μαθηματικός που έβαλε σε νέα τροχιά τη Μηχανική έφυγε από τη ζωή αφήνοντας δυσαναπλήρωτο κενό στην επιστήμη

 

Η ελληνική μαθηματική ιδιοφυΐα αυτοπροσώπως Στη διεθνή επιστημονική σκηνή ο Δημήτριος Χριστοδούλου θεωρείται σήμερα από τους πλέον διακεκριμένους και δημιουργικούς μαθηματικούς. Το πρωτοποριακό έργο του αναγνωρίζεται παγκοσμίως και έχει κατ' επανάληψη τιμηθεί με τις μεγαλύτερες επιστημονικές διακρίσεις Ο Δημήτρης Χριστοδούλου γεννήθηκε στην Αθήνα το 1951. Ενώ ήταν ακόμη μαθητής της Ε' Γυμνασίου (16,5 ετών!) έφυγε στις ΗΠΑ για πανεπιστημιακές σπουδές στο Πανεπιστήμιο του Πρίνστον. Το 1970 πήρε μάστερ στη φυσική, ενώ το 1971, σε ηλικία μόλις 19 ετών, έλαβε το διδακτορικό του στη φυσική.

 

Όταν ο Χόκινγκ συνάντησε τον Εσερ Στα περίφημα χαρακτικά του Εσερ ίσως κρύβεται η γεωμετρία του... Σύμπαντος Η διαπίστωση ενθουσιάζει ίσως τους λάτρεις του ολλανδού χαράκτη, ο κ. Χόκινγκ όμως και η ομάδα του υποστηρίζουν ότι η μελέτη τους προσφέρει έναν τρόπο ώστε να συμβιβάσουμε τις γεωμετρικές απαιτήσεις της θεωρίας των χορδών – μιας υποθετικής προς το παρόν «θεωρίας των πάντων» – με το Σύμπαν που παρατηρούμε γύρω μας. Οι υπολογισμοί τους βασίζονται σε έναν μαθηματικό ελιγμό ο οποίος ως τώρα εθεωρείτο αδύνατος. Αν όμως αποδειχθεί ότι ισχύει, ίσως μπορεί να εξηγήσει πώς το Σύμπαν αναδείχθηκε από τη Μεγάλη Εκρηξη και να ενώσει τη θεωρία της βαρύτητας με την κβαντομηχανική.

Ο Ελληνας που πήρε το «νόμπελ» στα Μαθηματικά Το βραβείο «Σο Πράιζ» της Ασίας στα Μαθηματικά, το οποίο είναι αντίστοιχο του βραβείου Νόμπελ, αφού δεν είχε προβλεφθεί βράβευση Μαθηματικών, παρέλαβε την προηγούμενη Τετάρτη σε επίσημη τελετή στο Χονγκ Κονγκ ο μεγάλος Ελληνας μαθηματικός, φυσικός και διανοητής των επιστημονικών ιδεών, Δημήτρης Χριστοδούλου, ο οποίος σε ηλικία 21 ετών ήταν καθηγητής στο Πανεπιστήμιο Αθηνών.

Δημήτρης Χριστοδούλου: Ο μαθηματικός του Σύμπαντος Το μεγαλύτερο μέρος του Σύμπαντος είναι σε ρευστή κατάσταση, όπως είναι οι ωκεανοί, η ατμόσφαιρα και ο εξωτερικός πυρήνας

Γεννήθηκε στην Αθήνα το 1951. Διετέλεσε καθηγητής Μαθηματικών στο Ινστιτούτο Courant του Πανεπιστημίου της Νέας Υόρκης (1988-92) και στο Πανεπιστήμιο του Princeton (1992-2001). Από το 2001 είναι καθηγητής των Μαθηματικών και της Φυσικής στο Πολυτεχνείο της Ζυρίχης. Εχει τιμηθεί με το βραβείο του Ιδρύματος Mac Arthur (1993) για τα Μαθηματικά και τη Φυσική. Με το βραβείο Bocher της Αμερικανικής Μαθηματικής Εταιρείας (1999) και με το βραβείο Αστρονομίας Tomalla (2008). Το 2011 του απονεμήθηκε το βραβείο Shaw για το σύνολο των εργασιών του στα Μαθηματικά από κοινού με τον Ρ. Χάμιλτον.

* Το βραβείο Mc Arthur, γνωστό και ως Genius Grant, απονέμεται σε ανθρώπους ηλικίας από 18 ως 82 ετών που θεωρείται ότι δίδουν μεγάλες υποσχέσεις για περαιτέρω εξέλιξη στις επιστήμες.

* Το βραβείο Bocher, στη μνήμη του Maxime Bocher, απονέμεται κάθε πέντε χρόνια από την Αμερικανική Μαθηματική Εταιρεία στην καλύτερη εργασία που έχει δημοσιευτεί σε αμερικανικό περιοδικό γύρω από τον κλάδο των Μαθηματικών που ονομάζεται Ανάλυση.

* Το βραβείο Tomalla απονέμεται κάθε τρία χρόνια και το έχουν πάρει ως τώρα τεράστιας εμβέλειας επιστήμονες όπως ο Σ. Τσαντρσεκχάρ, ο Α. Σαχάροφ, ο Τζ. Τέιλορ και ο Τζ. Πιμπλς.

* Το βραβείο Shaw απονέμεται κάθε χρόνο σε επιστήμονες στους τομείς της Ιατρικής, της Αστρονομίας και των Μαθηματικών. Συνοδεύεται από ένα σεβαστό χρηματικό ποσό.

Δεν είναι τυχαίο ότι ο Δ. Χριστοδούλου μπορεί να μιλάει επί ώρες για τους αρχαίους Έλληνες Μαθηματικούς. Όχι μόνο γιατί έχει γράψει ένα βιβλίο σχετικά με «Τα Μαθηματικά στην Αρχαία Αλεξάνδρεια» (Εκδόσεις Ευρασία) αλλά αναγνωρίζει ότι έργα των μαθηματικών της εποχής εκείνης έπαιξαν ρόλο στη «Άνοιξη» των Μαθηματικών που συνέβη τον 17ο αιώνα.

 

Όταν ο Αρχιμήδης «έπαιζε» με τα τετράγωνα

Ο Θεός είναι άγνωστο αν έπαιζε ζάρια, ο Αρχιμήδης όμως έπαιζε παιχνίδια! Μαθηματικά βεβαίως! Επιπλέον γνώριζε τα «άπειρα σύνολα» και ήταν ο μόνος που κατέγραψε τους τρόπους επίλυσης των μαθηματικών προβλημάτων, εν αντιθέσει με τους άλλους αρχαίους φιλοσόφους, που παραθέτουν μόνον το αποτέλεσμα αφήνοντας τους σύγχρονους να αναρωτιούνται... Πρόκειται για τα σημαντικότερα _αν και όχι όλα_ πορίσματα της νέας μελέτης του περίφημου «Παλίμψηστου» του Αρχιμήδη, που αποκαλύπτει άγνωστες πτυχές για τον μεγάλο μαθηματικό της αρχαιότητας και για πρώτη φορά εκδίδεται τώρα στα ελληνικά από τις εκδόσεις «Νεφέλη» με επιμέλεια του αν. καθηγητή Ιστορίας των Μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο Αθηνών κ. Γιάννη Χριστιανίδη. Ο Παλίμψηστος Κώδικας του Αρχιμήδη _ όρος για αρχαίους παπύρους και περγαμηνές που χρησιμοποιούνταν πολλές φορές, αφού πρώτα «σβήνονταν» οι προηγούμενες καταγραφές_ ήταν αρχικώς ένα χειρόγραφο, το οποίο είχε αντιγραφεί τον 10o αιώνα από άγνωστο γραφέα. Περί τον 13ο αιώνα όμως ένας μοναχός στην Ιερουσαλήμ έξυσε το αρχικό κείμενο, έκοψε τα χειρόγραφα στη μέση για να τα δέσει και πάνω τους κατέγραψε προσευχές. Στην Ευρώπη εντοπίσθηκε το 1846 αλλά μόνον το 1907 δόθηκε για μετάφραση και μελέτη. Στη συνέχεια «εξαφανίστηκε» για εμφανισθεί εκ νέου το 1998 σε δημοπρασία των Christie's της Νέας Υόρκης, όπου και πωλήθηκε αντί 2,2 εκατ. δολαρίων, χωρίς η Ελλάδα να κατορθώσει να τον διεκδικήσει. Ηταν και η ευκαιρία για νέα ανάγνωση των κειμένων χάρη στις σύγχρονες μεθόδους που ο Χάιμπεργκ δεν μπορούσε να έχει στη διάθεσή του. Όταν ο Αρχιμήδης ...............

 

Κωνσταντίνος Καραθεοδωρής.

Ο μαθηματικός που βοήθησε τον Αϊνστάιν και τον Βενιζέλο. Απορρίφθηκε από τους Έλληνες καθηγητές πανεπιστημίου

Όταν ο Άλμπερτ Αϊνστάιν εργαζόταν πάνω στη γενική θεωρία της σχετικότητας, αντιμετώπισε σοβαρά προβλήματα σε τρία βασικά θέματα. Έτσι ζήτησε τη βοήθεια από μερικούς διάσημους και κορυφαίους επιστήμονες της εποχής. Ένας από αυτούς που του απάντησαν με τρόπο απλό και κατατοπιστικό και βοήθησαν καθοριστικά στην εξέλιξη της θεωρίας ήταν ο Έλληνας μαθηματικός Κωνσταντίνος Καραθεοδωρής. Ένα από τα λαμπρότερα μυαλά που ανέδειξε η Ελλάδα. Όπως λένε οι θαυμαστές του, ίσως με δόση υπερβολής, το IQ του ήταν ανώτερο του Ευκλείδη και ισάξιο του Αϊνστάιν.
Ο Κάρα όπως τον αποκαλούσαν οι μαθητές του στο πανεπιστήμιο της Γοτίγγης γεννήθηκε στις 13 Σεπτεμβρίου του 1873 και ήταν γιος τους διπλωμάτη της Οθωμανικής αυτοκρατορίας Στέφανου Καραθεοδωρή.
Το σπουδαίο ταλέντο και η κλίση του στα γράμματα και ειδικά στα μαθηματικά ήταν ευδιάκριτα από τα μαθητικά του χρόνια.
Σπουδαίες προσωπικότητες όπως ο
Ιούλιος Βερν έγραφαν στο λεύκωμά του ότι αν συνέχιζε το διάβασμα και την εξάσκηση θα γινόταν μια σπουδαία προσωπικότητα της επιστήμης. Σε ηλικία 16 ετών ο Κωνσταντίνος Καραθεοδωρής κέρδισε δύο συνεχόμενες χρονιές το βραβείο του πανεθνικού διαγωνισμού μαθηματικών του Βελγίου, αφήνοντας τους πάντες άφωνους, καθώς κάτι τέτοιο δεν είχε ξαναγίνει ποτέ στο παρελθόν.

Στα 18 του γράφτηκε στο τμήμα μηχανικών της βελγικής στρατιωτικής σχολής και το 1898 υπηρέτησε στην Αίγυπτο όπου έλαβε μέρος σε αρδευτικά έργα του Νείλου και την πυραμίδα του Χέοπα. Τρία χρόνια νωρίτερα κατά τη διάρκεια  επίσκεψής του στην Κρήτη για να συναντήσει τον αδερφό του παππού του, γνωρίστηκε με τον Ελευθέριο Βενιζέλο. Μια γνωριμία που θα κρατούσε για πολλά χρόνια, καθώς ο Βενιζέλος εκτιμούσε πολύ τις ικανότητες του Καραθεοδωρή που έγραφε και μελετούσε σε 6 γλώσσες.

Και ενώ η καριέρα του ως μηχανικός άρχιζε να απογειώνεται, ο ανήσυχος νεαρός τα παράτησε όλα για να αφοσιωθεί στο πάθος του που δεν ήταν άλλο από τα μαθηματικά. Οι διατριβές του έκαναν ιδιαίτερη αίσθηση και σταδιακά εξελίχθηκε σε μια από τις καλύτερες ερευνητικές υπογραφές, στα διάσημα και έγκυρα περιοδικά μαθηματικών της εποχής. Ο Καραθεοδωρή δημιουργεί νέες θεωρίες, αναμοχλεύει και «ανακαινίζει» παλιά αξιώματα.

Σαν να ήταν κάτι απλό ασχολείται με τον λογισμό των μαθηματικών με τον οποίο είχαν ασχοληθεί κορυφαίοι επιστήμονες και δίνει λύση στο πρόβλημα των ασυνεχών λύσεων όπου όλες οι ασκήσεις και οι μελέτες σταματούσαν. Όλοι ήταν πλέον εκστατικοί με τη διάνοια του Καραθεοδωρή.

Το ίδιο κάνει και με προβλήματα της φυσικής όπου καταπιάνεται με την θερμοδυναμική και θεωρείται ως ένας από τους μεγάλους «πατέρες» της επιστήμης. Ο Καραθεοδωρής ασχολήθηκε συστηματικά και με τις τηλεπικοινωνίες και σήμερα πολλές από τις εφαρμογές του καταγράφονται στην κινητή τηλεφωνία.

Παρά το γεγονός ότι υπήρξε κορυφαίος επιστήμονας και καθηγητής σε διάσημα πανεπιστήμια, στην Ελλάδα γνώρισε την απόρριψη από την επιστημονική κοινότητα όταν προσπάθησε να γίνει καθηγητής. «Αν θες να γίνεις δάσκαλος σε κάποιο σχολείο της επαρχίας έχει καλώς» του είπαν χαρακτηριστικά, την περίοδο που είχε αναγορευτεί διδάκτωρ στο Γκέτιγκεν!
Έτσι άνοιξε ο δρόμος για το εξωτερικό όπου γνώρισε αμέσως την αναγνώριση.
Ο Ελευθέριος Βενιζέλος όμως πίστευε σε αυτόν. Έτσι τον κάλεσε για πρώτη φορά το 1919 για ηγηθεί του νεοσύστατου ελληνικού πανεπιστημίου της Σμύρνης. Χωρίς δεύτερη σκέψη ο Καραθεοδωρής παράτησε την έδρα του στη Γερμανία και έσπευσε να βοηθήσει στην εκπλήρωση του οράματος του Βενιζέλου. Ονόμασε το πανεπιστήμιο συμβολικά «Φως εξ Ανατολών» και εκτός από την οργάνωσή του, έκανε όλες τις απαραίτητες ενέργειες για να καταστεί ένα κορυφαίο ίδρυμα έρευνας.
Έφερε όργανα και εξοπλισμό από το εξωτερικό και προσπάθησε μέσω της ιατρικής έρευνας να καταπολεμήσει την ελονοσία που εκείνο τον καιρό κυριολεκτικά «θέριζε».  Ο Καραθεοδωρής όμως δεν πρόλαβε να εκπληρώσει το έργο του, καθώς μεσολάβησε η ήττα και η μικρασιατική καταστροφή.
Μόλις δύο ημέρες πριν κατάφερε να φυγαδεύσει την οικογένειά του, μένοντας πίσω για να διασώσει αρχεία και μελέτες. Με τη βοήθεια ενός δημοσιογράφου κατάφερε να φύγει τελικά και αυτός με το πλοίο Νάξος.

Το 1922 διορίσθηκε καθηγητής στο Πανεπιστήμιο Αθήνας και το 1923 στο Μετσόβειο. Το 1924 απογοητευμένος από την κατάσταση στα φτωχά ελληνικά πανεπιστήμια έφυγε στο εξωτερικό. Έγινε καθηγητής στο Μόναχο δίπλα σε τεράστια ονόματα της επιστήμης.

Το 1929 ο Βενιζέλος ζήτησε για δεύτερη φορά τη βοήθειά του για την αναδιοργάνωση του Καποδιστριακού και του Αριστοτέλειου Πανεπιστημίου. Η απόρριψή όμως από τους Έλληνες συναδέλφους του που δεν μπορούσαν να παραδεχτούν το επιστημονικό μεγαλείο του Καραθεοδωρή ήταν διαρκής. «Δεν χρειαζόμαστε τόσους επιστήμονες που δεν μορφώνονται σωστά και πανεπιστήμια και δεν πληρώνουν ανάλογα» συνήθιζε να λέει. Παρά τις αντιξοότητες αρκετές προτάσεις του εφαρμόστηκαν μέχρι και τις αρχές της δεκαετίας του ’80.

Μια από τις μεγαλύτερες μελέτες του Καραθεοδωρή που έγραψαν ιστορία ήταν για τους κίονες του Παρθενώνα υπό τον τίτλο «Περί των καμπυλών του στυλοβάτου του Παρθενώνα και περί της αποστάσεως των κιόνων αυτών». Ήταν αυτός που ανακάλυψε ότι οι μπροστινοί κίονες του Παρθενώνα έχουν τόξα από κύκλους με ακτίνα πέντε χιλιομέτρων ενώ οι πίσω κίονες έχουν ακτίνα δέκα χιλιόμετρα, με αποτέλεσμα να μοιράζεται καλύτερα το βάρος πάνω στον κάθε κίονα.

Ο Κωνσταντίνος Καραθεοδωρή και όχι Καραθεοδωρής όπως λανθασμένα αναφέρεται συχνά, δε δίστασε να υψώσει το ανάστημά του και κατά του ναζισμού. Ως καθηγητής στη ναζιστική Γερμανία του Χίτλερ έκανε λευκή απεργία αλλά κανείς δεν τόλμησε να τον ενοχλήσει ή να τον συλλάβει καθώς οι ναζί φοβούνταν τη διεθνή κατακραυγή.

Πέθανε σε ηλικία 77 ετών στο Μόναχο το οποίο δεν εγκατέλειψε ούτε κατά τη διάρκεια του πολέμου. Μέχρι το τέλος της ζωής δεν σταμάτησε να μελετά και να ασχολείται με τη μεγάλη του αγάπη, τα μαθηματικά.

 

ΚΟΡΥΦΗ

Η προπαίδεια στην... πυρά  

«Οι δυσκολίες των παιδιών στα μαθηματικά οφείλονται σε κακή εκκίνηση»

Πύργοι και πιόνια κάνουν ρουά ματ στα Μαθηματικά

Η τελευταία λέξη του Αρχιμήδη  IΩΑΝΝΑ ΣΟΥΦΛΕΡΗ

Η ΑΝΑΓΕΝΝΗΣΗ ΤΟΥ ΑΡΧΙΜΗΔΗ Επιμέλεια: Γιάννης Χριστιανίδης Εκδόσεις Νεφέλη, 2011, σελ. 216, τιμή 18,50

Πώς ένα μεσαιωνικό βιβλίο του 10ου αιώνα ανατρέπει παγιωμένες απόψεις για τα αρχαία ελληνικά μαθηματικά

Στις 29 Οκτωβρίου του 1998, η δημοπρασία με αριθμό 9058 του οίκου Christie's έφερε το όνομα «Εύρηκα». Οχι τυχαία, το προς δημοπράτηση έργο δεν ήταν τίποτε λιγότερο από τον Παλίμψηστο Κώδικα του Αρχιμήδη, ο οποίος μυστηριωδώς είχε βρεθεί στα χέρια μιας γαλλικής οικογένειας, για λογαριασμό της οποίας γινόταν η δημοπρασία. Η αίθουσα των Christie's ήταν ο τελευταίος σταθμός μιας μακράς και περιπετειώδους πορείας: ο Κώδικας, ένα χειρόγραφο έργο που χρονολογείται από το δεύτερο μισό του 10ου αιώνα, είχε πιθανότατα γραφτεί στην ανθίζουσα τότε Κωνσταντινούπολη. Περιείχε επτά τουλάχιστον έργα του Αρχιμήδη: το «Περί σφαίρας και κυλίνδρου», το «Περί ελίκων», τμήματα από το «Κύκλου μέτρησις» και το «Επιπέδων ισορροπιών», τμήματα από το δεύτερο βιβλίο των «Οχουμένων», τη μέχρι τότε άγνωστη αρχή του «Στομαχίου» και την πραγματεία «Περί των μηχανικών θεωρημάτων, προς Ερατοσθένη έφοδος», η οποία θεωρείται από τα σημαντικότερα έργα του αρχαίου μαθηματικού.

Οι περιπέτειες ενός πολύτιμου κειμένου

Ολα αυτά ως το 1229, χρονολογία κατά την οποία ο Κώδικας μετατράπηκε σε εκκλησιαστικό κείμενο και άρχισε μια διαδρομή από μοναστήρι σε μοναστήρι ως τη μεταφορά του στο Μετόχι του Παναγίου Τάφου στην Κωνσταντινούπολη στα μέσα της δεκαετίας του 1840. Ο τελευταίος άνθρωπος ο οποίος είχε μελετήσει τον Κώδικα ήταν ο δανός ιστορικός των μαθηματικών Χάιμπεργκ. Το έτος 1906, ο Χάιμπεργκ είχε μεταβεί στην Κωνσταντινούπολη και με τη βοήθεια ενός μεγεθυντικού φακού ανέγνωσε ένα μεγάλο μέρος του χειρογράφου, μεταξύ άλλων και την πραγματεία «Περί των μηχανικών θεωρημάτων, προς Ερατοσθένη έφοδος».

Η δημοπράτηση του Κώδικα είχε ως αποτέλεσμα αυτός να περιέλθει στην κατοχή ενός αγνώστου συλλέκτη, ο οποίος κατέβαλε το ποσό των 2.200.050 δολαρίων, και στη συνέχεια να δοθεί προς μελέτη στο Μουσείο Τεχνών Βάλτερς της Βαλτιμόρης. Η ανάγνωσή του με χρήση μέσων υψηλής τεχνολογίας έφερε στο φως τμήματα του Κώδικα που δεν είχε μπορέσει να διαβάσει ο Χάιμπεργκ και ανέτρεψαν ορισμένες από τις απόψεις των ιστορικών της επιστήμης για τον Αρχιμήδη.

Η έννοια του ενεστωτικού απείρου Στο βιβλίο «Η αναγέννηση του Αρχιμήδη» ο αναγνώστης έχει την ευκαιρία να διαβάσει μεταφρασμένα τρία άρθρα τα οποία αφορούν στα ευρήματα της πρόσφατης ανάγνωσης του Κώδικα. Τα άρθρα υπογράφονται από τους ερευνητές οι οποίοι είχαν την εποπτεία της ανάγνωσής του και δημοσιεύτηκαν στην επιστημονική επιθεώρηση Sciamus. Tα δύο πρώτα (στην ουσία πρόκειται για ένα και το αυτό άρθρο το οποίο δημοσιεύτηκε σε δύο μέρη) αφορούν την ανάγνωση της πρότασης 14 της πραγματείας «Περί των μηχανικών θεωρημάτων, προς Ερατοσθένη έφοδος», την οποία ο Χάιμπεργκ δεν είχε καταφέρει να διαβάσει πλήρως. Η ανάγνωση της προτάσεως αυτής, η οποία εντάσσεται στην ίδια ενότητα με τις προτάσεις 12, 13 και 15 και πραγματεύεται την εύρεση του όγκου μιας μορφής κυλινδρικού τμήματος, οδήγησε σε μια αναπάντεχη ανακάλυψη. Ο Αρχιμήδης αποφαίνεται ότι τέσσερα άπειρα σύνολα είναι «πλήθει ίσα» μεταξύ τους. Οπως εξήγησε μιλώντας στο «ΒήμαScience» ο επιμελητής του βιβλίου, αναπληρωτής καθηγητής της Ιστορίας των Μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο Αθηνών κ. Γ. Χριστιανίδης, «η επικρατούσα άποψη για τους αρχαίους έλληνες μαθηματικούς διαμορφώθηκε από τη μελέτη των κειμένων του Αριστοτέλη, ο οποίος αποφεύγει τη χρήση των ενεστωτικών απείρων. Το γεγονός όμως ότι ο Αρχιμήδης είναι εξοικειωμένος με τα ενεστωτικά άπειρα, όπως προκύπτει από τη διατύπωση της πρότασης 14, υποχρεώνει την επιστημονική κοινότητα να επαναπροσδιορίσει τις απόψεις της για τη θεώρηση του απείρου στην αρχαία ελληνική σκέψη». Το τρίτο άρθρο αφορά την ανάγνωση του «Στομαχίου» το οποίο τοποθετείται πια στο σωστό εννοιολογικό πλαίσιο. (βλ., ένθετο)

Μέθοδοι τετραγωνισμού Τον κύριο όγκο των τριών άρθρων του βιβλίου ντύνουν τέσσερα ακόμη κεφάλαια: προηγείται το εισαγωγικό σημείωμα του επιμελητή της έκδοσης, ένα κείμενο που βοηθά τον μη ειδήμονα να αντιληφθεί την ουσία των ευρημάτων της ανάγνωσης του Κώδικα και πώς αυτά αλλάζουν τη θεώρηση των επιστημόνων για τα αρχαία ελληνικά μαθηματικά. Επονται ένα άρθρο που συνυπογράφεται από τον κ. Χριστιανίδη και τον κ. Α. Δέμη και αφορά τις μεθόδους τετραγωνισμού του Αρχιμήδη, ένα επίμετρο στο οποίο μπορεί κάποιος να διαβάσει τόσο στην αρχαία ελληνική όσο και μεταφρασμένο το πλήρες κείμενο της πρότασης 14, καθώς επίσης και δύο παραρτήματα: το πρώτο είναι μία επιστολή του Οκτωβρίου του 1998 που υπογράφεται από οκτώ διδάσκοντες του Τμήματος Μεθοδολογίας, Ιστορίας και Θεωρίας της Επιστήμης προς το υπουργείο Πολιτισμού με την πρόταση να τεθεί το εν λόγω υπουργείο επικεφαλής της προσπάθειας επιστροφής του Κώδικα στη χώρα μας ως «αυθεντικό κομμάτι της πολιτισμικής μας κληρονομιάς» και το δεύτερο η απάντηση του υπουργείου που υπογράφεται από τον τότε υπουργό Πολιτισμού κ. Ευάγγελο Βενιζέλο.

Από τα παραπάνω θα μπορούσε κάποιος να συμπεράνει λανθασμένα ότι το βιβλίο δεν αφορά παρά μόνον τους μαθηματικούς (οι οποίοι προφανώς και θα πρέπει να διαβάσουν το εξαιρετικά προσεγμένο και καλαίσθητο προϊόν των εκδόσεων Νεφέλη). Ωστόσο, ακόμη και αν τα μαθηματικά δεν είναι το δυνατό σημείο σας, αξίζει τον κόπο να διαβάσετε αυτό το βιβλίο που περιέχει ένα κόσμημα της αρχαίας ελληνικής σκέψης (την πρόταση 14), αλλά και στοιχεία της σύγχρονης ιστορίας μας (τα δύο παραρτήματα).  

ΛΥΣΗ ΣΤΟ ΜΥΣΤΗΡΙΟ ΤΟΥ «ΣΤΟΜΑΧΙΟΥ» Το «Στομάχιον» δεν είναι από τα διασημότερα έργα του Αρχιμήδη. Στην ύπαρξη ενός αρχικού αποσπάσματος που σωζόταν στην αραβική είχε προστεθεί ένα ακόμη από τον Χάιμπεργκ. Το μικρό μέγεθος όμως των αποσπασμάτων δεν ήταν αρκετό για να εξαχθεί ασφαλές συμπέρασμα ως προς το αντικείμενο της πραγματείας, η οποία σχεδόν είχε αγνοηθεί από τους μελετητές. Το σχήμα δε που τη συνόδευε αντί να βοηθήσει στην κατανόηση του περιεχομένου της οδήγησε σε μια παρεξήγηση. Θεωρήθηκε ότι τα 14 επίπεδα σχήματα που εμπεριέχονται στο τετράγωνο θα μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν για τη δημιουργία εικόνων (π.χ. ζώων, πουλιών), κάτι σαν το κινεζικό παιχνίδι τανγκράμ. Οπως όμως επισημαίνει ο κ. Χριστιανίδης: «Ηταν δύσκολο η άποψη αυτή να γίνει αποδεκτή. Ενας μαθηματικός του διαμετρήματος του Αρχιμήδη να γράφει πραγματεία για ένα παιδικό παιχνίδι; Προφανώς μια άλλη εξήγηση θα έπρεπε να αναζητηθεί».  

Η πρόσφατη ανάγνωση του παλίμψηστου έδωσε όντως την εξήγηση: αποκαλύπτοντας σε κομβικό σημείο του κειμένου τη λέξη «πλήθος» επέτρεψε στους επιστήμονες να αντιληφθούν ότι το ζητούμενο δεν ήταν η χρήση των 14 επιπέδων σχημάτων για τη δημιουργία διαφορετικών εικόνων, αλλά το με πόσους διαφορετικούς συνδυασμούς των εν λόγω σχημάτων θα μπορούσαμε να ξαναδημιουργήσουμε το τετράγωνο. Αναζητώντας το πλήθος των διαφορετικών συνδυασμών (η απάντηση είναι 536!), ο Αρχιμήδης έθεσε τις βάσεις της συνδυαστικής, ενός πεδίου των μαθηματικών που εθεωρείτο πολύ πιο πρόσφατο. Σύμφωνα με τον κ. Χριστιανίδη: «Η άποψη ότι η συνδυαστική είναι ένα πεδίο που αναδύθηκε όψιμα στην ιστορία των μαθηματικών ανατράπηκε τα τελευταία χρόνια με μια σειρά από δημοσιεύσεις. Η συνδυαστική ήταν ένα υπαρκτό πεδίο έρευνας για τους αρχαίους έλληνες μαθηματικούς και η ερμηνεία του «Στομαχίου» μέσα στο διανοητικό πλαίσιο αυτής της δραστηριότητας δεν είναι μόνον πιθανή, αλλά και πειστική».

 

 ΚΟΡΥΦΗ

Ο Άλαν Τιούρινγκ είχε δίκιο για τους ηλιόσπορους Βαγγέλης Πρατικάκης 

Ο «πατέρας» της πληροφορικής φαίνεται ότι είχε διατυπώσει σωστά τη μαθηματική περιγραφή για τους σπόρους του Ο Άλαν Τιούρινγκ, ο ιδιοφυής πατέρας της πληροφορικής με την άτυχη προσωπική ζωή, φαίνεται ότι είχε διατυπώσει σωστά τη μαθηματική περιγραφή για τους σπόρους του ηλιοτρόπιου -αυτό τουλάχιστον δείχνει ένα πείραμα με τη συμμετοχή εκατοντάδων υπομονετικών εθελοντών. Όπως ανακοίνωσαν οι υπεύθυνοι του πειράματος στο Φεστιβάλ Επιστήμης του Μάντσεστερ, οι σπείρες που σχηματίζουν οι ηλιόσποροι πάνω στο φυτό ακολουθούν το λεγόμενο κώδικα Φιμπονάτσι: μια αριθμητική ακολουθία στην οποία κάθε αριθμός ισούται με το άθροισμα των δύο προηγούμενων: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 κ.ο.κ.
Το πείραμα Εκατοντάδες εθελοντές δέχθηκαν να συμμετάσχουν στο πρόγραμμα «Τα Ηλιοτρόπια του Τιούρινγκ», του οποίου ο δικτυακός τόπος ζητά από το κοινό να καλλιεργήσει ηλιοτρόπια και να μετρήσει τις σπείρες που σχηματίζουν οι σπόροι δεξιόστροφα και αριστερόστροφα.
Τα αποτελέσματα δεν έχουν ακόμα υποβληθεί για έλεγχο και επιστημονική δημοσίευση, δείχνουν όμως να επιβεβαιώνουν τον Τιούρινγκ.Όπως αναφέρει από το φεστιβάλ στο Μάντσεστερ η Έιμι Φρίμπορν του Yahoo UK!, η ανάλυση των μετρήσεων σε 557 ηλιοτρόπια σε επτά χώρες δείχνει ότι ο κώδικας Φιμπονάτσι εμφανίζεται στο 82% των περιπτώσεων. Το ενδιαφέρον είναι ότι σε 26 ηλιοτρόπια παρατηρήθηκαν διπλές αλληλουχίες Φιμπονάτσι, και 33 άλλες περιπτώσεις εμφάνιζαν την αλληλουχία Λούκας. Η αλληλουχία αυτή είναι παρόμοια με του Φιμπονάτσι,  με την έννοια ότι κάθε αριθμός είναι άθροισμα των δύο προηγούμενων, ωστόσο ξεκινάει ως 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29 κ.ο.κ. Το ανορθόδοξο ανοιχτό πείραμα διοργανώθηκε από το Φεστιβάλ Επιστήμης του Μάντσεστερ και το Μουσείο Επιστήμης και Βιομηχανίας του Μάντσεστερ, προκειμένου να τιμήσουν τον ένα αιώνα από τη γέννηση του Τιούρινγκ.
Παρεξηγμένη ιδιοφυΐα Ως ο κρυπτογράφος που έσπασε τον κώδικα των μηχανών Enigma που χρησιμοποιούσαν οι Γερμανοί για τις επικοινωνίες τους, ο Τιούρινγκ πιθανότατα βοήθησε να τελειώσει νωρίτερα ο Β' Παγκόσμιος Πόλεμος. Θεωρείται επίσης πατέρας της επιστήμης των υπολογιστών και επινόησε το λεγόμενο τεστ του Τιούρινγκ, με βάση το οποίο θα μπορούσε κανείς να κρίνει αν ένας υπολογιστής διαθέτει ανθρώπινη νοημοσύνη. Η ζωή του όμως πήρε τραγική τροπή όταν κατηγορήθηκε για προσβολή της δημόσιας αιδούς, λόγω της ομοφυλοφιλίας του, και υπέμεινε μια αγωγή «χημικού ευνουχισμού». Δύο χρόνια αργότερα, το 1954, έθεσε μόνος του τέρμα στη ζωή του. Τώρα, χιλιάδες άνθρωποι σε όλο τον κόσμο βοηθούν να αποκατασταθεί η τιμή του και να αναγνωριστεί η ιδιοφυΐα που εντόπισε τη μαθηματική αρμονία της φύσης. «Αποδείξαμε αυτό που ο Άλαν Τιούρινγκ παρατήρησε καθώς κοιτούσε μερικά ηλιοτρόπια στον κήπο του στο Ουίλμσλοου» σχολίασε ο Tζον Σουίντον, καθηγητής υπολογιστικής βιολογίας στο Μάντσεστερ. Ο τελευταίος επιστήμονας που είχε μελετήσει τη φυλλοταξία του ηλιοτρόπιου, δηλαδή τη μαθηματική περιγραφή του άνθους του, ήταν ο Ολλανδός ακαδημαϊκός Τζ. Σουτ το 1938.

 

ΚΟΡΥΦΗ

Υπατία
Ελληνίδα νεοπλατωνική φιλόσοφος, αστρονόμος και μαθηματικός. Έζησε και δίδαξε στην Αλεξάνδρεια της Ρωμαϊκής (Βυζαντινής) Αιγύπτου, όπου και δολοφονήθηκε από όχλο φανατικών χριστιανών. Θεωρείται η πρώτη γυναίκα που διακρίθηκε στα μαθηματικά.

Η Υπατία γεννήθηκε στην Αλεξάνδρεια το 370 και ήταν κόρη του μαθηματικού και αστρονόμου Θέωνα του Αλεξανδρέως (335-405). Έλαβε πολύ καλή εκπαίδευση στην Αθήνα και στην Ιταλία. Στην Αθήνα παρακολούθησε μαθήματα στη νεοπλατωνική σχολή του Πλούταρχου του Νεότερου και της κόρης του Ασκληπιγένειας, ενώ μαθήτευσε και κοντά στο Πρόκλο και τον Ιεροκλή.

Μετά την επιστροφή της στην Αλεξάνδρεια ανέλαβε την εκεί σχολή των Πλατωνιστών, που ακολουθούσε τη διδασκαλία του Πλωτίνου, ενός από τους πρώτους νεοπλατωνιστές φιλοσόφους. Η ευγλωττία της Υπατίας, η σπάνια μετριοφροσύνη της και η ομορφιά της, σε συνδυασμό με τα αξιοσημείωτα πνευματικά της χαρίσματα, προσέλκυσαν μεγάλο αριθμό μαθητών. Ανάμεσά τους ήταν και ο Συνέσιος ο Κυρηναίος, ο μετέπειτα επίσκοπος Πτολεμαΐδος, του οποίου σώζονται πολλές επιστολές απευθυνόμενες προς αυτήν.

Η Υπατία αποτελούσε σύμβολο της μάθησης και της επιστήμης, οι οποίες την εποχή εκείνη ταυτίζονταν ευρέως από τους πρώτους Χριστιανούς με την ειδωλολατρία. Έτσι, υπήρξε το επίκεντρο της έντασης μεταξύ χριστιανών και εθνικών (μη χριστιανών), οι οποίες ταλαιπώρησαν αρκετά την Αλεξάνδρεια εκείνη την περίοδο.

Μετά την άνοδο του Κυρίλλου στον πατριαρχικό θρόνο της Αλεξανδρείας το 412, η Υπατία βρέθηκε στο στόχαστρο του πατριάρχη, εξαιτίας της σχέσης της με τον Ορέστη, τον έπαρχο της πόλης, που ήταν ειδωλολάτρης, όπως αναφέρει στο έργο του Εκκλησιαστική Ιστορία ο ιστορικός Σωκράτης ο Σχολαστικός. Στις 8 Μαρτίου του 415 δολοφονήθηκε με χαρακτηριστική αγριότητα (με διαμελισμό) από μια ομάδα φανατισμένων χριστιανών, που την αποτελούσαν μοναχοί και οπαδοί του Κυρίλλου. Ανεξάρτητα από το ακριβές κίνητρο της δολοφονίας της, η φυγή πολλών λογίων αμέσως μετά το γεγονός σήμανε την αρχή του μαρασμού της Αλεξάνδρειας ως πνευματικού κέντρου.

Σύμφωνα με το λεξικό του Σούδα ή Σουίδα (βυζαντινή εγκυκλοπαίδεια), η Υπατία έγραψε σχόλια στην Αριθμητική του Διόφαντου του Αλεξανδρέως, στα Κωνικά του Απολλώνιου από την Πέργη, και στον αστρονομικό κανόνα του Πτολεμαίου (Αλμαγέστη). Αυτά τα έργα της χάθηκαν, αλλά οι τίτλοι τους, σε συνδυασμό με τις επιστολές του Συνέσιου, ο οποίος τη συμβουλευόταν για την κατασκευή του Αστρολάβου, δείχνουν ότι είχε αφιερωθεί ιδιαίτερα στην αστρονομία και τα μαθηματικά.

Η ύπαρξη αυστηρά φιλοσοφικών έργων της μας είναι άγνωστη. Η φιλοσοφία της, περισσότερο λόγια και επιστημονική ως προς τη φύση της και λιγότερο απόκρυφη, αποτέλεσε την πεμπτουσία του Αλεξανδρινού Νεοπλατωνισμού. Η συνεισφορά της στην επιστήμη -αμφισβητούμενη πάντως- περιλαμβάνει τη χαρτογράφηση ουράνιων σωμάτων και την ανακάλυψη του αραιόμετρου ή πυκνόμετρου, ενός ειδικού οργάνου που προσδιορίζει την πυκνότητα των διαφόρων υγρών.

Σχετικά

Ο αστεροειδής 238 Υπατία, που ανακαλύφθηκε το 1884, πήρε το όνομά του από την ιστορική αυτή μορφή.

Η Υπατία επανήλθε στο προσκήνιο το 2009, μέσα από την ταινία του ισπανο-χιλιανού σκηνοθέτη Αλεχάντρο Αμενάμπαρ Αγορά (Agora, ο πρωτότυπος τίτλος), η οποία επικεντρώνεται στα τελευταία χρόνια της ζωής της. Την υποδύθηκε η αγγλίδα ηθοποιός Ρέιτσελ Βάις.

 

ΥΠΑΤΙΑ-Η ΕΛΛΗΝΙΔΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΚΟΡΥΦΗ

Το Κρητικόπουλο που έλυσε το γρίφο του Τζον Νας

Ο Κωνσταντίνος Δασκαλάκης είναι ένας από τους πιο έξυπνους ανθρώπους πάνω στη Γη σήμερα, από τα πλέον φωτεινά και αναλυτικά μυαλά, ο Αϊνστάιν της εποχής μας. Στην ηλικία μόλις των 27 ετών διορίστηκε Αναπληρωτής Καθηγητής του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Επιστήμης Υπολογιστών του Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μασαχουσέτης γνωστό ευρύτερα ως Μ.Ι.Τ, ενώ σήμερα στα 30 του έχει ήδη μία παγκοσμίου βεληνεκούς αναγνώριση καθότι κατόρθωσε να λύσει τον γρίφο του Τζον Φορμπς Νας (John Forbes Nash) που απασχολούσε τους επιστήμονες για 60 και πλέον χρόνια.
Γεννήθηκε και μεγάλωσε στην Αθήνα, οι ρίζες του όμως κρατούν από την Κρήτη όπως μαρτυρεί και το επώνυμό του. Ο πατέρας  του ΠΕΡΙΚΛΗΣ είναι από τις Βουκολιές Χανίων και η μητέρα του, ΣΟΦΙΑ ΑΓΑΠΟΥΛΑΚΗ , από την Ιεράπετρα. Είναι απόφοιτος του Εθνικού Μετσοβίου Πολυτεχνείου και στη συνέχεια έκανε μεταπτυχιακές σπουδές επί διδακτορία στο Πανεπιστήμιο του Μπέρκλεϊ.
Ο Κωνσταντίνος ή Κωστής, όπως φαίνεται να το προτιμά, Δασκαλάκης, είναι ένας άνθρωπος προσηνής, ευχάριστος, προσγειωμένος, χωρίς υπεροψίες και βεντετισμούς λόγω του ιλιγγιώδους ανεβάσματός του τόσο ψηλά και σε τόσο νέα ηλικία. Αν δεν γνωρίζει κάποιος ποιος είναι τον εκλαμβάνει ως φοιτητή. «Δεν με ενοχλεί», είπε σε συνέντευξή του στον «Ε.Κ.» και πρόσθεσε «με κολακεύει κιόλας να με περνούν για φοιτητή». Αλλωστε, μοιάζει κιόλας, είναι ένας άνθρωπος μ’ ένα πολύ μεγάλο μυαλό το οποίο κάνει τα μαθηματικά και τις εξισώσεις, τους υπολογιστές και τα προγράμματα και χορεύουν μπροστά του.
Οταν τον ρωτήσαμε τι ήταν αυτό που τον προσέλκυσε στην Πληροφορική και στην επιστήμη των Ηλεκτρονικών Υπολογιστών, είπε, πως «στην εποχή μας συλλέγουμε πολλά δεδομένα: από την αποκρυπτογράφηση του γονιδιώματός μας, ή το αποτύπωμα που αφήνει η δραστηριότητα μας στο Ιντερνετ, όπως το ποιες σελίδες διαβάζουμε και τι κάνουμε στα κοινωνικά δίκτυα. Πρόκειται για έναν τρομακτικό όγκο δεδομένων που αλλάζουν τελείως το πώς μοιάζει η καινοτομία στις επιστήμες. Δεν μπορούμε πλέον να επεξεργαστούμε τα δεδομένα με γυμνό μάτι, αλλά πρέπει με κάποιο τρόπο να τα δαμάσουμε». Συμπλήρωσε πως «η Αυστραλία και η Νέα Ζηλανδία σχεδιάζουν ένα τηλεσκόπιο το οποίο κάθε μέρα θα μαζεύει από το Διάστημα, από παρατηρήσεις του ουρανού, δεδομένα που ισούνται με δύο φορές την κίνηση δεδομένων σε όλο το Ιντερνετ σε μία ημέρα. Για να καταλάβουμε τι περιέχουν αυτές οι εικόνες πρέπει κάπως να τις επεξεργασθούμε, αλλά αυτό δεν γίνεται λόγω του όγκου με γυμνό μάτι. Χρειαζόμαστε την επιστήμη που μπορεί και δαμάζει μεγάλες ποσότητες πληροφορίας κι αυτή είναι η Πληροφορική».
– Πώς τη δαμάζετε την πληροφορία; Είπε ότι «τη δαμάζουμε με αυτά που λέγονται αλγόριθμοι. Αλγόριθμος είναι ένας έξυπνος τρόπος να κοιτάς πολλά δεδομένα και να καταλαβαίνεις ποια κομμάτια αυτής της πληροφορίας είναι αξιόλογα και κρύβουν κάποιο νόημα για την εφαρμογή η οποία σε ενδιαφέρει. Αν η εφαρμογή είναι βιολογική, παραδείγματος χάριν, θα κρύβουν κάτι χρήσιμο για τη λειτουργία ενός οργανισμού».
Αναφορικά με τη διαδικασία επεξεργασίας της πληροφορίας, είπε ότι «όταν σχεδιάζω έναν αλγόριθμο πρέπει πρώτα να αποδείξω με μαθηματικά στοιχεία για τη συμπεριφορά του. Αν η συμπεριφορά του είναι επαρκής για να διαχειριστεί τον όγκο των δεδομένων που θα συναντήσει και να βρει ενδιαφέροντα πράγματα, τότε θα πάω στον υπολογιστή μου για να τον υλοποιήσω σε κάποια γλώσσα προγραμματισμού και να τον δώσω σε άλλους επιστήμονες, ή να το χρησιμοποιήσω ο ίδιος». Εξήγησε ακόμα, πως «υπάρχουν δύο στάδια, ο σχεδιασμός του αλγορίθμου, που γίνεται στο μυαλό μας ή στον πίνακα, και η υλοποίησή του που γίνεται στον υπολογιστή».
– Στα 27ά σας χρόνια γίνατε διάσημος για τη λύση του γρίφου του Νομπελίστα Nash, ο οποίος είχε παραμείνει μυστήριο επί αρκετά χρόνια. Σας παρακαλώ εξηγήστε μας τι ήταν αυτός ο γρίφος και πώς εσείς τον λύσατε;
«Κατ’ αρχάς -απάντησε ο κ. Δασκαλάκης- να πω ότι δεν πρόκειται για κάποιο γρίφο που έθεσε ο Nash, αλλά για ένα γρίφο που προέκυψε από τη δουλειά του Nash, ο οποίος το 1950 απέδειξε ένα σημαντικό μαθηματικό θεώρημα το οποίο προσπαθεί να χαρακτηρίσει τι περιμένουμε να γίνει σε αυτά που στα οικονομικά ονομάζονται παίγνια» και εξήγησε πως «παίγνιο είναι ένα μαθηματικό μοντέλο μιας σύγκρουσης μεταξύ ανθρώπων. Μπορεί να είναι λόγου χάριν το πόκερ, αλλά και ολόκληρη η Αγορά ή μια δημοπρασία. Σε κάθε παίγνιο έχουμε πολλούς ανθρώπους, ο καθένας με ένα δικό του σκοπό που θέλει να βελτιστοποιήσει. Ωστόσο, η βελτιστοποίηση του ενός επηρεάζει τη βελτιστοποίηση του άλλου και εκεί μπλέκει το πράγμα. Σκεφθείτε μια επιτροπή που προσπαθεί να λάβει μία απόφαση. Το κάθε μέλος της επιτροπής έχει τους δικούς του σκοπούς, π.χ. ο ένας μπορεί να θέλει νοσοκομείο, ο άλλος πάρκο, ένας τρίτος το νοσοκομείο να είναι πιο κοντά σε κάποια περιοχή, κ.ο.κ. Ο καθένας έχει ιδιαίτερους σκοπούς που θέλει να επιτύχει, ωστόσο πρέπει να ληφθεί μια κοινή απόφαση. Συνεπώς ο καθένας με στρατηγικό τρόπο θα προσπαθήσει να σπρώξει την απόφαση προς την κατεύθυνση που τον συμφέρει. Τα παίγνια προσπαθούν να μοντελοποιήσουν τέτοιες στρατηγικές αλληλεπιδράσεις. Ο Nash, λοιπόν, προσπάθησε να καταλάβει αν μπορούμε να προβλέψουμε τι θα γίνει σε μια σύγκρουση πριν αυτή λάβει χώρα. Εδωσε λοιπόν έναν κομψό μαθηματικό ορισμό, που τώρα ονομάζεται ισορροπία Nash, για το τι πρόκειται να συμβεί σ’ ένα παίγνιο ανάλογα με τα χαρακτηριστικά του. Ωστόσο, δεν μας έδωσε αλγόριθμο που να βρίσκει το τι μέλλει να γίνει. Δηλαδή ο Nash έδωσε μια μαθηματική εικασία για το τι γίνεται στα παίγνια, αλλά δεν έδωσε υπολογιστικό εργαλείο με το οποίο να μπορούμε να προβλέπουμε εκ των προτέρων τι πρόκειται να γίνει. Από το 1950 λοιπόν που ο Nash έδειξε το θεώρημά του, προσπαθούσαν οι οικονομολόγοι να βρουν ένα αλγόριθμο υπολογισμού ισορροπιών Nash. Αυτό που εμείς αποδείξαμε είναι κάτι που μάλλον δεν περίμενε η επιστημονική κοινότητα. Οτι τέτοιος αλγόριθμος δεν υπάρχει!».
Ο καθηγητής Δασκαλάκης τόνισε πως «για κάποιον εγγενή λόγο που έχει να κάνει με τη δομή των μαθηματικών δεν πρόκειται ποτέ να βρούμε αλγόριθμο που να προβλέπει τι θα γίνει σε μία σύγκρουση» και συμπλήρωσε πως «όσο κι αν ψάξει κανείς ποτέ δεν θα βρεθεί τέτοιος αλγόριθμος, οπότε η ισορροπία Nash είναι το λάθος εργαλείο για να μελετά κανείς ένα παίγνιο».
Πώς είναι δυνατόν να βρεθεί ένα αλγόριθμος ο οποίος να μπορεί να προβλέψει τον ανθρώπινο νου ή πώς θα διανύσει η ανθρώπινη διάνοια τις διάφορες εκβάσεις και εκφάνσεις μιας συζήτησης; Ο καθηγητής Δασκαλάκης, είπε: «σωστά, πολύ σωστά, υπάρχει αυτό το φιλοσοφικό και συμπεριφορικό ερώτημα που θέτετε εσείς, που ρωτάει πώς μπορούν τα μαθηματικά να προβλέψουν τι γίνεται στο μυαλό μας και πώς αλληλεπιδρούμε με στρατηγικό τρόπο με άλλους παίκτες. Αυτό που λέμε εμείς είναι ότι ακόμα κι όλες αυτές οι παράμετροι να είχαν μπει στη μοντελοποίηση ενός παιχνιδιού, ακόμα και τότε δεν θα ήταν δυνατόν να υπάρξει πρόβλεψη». Σημείωσε ακόμα, ότι «με τις σημερινές γνώσεις που έχομε στη νευροεπιστήμη δεν καταλαβαίνουμε πώς λειτουργεί ο εγκέφαλος, αλλά δεν αποκλείεται στο μέλλον να μπορούμε να καταλάβουμε το τι γίνεται μέσα σ’ ένα μυαλό». Και συμπλήρωσε ότι «για τα άλλα όργανα ξέρουμε σε ικανοποιητικό βαθμό το τι συμβαίνει, όπως για την καρδιά λόγου χάριν. Βέβαια η καρδιά είναι ένα απλό υδραυλικό σύστημα. Δεν είναι σαν τον εγκέφαλο…».
Ανέφερε ακόμη, ότι «οι αλγόριθμοι προσπαθούν να υποκαταστήσουν κάποιες λειτουργίες που μπορεί να κάνει ο νους αλλά θα του έπαιρναν πολύ χρόνο ή ενέργεια» και τόνισε πως «δεν είμαστε στο σημείο που μπορούμε να υποκαταστήσουμε τον άνθρωπο σε όλα τα πράγματα».
Υπάρχει σήμερα κάτι ή κάποια πράγματα που δεν μπορείτε να προσδιορίσετε με τους αλγόριθμους και τα μαθηματικά; Είπε «ναι, υπάρχουν πολλά πράγματα. Τα περισσότερα δεν τα καταλαβαίνουμε, αλλά αυτός είναι και ο λόγος που έχει ενδιαφέρον αυτό που κάνουμε».
Βρίσκεστε κάποιες φορές σε εκστατικές και εκπληκτικές στάσεις και να λέτε πώς γίνεται αυτό ή εκείνο; Ο κορυφαίος επιστήμονας Κωνσταντίνος Δασκαλάκης ανέφερε: «πολλές φορές, αλλά δυστυχώς τις περισσότερες από αυτές δεν μπορώ να τις περιγράψω ούτως ώστε να τις καταλάβει κάποιος ο οποίος δεν ασχολείται με τα προβλήματα με τα οποία ασχολούμαι» και συμπλήρωσε πως «τις περισσότερες στιγμές έκστασης θα τις νιώσω εγώ και οι μαθητές μου που δουλεύομε σ’ ένα πρόβλημα, σε μερικές περιπτώσεις μία μεγαλύτερη κοινότητα, και σε πολύ λίγες περιπτώσεις όλος ο κόσμος».
Πώς σας αντιμετώπισαν και αντιμετωπίζουν οι μεγαλύτεροι ηλικιακά καθηγητές στο ΜΙΤ λόγω της νεανικότητάς σας; «Με αντιμετωπίζουν ίσος προς ίσον, με τον σεβασμό που έχει ο πιο νέος προς τον μεγαλύτερο και με τον θαυμασμό που έχει ο μεγαλύτερος προς τον μικρότερο για τη φρεσκάδα του νου», απάντησε.
Αν αισθάνονται άνετα μαζί ή τον βλέπουν ως απειλή, είπε «όχι σε περιβάλλοντα σαν και το δικό μας δεν υπάρχουν τέτοια θέματα» και πρόσθεσε «το αντίθετο, χαίρονται! Οταν προσλαμβάνουν έναν νεαρό καθηγητή είναι γι’ αυτούς ένα στοίχημα να πετύχει, και αποτυχία αν δεν πάει καλά η δουλειά του».
Θεωρεί πιθανό να αδρανοποιηθεί το Ιντερνετ για κάποιο διάστημα μιας μέρας ή μιας εβδομάδας; «Θα είναι ενδιαφέρον να δούμε πώς θα είναι ο κόσμος χωρίς Ιντερνετ», τόνισε.
Δεν θεωρεί πιθανό «στα επόμενα εκατό χρόνια οι ηλεκτρονικοί υπολογιστές να υποκαταστήσουν ολότελα τον άνθρωπο».
Αυτή τη στιγμή, η έρευνά του στρέφεται προς τις Αγορές του Ιντερνετ. «Μια τεράστια οικονομική δραστηριότητα αρχίζει από τη στιγμή που πηγαίνετε στο Google και ψάχνετε κάτι. Αυτά που θα σας επιστρέψει το Google στην κύρια στήλη των αποτελεσμάτων είναι τα οργανικά αποτελέσματα της αναζήτησής σας. Στη δεξιά στήλη, όμως, σας δείχνει και κάποια άλλα αποτελέσματα που είναι διαφημίσεις. Κι αυτοί που διαφημίζονται εκεί πληρώνουν. Ο τρόπος που αποφασίζει το Google ποιες διαφημίσεις θα δείξει και με ποια σειρά, αποφασίζεται από μια δημοπρασία. Οι διαφημιστές που βλέπετε έχουν ποντάρουν χρήματα για τα δικά σας δημογραφικά χαρακτηριστικά και κέρδισαν αυτή τη δημοπρασία γι’ αυτό και τους βλέπετε. Οι δημοπρασίες αυτές βγάζουν δισεκατομμύρια δολάρια τον χρόνο» και πρόσθεσε «αυτό που προσπαθώ να κάνω τώρα είναι να βρω τους αλγορίθμους οι οποίοι θα καθορίσουν αυτήν και άλλες αγορές που τρέχουν στο Ιντερνετ». Είναι σε καλό δρόμο η έρευνα του, και είπε, πως «τα δύο τελευταία χρόνια ήταν πολύ παραγωγικά και με τους μαθητές μου κατορθώσαμε να γενικεύσουμε ένα θεώρημα του Myerson, ο οποίος είχε δουλέψει σε δημοπρασίες στη δεκαετία του 1980 και πήρε πριν 5 χρόνια το βραβείο Νόμπελ στα οικονομικά γι’ αυτή τη δουλειά του».
Εχει πέντε διδακτορικούς φοιτητές, ο ένας εκ των οποίων είναι εξ’ Ελλάδος, και φυσικά διδάσκει και σε κανονικά μαθήματα.
Νοσταλγεί την Ελλάδα. Είπε «Ελληνας είμαι, οι δικοί μου είναι εκεί», ενώ αν θα πήγαινε σήμερα να εργαστεί εκεί, είπε «όχι έτσι όπως είναι η κατάσταση σήμερα γιατί δεν θα είμαι χαρούμενος». Και πρόσθεσε: «στενοχωριέμαι γι’ αυτά που συμβαίνουν στην Ελλάδα, αλλά κι από τη θέση που βρίσκομαι προσπαθώ να προσφέρω, να βοηθώ Ελληνες φοιτητές που έχουν όνειρα».

ΚΟΡΥΦΗ

Γκάους, ο πρίγκιπας των Μαθηματικών του Γιώργου Θεοχάρη

Ο Καρλ Φρίντριχ Γκάους (1777-1855), ο επονομαζόμενος Πρίγκιπας των Μαθηματικών, ήταν παιδί-θαύμα. Μια μέρα του 1780, όταν ήταν τριών ετών, καθόταν στο σκαλί της εξώπορτα του πατρικού σπιτιού στο Μπράουνσβαϊκ κι έπαιζε. Μέσα στο σπίτι, ο πατέρας του, ο Γκέμπχαρντ, αρχιτεχνίτης λιθοξόος, πλήρωνε τα μεροκάματα των εργατών του.

«Λοιπόν», έλεγε σ' έναν εργάτη, «έχουμε 34 και 29 και 19 πένες, το όλον... 76». Καμία αντίρρηση από τον εργάτη. Όση αριθμητική ήξερε το αφεντικό του, άλλη τόση (και λιγότερη) ήξερε κι ο ίδιος. Αλλά ο Καρλ είχε άλλη γνώμη. Σηκώθηκε όρθιος και είπε:

«Πατέρα, κάποιο λάθος έχει γίνει. Πρέπει να είναι 82 πένες».

Ο πατέρας του ξαφνιάστηκε (δυσάρεστα), αλλά ξανάκανε την πρόσθεση πιο προσεκτικά. 82 πένες. Είχε δίκιο το νήπιο! Ο Γκέμπχαρντ κοίταξε τον γιο του σκεπτικός. Δεν χαιρόταν με την εξυπνάδα του. Δεν ήταν καιρός να είναι κανείς πολύ έξυπνος. Ποτέ δεν είναι καιρός να είναι κανείς πολύ έξυπνος.

Πέντε χρόνια αργότερα, ο Καρλ πήγαινε στη δευτέρα δημοτικού. Ο δάσκαλός του, ο κύριος Μπίτνερ, είχε να κάνει ζάφτι περίπου 100 μαθητές (αγόρια, εννοείται) και συχνά-πυκνά, για να κρατάει την τάξη, έκανε χρήση τής πολύ πειστικής βέργας του.

Μια μέρα, δύσκολη χωρίς αμφιβολία, είπε να τους βάλει να κάνουν μια εργασία μπελαλίδικη, έτσι ώστε να βρει την ησυχία του.

«Να προσθέσετε όλους τους αριθμούς από το 1 ως το 100. Όποιος τελειώνει να φέρνει την πλάκα του στην έδρα και να τη βάζει ανάποδα», τους είπα και πήγε κι έκαστε σίγουρος ότι για τουλάχιστον μία ώρα είχε γλιτώσει από τους σατανάδες.

Δεν πέρασαν πέντε λεπτά και ο Καρλ σηκώθηκε, πήγε στην έδρα και ακούμπησε εκεί την πλάκα του ανάποδα. Ο κύριος Μπίτνερ συννέφιασε. Ήταν βέβαιος ότι ο μικρός τον δούλευε και του το είπε, αλλά ο Καρλ δήλωσε με σθένος ότι είχε λύσει την άσκηση σωστά. Τον άφησε να γυρίσει στη θέση του, σκεπτόμενος ότι όταν ερχόταν η ώρα θα μιλούσε η βέργα. Από περιέργεια, κρυφοκοίταξε το χαρτάκι με τον αποτέλεσμα που είχε στην τσέπη του: 5.050. Μετά γύρισε την πλάκα του Καρλ: 5.050! Μα πώς;! Και ούτε πράξεις στην πλάκα ούτε τίποτα, μόνο εκείνο το 5.050, σκέτο.

(Ο Γκάους γενικά δεν εξηγούσε λεπτομερώς στις αποδείξεις του το πώς πήγε από το Α στο Β. Ήταν εξαιρετικά λιτός στην εξήγηση των βημάτων. Όταν τον ρωτούσαν γιατί δεν ήταν περισσότερο αναλυτικός, έτσι ώστε να διευκολύνει τους αναγνώστες του, έλεγε: «Όταν οι χτίστες τελειώνουν έναν καθεδρικό ναό, κατεβάζουν τη σκαλωσιά για να φανερωθεί το κτίσμα σε όλο του το μεγαλείο».)

Στο σχόλασμα, ο δάσκαλος κράτησε τον Καρλ και τον ρώτησε:

-«Πώς τα κατάφερες και έκανες την πρόσθεση τόσο γρήγορα;»

-«Δεν έκανα πρόσθεση».

-«Αλλά;»

-«Σκέφτηκα λιγάκι ολόκληρη τη σειρά των αριθμών και βρήκα κάτι ενδιαφέρον. Από τις άκρες προς τα μέσα, τα ζεύγη έδιναν το ίδιο άθροισμα: 1+100=101, 2+99=101, 3+98=101 και τα λοιπά, μέχρι το 50+51=101. Είχα δηλαδή 50 ζεύγη με επιμέρους άθροισμα 101. Αντί να κάνω πρόσθεση, έκανα πολλαπλασιασμό: 50×101=5.050».

Οχτώ χρονών!

Ο κύριος Μπίτνερ τον άφησε να φύγει και αργότερα πήγε και βρήκε τον Γκέμπχαρντ Γκάους για να του πει ότι μεγάλωνε μια ιδιοφυία. Ο γερο-Γκάους δεν εντυπωσιάστηκε γιατί για κείνον μόνο η χειρωνακτική δουλειά είχε νόημα. Τελικά, όμως, ο Καρλ βρήκε τον δρόμο του και, αντί να γίνει λιθοξόος όπως ονειρευόταν ο πατέρας του, έγινε ένας από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς όλων των εποχών.

[Αυτές οι δύο ιστορίες αναφέρονται σχεδόν σε όλες τις βιογραφίες του Γκάους (ενδεικτικά μία ελληνική έκδοση: M.B.W. Tent, «Καρλ Φρίντριχ Γκάους. Ο Πρίγκιπας των Μαθηματικών», μετάφραση: Στάμος Τσιτσώνης, Τραυλός 2007) και σε πολλές εκλαϊκευτικές ιστορίες των μαθηματικών. Δεν είναι βέβαιο ότι έχουν συμβεί στην πραγματικότητα, αλλά αυτό -ως γνωστόν- δεν έχει απολύτως καμία σημασία.]

ΚΟΡΥΦΗ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Το «τανγκό» Φυσικής και Μαθηματικών Βάρβογλης Χάρης  καθηγητής του Τμήματος Φυσικής του ΑΠΘ

Οι δύο επιστήμες «σφιχταγκαλιασμένες» μας οδηγούν στην κατανόηση του κόσμου μας

Τι είναι μια θεωρία της Φυσικής και ποια σχέση έχει με τα Μαθηματικά, που χρησιμοποιούνται στην ποσοτική διατύπωσή της; Το ερώτημα είναι σήμερα ίσως περισσότερο επίκαιρο από ποτέ, μετά την πρόσφατη πειραματική επιβεβαίωση της ύπαρξης του σωματιδίου Χιγκς, αλλά και την επίσης πρόσφατη συζήτηση για τη συμμετοχή του Καραθεοδωρή στη διατύπωση της Θεωρίας της Σχετικότητας. Η σύγχρονη Φυσική μοιάζει σε πολλά σημεία με την επιστήμη των Μαθηματικών, όπως αυτή διαμορφώθηκε από την εποχή του Ευκλείδη ως σήμερα, έχει όμως και μία σημαντικότατη διαφορά. Οι ομοιότητες αναφέρονται στον τρόπο της αξιωματικής θεμελίωσης μιας φυσικής θεωρίας και η διαφορά στο γεγονός ότι στη Φυσική υπάρχει τρόπος να αποδειχθεί ότι μια θεωρία είναι λανθασμένη, ενώ στα Μαθηματικά όχι.

Ο Ευκλείδης και η Γη Η Γεωμετρία του σχολείου είναι μια καλή αρχή για να σχηματίσει κανείς μια σωστή εικόνα σχετικά με το πώς θεμελιώνεται μια ολόκληρη θεωρία - αυτή της Επίπεδης Γεωμετρίας του Ευκλείδη - πάνω σε ορισμένα αξιώματα. Τα αξιώματα είναι προτάσεις που τις δεχόμαστε για αληθινές, επειδή μοιάζουν προφανείς και σωστές, αλλά δεν μπορούμε να τις αποδείξουμε. Με βάση αυτά τα αξιώματα μπορούμε να αποδείξουμε στη συνέχεια θεωρήματα, τα οποία και συγκροτούν τελικά τη συγκεκριμένη μαθηματική θεωρία. Το πιο γνωστό αξίωμα της Γεωμετρίας του Ευκλείδη είναι ότι οι γωνίες ενός τριγώνου έχουν άθροισμα 180 μοίρες. Ωστόσο στην επιφάνεια της Γης αυτό δεν είναι σωστό - επειδή η Γη είναι σφαιρική και όχι επίπεδη. Για παράδειγμα, το άθροισμα των γωνιών του τριγώνου που έχει για κορυφές την Τζακάρτα (πρωτεύουσα της Ινδονησίας), τη Λουάντα (πρωτεύουσα της Ανγκόλας) και τον Βόρειο Πόλο είναι σχεδόν 270 μοίρες! Επομένως η Γεωμετρία του Ευκλείδη, που στηρίζεται, μεταξύ άλλων, και σε αυτό το αξίωμα, δεν είναι σωστή στην επιφάνεια της Γης. Απλά τη χρησιμοποιούμε επειδή είναι απλούστερη από τη σωστή θεωρία και για μικρά τρίγωνα το σφάλμα που προκύπτει δεν είναι αντιληπτό. Προσοχή όμως, αυτό δεν σημαίνει ότι η Γεωμετρία του Ευκλείδη είναι λανθασμένη. Ισχύει ακριβώς στην ιδεατή περίπτωση κατά την οποία ζωγραφίζουμε σχήματα σε μια απόλυτα επίπεδη επιφάνεια. Ανάλογα θεμελιώνονται και οι θεωρίες της Φυσικής, μόνο που τις προτάσεις που μοιάζουν σωστές αλλά δεν μπορούμε να τις αποδείξουμε τις ονομάζουμε συνήθως υποθέσεις ή νόμους και όχι αξιώματα. Υπάρχει όμως και μία βασική διαφορά. Οι μαθηματικοί θέτουν αξιώματα και αποδεικνύουν θεωρήματα για αφηρημένους χώρους και συστήματα, που μπορεί να υπάρχουν ή και να μην υπάρχουν στον κόσμο όπου ζούμε (όπως για παράδειγμα ο επίπεδος χώρος του Ευκλείδη). Αντίθετα, οι φυσικοί διατυπώνουν νόμους που περιγράφουν ακριβώς τον κόσμο όπου ζούμε. Ως συνέπεια αυτού του γεγονότος μια θεωρία της Φυσικής, που στηρίζεται σε μια ορισμένη ομάδα υποθέσεων, μπορεί να ελεγχθεί αν είναι σωστή ή όχι πειραματικά. Αν το πείραμα δεν συμφωνεί με όσα προβλέπει η θεωρία, τότε αποδεικνύεται ότι οι υποθέσεις αυτής της θεωρίας είναι λανθασμένες και τις εγκαταλείπουμε, αναζητώντας άλλες.

Τα μαθηματικά του Χιγκς Μια «κλασική» εφαρμογή της οικοδόμησης μιας φυσικής θεωρίας πάνω σε μια υπόθεση είναι το λεγόμενο καθιερωμένο πρότυπο (standard model) της Φυσικής των στοιχειωδών σωματιδίων. Για να απαντήσει στο ερώτημα «πώς τα διάφορα στοιχειώδη σωματίδια αποκτούν αυτό το χαρακτηριστικό που ονομάζουμε μάζα», ο Πίτερ Χιγκς έκανε το 1964 την υπόθεση ότι υπάρχει ένα σωματίδιο, το πασίγνωστο σήμερα σωματίδιο Χιγκς, το οποίο προσδίδει μάζα στα υπόλοιπα στοιχειώδη σωματίδια. Στη συνέχεια η υπόθεση αυτή, που θα μπορούσε να είναι ή να μην είναι σωστή, αναπτύχθηκε μαθηματικά και κατέληξε στη δημιουργία της θεωρίας του καθιερωμένου προτύπου. Παράλληλα με τη θεωρία του καθιερωμένου προτύπου αναπτύχθηκαν και άλλες θεωρίες για την ερμηνεία της μάζας των σωματιδίων, βασισμένες σε άλλες υποθέσεις. Ποια απ' όλες ήταν η σωστή; Το πείραμα στο CERN έδειξε ότι οι άλλες θεωρίες ήταν λανθασμένες, όχι όμως ότι η θεωρία που βασίζεται στην ύπαρξη του σωματιδίου Χιγκς είναι σωστή! Απλά θα συνεχίσουμε να τη χρησιμοποιούμε, μέχρις ότου κάποιο πείραμα αποδείξει ότι μια από τις υπόλοιπες υποθέσεις της θεωρίας είναι εσφαλμένη ή ότι το σωματίδιο που ανακαλύφθηκε στο CERN δεν είναι το σωματίδιο Χιγκς.

Αϊνστάιν και Πουανκαρέ Ο μαθηματικός Ανρί Πουανκαρέ είχε διατυπώσει έναν μήνα πριν από τον Αϊνστάιν (επάνω) θεωρία που επίσης εξηγούσε το πείραμα των Μάικελσον και Μόρλεϊ. Στην ιστορία έμεινε όμως η θεωρία του Αϊνστάιν λόγω του φυσικού χαρακτήρα της και της οικονομίας των υποθέσεών της.
Στα πανεπιστημιακά μου μαθήματα συνηθίζω να τονίζω τη βασική διαφορά ενός μαθηματικού από έναν φυσικό: ο μαθηματικός προσπαθεί να δημιουργήσει θεωρίες όσο το δυνατόν γενικότερες, ενώ ο φυσικός θέλει να λύσει ένα συγκεκριμένο πρόβλημα. Ενα πολύ καλό παράδειγμα αυτής της διαφοράς είναι και η Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας (ΕΘΣ). Ο Αϊνστάιν διετύπωσε το 1905 αυτή τη θεωρία με σκοπό να ερμηνεύσει τo αποτέλεσμα του πειράματος των Μάικελσον και Μόρλεϊ, ότι δηλαδή η ταχύτητα του φωτός δεν φαίνεται να εξαρτάται από την ταχύτητα της Γης. Εναν μήνα πριν από τη δημοσίευση του
Αϊνστάιν, ο μεγάλος γάλλος μαθηματικός Ανρί Πουανκαρέ είχε δημοσιεύσει μια δική του θεωρία, η οποία ερμήνευε επίσης σωστά αυτό το πειραματικό αποτέλεσμα.

Ωστόσο η θεωρία του Πουανκαρέ βασιζόταν σε τρεις υποθέσεις, ενώ η ΕΘΣ μόνο σε δύο. Επιπλέον, οι δύο υποθέσεις του Αϊνστάιν έχουν έναν γενικό φυσικό χαρακτήρα: (α) οι νόμοι της Φυσικής είναι ίδιοι για όλους τους παρατηρητές που κινούνται ευθύγραμμα και ισοταχώς και (β) το φως διαδίδεται στο κενό με ταχύτητα 300.000 χλμ. το δευτερόλεπτο. Η μαθηματική εφαρμογή αυτών των δύο υποθέσεων έδειξε ότι η θεωρία του Αϊνστάιν είναι ισοδύναμη με αυτήν του Πουανκαρέ, οι υποθέσεις της οποίας όμως είχαν μαθηματικό χαρακτήρα. Για τον φυσικό χαρακτήρα της και την οικονομία των υποθέσεων έμεινε τελικά στην Ιστορία η θεωρία του Αϊνστάιν. Αξίζει να σημειωθεί ότι, 20 χρόνια μετά τη δημοσίευση της ΕΘΣ, το αναλυτικό μυαλό του μαθηματικού Καραθεοδωρή κατάφερε να διατυπώσει ένα μικρότερο σύνολο υποθέσεων από αυτές του Αϊνστάιν, για να καταλήξει σε ένα σύνολο από θεωρίες γενικότερες από την ΕΘΣ. Με άλλα λόγια δημιούργησε μια μαθηματική θεωρία όσο το δυνατόν γενικότερη, από την οποία προκύπτει ότι σε κάποιο άλλο σύμπαν ίσως να ισχύει μια διαφορετική μορφή της ΕΘΣ. Το τι συμβαίνει στο δικό μας Σύμπαν όμως, που είναι το συγκεκριμένο πρόβλημα, περιγράφεται από την ΕΘΣ του Αϊνστάιν, η οποία εν τω μεταξύ έχει επιβεβαιωθεί και με ένα πλήθος πειραμάτων.

 

ΚΟΡΥΦΗ

Πώς η κόντρα 3 μαθηματικών που έκλεβαν ο ένας τον άλλο, οδήγησε σε μια σπουδαία ανακάλυψη 

Είτε λόγω της τεράστιας συμβολής τους στην επίλυση μαθηματικών προβλημάτων, είτε λόγω της φανταστικής τους ιδιότητας, οι μιγαδικοί αριθμοί είναι ευρέως διαδεδομένοι σε όλο το κόσμο...
Ακόμα και άνθρωποι που δεν έχουν καμία σχέση με τον τομέα των μαθηματικών, γνωρίζουν αρκετά καλά τον φανταστικό κόσμο των μιγαδικών, μόνο και μόνο επειδή η μη πραγματική τους ύπαρξη τους δημιουργεί τεράστια εντύπωση.
Είναι λογικό εξάλλου, όταν χρησιμοποιείται κάτι φανταστικό ως μέσο επίλυσης ενός υπαρκτού προβλήματος, να κινεί τις εντυπώσεις και με το παραπάνω. Αν αναλογιστούμε δε ότι η ανακάλυψη των μιγαδικών αριθμών και της φανταστικής μονάδας ολοκληρώθηκε κατά τη διάρκεια του 16ου αιώνα, όπου η επιστήμη των μαθηματικών περνούσε μια βαθύτατη κρίση, τότε αντιλαμβανόμαστε πως πίσω από τη φανταστική μονάδα κρύβεται μια τεράστια ιστορία.
Στην Ευρώπη του 16ου αιώνα, σύσσωμη η επιστημονική κοινότητα έκανε στροφή από τα μαθηματικά στη φυσική. Τα μόνα προβλήματα που απασχολούσαν τότε τους εναπομείναντες ενεργούς μαθηματικούς ήταν ο τετραγωνισμός του κύκλου και η λύση της τριτοβάθμιας εξίσωσης. Το πρώτο πρόβλημα αποδείχτηκε ότι ήταν άλυτο και ότι επιδέχεται μόνο προσεγγιστικές λύσεις, που καθόλου δεν εκπλήσσουν τους θεωρητικούς μαθηματικούς. Το δεύτερο όμως αποδείχτηκε πως ήταν το μέσο ώστε να ανακαλυφτεί ένα σύνολο αριθμών ικανό να αλλάξει κάθε επιστημονικό δεδομένο.
Ο λόγος για τους μιγαδικούς αριθμούς που σήμερα αποτελούν βασικό εργαλείο για τους ερευνητές κάθε είδους. Από τη σύγχρονη κβαντομηχανική φυσική μέχρι και το τομέα της οπτικής, το φανταστικό μέρος των αριθμών είναι απαραίτητο. Ποιοι όμως ήταν αυτοί που σκέφτηκαν πρώτοι να χρησιμοποιήσουν αποκλειστικά τη... φαντασία τους ώστε να δώσουν λύση στο πρόβλημά τους;
Στη προσπάθειά του να λύσει τη τριτοβάθμια εξίσωση, ο Ιταλός μαθηματικός Νικολό Ταρτάλια ήταν ο πρώτος που επινόησε την ύπαρξη ενός διαφορετικού συνόλου αριθμών. Ηταν επίσης ο πρώτος που κατάφερε εν μέρει να δώσει απάντηση στο πρόβλημα της τριτοβάθμιας εξίσωσης. Ο γνωστός τότε μαθηματικός είχε τραβήξει όλα τα φώτα πάνω, αφού εντόπιζε λάθη και κατέρριπτε κάθε προσπάθεια επίλυσης του ίδιου προβλήματος από τους συναδέλφους του.
Ενας φίλος του όμως, ο Τζερόλαμο Γκαρντάνο, μπόρεσε να αποσπάσει τη μυστική ως τότε λύση του Ταρτάλια. Ισχυριζόμενος πως η λύση της τριτοβάθμιας εξίσωσης είναι δική του, ο Γκαρντάνο έβαλε... φωτιά σε όλη την επιστημονική κοινότητα της εποχής. Ολοι άρχισαν να ασχολούνται με το συγκεκριμένο αντικείμενο και για κακή τύχη των δυο Ιταλών μαθηματικών, βρήκαν το αδύναμο σημείο της απόδειξης.
Μερικές από τις λύσεις της εξίσωσης είχαν το εξής παράδοξο για τα τότε μαθηματικά δεδομένα. Ηταν τετραγωνικές ρίζες αρνητικού αριθμού. Οποιος αριθμός και να υψωθεί στο τετράγωνο δίνει θετικό αποτέλεσμα. Πέρα από τους μιγαδικούς αριθμούς. Την οριστική λύση στο πρόβλημα που είχε γίνει κεντρικό θέμα συζήτησης έδωσε ο ερασιτέχνης μαθηματικός με περίσσεια φαντασία, Σιπόνε ντελ Φέρο.
Αφού έδωσε καθαρό ορισμό των μιγαδικών αριθμών, δηλαδή ξεχώρισε το πραγματικό και το φανταστικό τους κομμάτι, τότε μπόρεσε να δώσει ακριβή λύση σε κάθε τριτοβάθμια εξίσωση. Ο δύσπιστος και κακοπροαίρετος κύκλος των μαθηματικών τον χλεύασε για την υπερβολική του φαντασία και δεν πίστεψε στη λύση του. Ωστόσο, όσο οι μαθηματικοί μελετούσαν την ιδέα του Σιπόνε ντελ Φέρο, τόσο περισσότερο άρχισαν να την θεωρούν σωστή.
Με αυτό το τρόπο ήρθε η ανακάλυψη των μιγαδικών αριθμών που σε βάθος χρόνου επισκίασε για τα καλά αυτή της τριτοβάθμιας εξίσωσης. Οταν οι τρεις Ιταλοί τσακώνονταν επί μια δεκαετία για τα... πνευματικά δικαιώματα της απόδειξης, δεν είχαν στο μυαλό τους ότι ο συνδυασμός της φαντασίας τους είχε οδηγήσει σε ένα ολοκαίνουργιο και εντελώς διαφορετικό κύκλο αριθμών.
Η ύπαρξη της φανταστικής μονάδας είναι ικανή να δώσει λύσεις σε θέματα που οι πραγματικοί αριθμοί αδυνατούν. Ολες οι επιστήμες, αλλά κυρίως αυτή της φυσικής, μπόρεσαν να εξελιχθούν και να προχωρήσουν πολλά βήματα παρακάτω, αφού οι μιγαδικοί αριθμοί ήταν αυτοί που τις «ξεκόλλησαν» από τις καθαρά πραγματικές επιλύσεις.
Πλέον, οι μιγαδικοί είναι ίσως το πιο σημαντικό αντικείμενο μελέτης στα μαθηματικά. Αφού αποδείχτηκε πως η ενασχόληση μαζί τους μπορεί να οδηγήσει σε αποτελέσματα που περνούν έξω από τα όρια της φαντασίας μας. Ακριβώς λόγω της φανταστικής τους ιδιότητας. Μπορεί λοιπόν να μην υπάρχει ένας μοναδικός εφευρέτης της υπέροχης φανταστικής μονάδας, όμως αυτό λίγη σημασία έχει μπροστά στην ίδια την ανακάλυψη που έχει εκτοξεύσει τη... φαντασία των επιστημόνων.

ΚΟΡΥΦΗ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

 

Η Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία (ΕΜΕ) έχει ιστορία 90 ετών. Ιδρύθηκε το 1918 στην Αθήνα και σήμερα έχει παραρτήματα στους περισσότερους νομούς της χώρας, ενώ αναπτύσσει πολύπλευρη δραστηριότητα. Η λειτουργία της βασίζεται στην εθελοντική προσφορά των μελών της, της διοίκησής της, των δεκάδων μελών της εταιρείας που στελεχώνουν τις επιτροπές εργασίας στην Αθήνα και τις άλλες πόλεις αλλά και όλων των υπόλοιπων μελών της που συνεισφέρουν κατά περίπτωση. Σκοπός της ΕΜΕ είναι η προαγωγή και η διάδοση των διαφόρων κλάδων της Μαθηματικής Επιστήμης.  http://www.hms.gr/

Χάρης Τσαμπασίδης Από το Λιτόχωρο στο MIT Ενα αυθεντικό ταλέντο στα μαθηματικά ξεκλείδωσε με τα βραβεία του την πόρτα του αμερικανικού πανεπιστημίου

 

Μαθηματική ευφυΐα στο κελί Τρεις μαθητές που πέτυχαν υψηλές επιδόσεις, βραβεύθηκαν από την Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία και αντιμετωπίζουν με σθένος τα προβλήματά τους εξομολογούνται τα όνειρα που κάνουν

Με τη δύναµη του µυαλού ο τυφλός µαθητής αριστεύει στο σχολείο και διαπρέπει στους διαγωνισµούς Μαθηµατικών Στην ηλικία των δέκα µηνών διαπιστώθηκε ότι ο 15χρονος σήµερα Αργύρης Κουµτζής είχε «ατροφικό οπτικό νεύρο». Αυτό σηµαίνει ότι έχει όραση κάτω από το ένα εικοστό πέµπτο. Το ότι είναι πρακτικά τυφλός ουδόλως εµποδίζειτο πάθος τουγια µάθηση. Αυτό το πάθος άλλωστε, οδήγησε στη βράβευσή του πριν από λίγες µέρες από την Ελληνική Μαθηµατική Εταιρεία για τις επιδόσεις του.

 

Πέντε μετάλλια και μια εύφημο μνεία στην Διεθνή Μαθηματική Ολυμπιάδα - κοινωνίαΈνα Χρυσό, ένα αργυρό, τρία Χάλκινα μετάλλια και μια εύφημο μνεία έφεραν οι Έλληνες Μαθητές από την 53η Διεθνή Μαθηματική Ολυμπιάδα, η οποία διοργανώθηκε στην πόλη Mar del Plata της Αργεντινής από τις 4 έως τις 16 Ιουλίου 2012

 

ΚΟΡΥΦΗ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Αριθμοί και ασυνείδητο ΑΛΚΗΣ ΓΑΛΓΑΔΑΣ

Οταν μαθαίνουμε στα παιδιά μας το «ένα» και το «δύο» ενεργοποιούμε απλώς τον «σκληρό τους δίσκο» όπου ο αριθμός κατέχει ήδη εξέχουσα θέση. Νέα μελέτη επιχειρεί να φωτίσει τη φύση των αριθμών με τη βοήθεια θεωριών από τον Πυθαγόρα ως τα αρχέτυπα του Γιουνγκ Αν ο αριθμός είναι «κρεμμύδι», η χρησιμοθηρική προσέγγιση των μαθηματικών στέκεται μόνο στη φλούδα. Εντελώς διαφορετική, μια προσέγγιση της αρχετυπικής ουσίας τους θα άνοιγε τον δρόμο για τη σάρκα Το πρωί πηγαίνει στο σχολείο όπου διδάσκει Μαθηματικά, σε ένα δημόσιο πρότυπο γυμνάσιο. Εκεί θα πρέπει να λύσει και μαθηματικά προβλήματα αλλά και προβλήματα που αντιμετωπίζουν κάθε ημέρα όλοι σχεδόν οι εκπαιδευτικοί σε αυτή τη χώρα. Το μεσημέρι επιστρέφει στο σπίτι και στην οικογένεια για να ασχοληθεί όλη την υπόλοιπη ημέρα του με την ψυχολογία του Γιουνγκ, τα αρχέτυπα και φυσικά με Μαθηματικά. Τελικά, ύστερα από μελέτη και προσπάθειες χρόνων, σε μια συλλογική έκδοση των Νova Science Ρublishers με τίτλο «Μathematics & Μathematical Logic: Νew Research» δημοσιεύθηκε παίρνοντας την έγκριση αυστηρών και απαιτητικών κριτών η εργασία του Δημήτρη Γαβαλά « Για τη φύση του αριθμού ». Οπως λέει στο «Βήμα» ο ίδιος, «Η συμβολή της εργασίας αυτής συνίσταται και στην προσπάθεια αλλαγής των κατεστημένων αντιλήψεων σε σχέση με τη βαθύτερη φύση του αριθμού. Οι Πυθαγόρειοι, ο Πλάτων, ο μαθητής του Ξενοκράτης (ο οποίος από το 350 π.Χ. περίπου είχε πει: “Η ψυχή είναι αριθμός αυτοκίνητος”), ο Γιουνγκ φαίνεται να έχουν δίκιο. Ο αριθμός είναι προϋπάρχον στοιχείο του Κόσμου, αρχέτυπο, διαδικασία δόμησης και μορφοποίησης του Κόσμου».
Στο σκληρό μας δίσκο Για να θεμελιωθεί αυτή η υπόθεση, το κλειδί είναι ακριβώς η έννοια των «αρχετύπων». Που ξεκινούν από το ασυνείδητο. Εκεί δηλαδή όπου από την πρώτη ύπαρξη των ανθρώπων αποθηκεύονται σκέψεις και εμπειρίες ζωτικής, όπως αποδεικνύεται, σημασίας για την πορεία της ανθρωπότητας. Εμείς οι άνθρωποι, κατά τον Γιουνγκ, αντίθετα από ό,τι θα τείναμε να πιστέψουμε, δεν διαθέτουμε μόνο προσωπικό ασυνείδητο, με ξεχωριστό δηλαδή για τον καθένα περιεχόμενο, αλλά μοιραζόμαστε ένα «παγκόσμιο συλλογικό ασυνείδητο». Κάτι δηλαδή σαν μια οργανωμένη μνήμη υπολογιστή. Με τους διάφορους (ατομικούς) υποκαταλόγους να αναφέρονται και το περιεχόμενό τους να εξαρτάται από τον πρωταρχικό και μοναδικό αλλά σχεδόν απρόσιτο στους χρήστες κατάλογο-ρίζα, όπου βρίσκονται τα λεγόμενα αρχέτυπα. Σύμφωνα με τον Γιουνγκ, πρέπει να κάνουμε διάκριση μεταξύ του «αρχετύπου καθαυτού», που είναι χωρίς τον έλεγχό μας παρόν, και του «εκδηλωμένου αρχετύπου», που γίνεται αντιληπτό με τις αναπαραστάσεις του και αναδύεται ως το πεδίο της συνείδησης. Το «εκδηλωμένο αρχέτυπο» εμφανίζεται ως εικόνα, που η μορφή της μπορεί να αλλάζει και να προσαρμόζεται στο περιβάλλον, ως τρόπος δράσης, ως διαδικασία, ως στάση, ως ιδέα, ως εμπειρία. Ολα αυτά, αν ενεργοποιηθούν κάτω από ορισμένες συνθήκες, αναδύονται από τη μη συνειδητή ως τώρα κατάστασή τους και γίνονται κατά κάποιον τρόπο ορατά. Οι νοητικές και φυσικές μας διεργασίες, γίνεται σήμερα όλο και πιο πιστευτό, έχουν τη ρίζα τους στο αρχέτυπο που ονομάζουμε αριθμητικό αρχέτυπο και βρίσκεται στο ασυνείδητο. Αλλά από εκεί δεν παύουν να μας στέλνονται μηνύματα που συνειδητοποιούνται από τη νόησή μας και προλαβαίνουν να διαμορφωθούν από την προσωπικότητα του καθενός από εμάς. Η νόηση δηλαδή είναι σαν ένα δέντρο που έχει τις ρίζες του στο ασυνείδητο και στα αρχέτυπά του. Και για να μην ξεφύγουμε από τους αριθμούς, να θυμηθούμε τη φράση του Γιουνγκ: «Ο αριθμός είναι ένα αρχέτυπο διάταξης (= τακτοποίησης), δηλαδή “διόρθωσης” αυτού που θα λέγαμε χάος». Αλλά ένα μέρος αυτού του αρχετύπου με την αδιάκοπη προσπάθεια μέσω της νόησης οι άνθρωποι έχουν φθάσει να το συνειδητοποιήσουν. Δεν κρύβεται δηλαδή τόσο πολύ πια στα νέφη του ασυνειδήτου.
Το μαγικό «κρεμμύδι» Ο αριθμός παρουσιάζεται σαν μια οντότητα με δομή σαν του κρεμμυδιού. Για παράδειγμα, όσοι θεωρούν τα Μαθηματικά ως εφαρμογή στον εξωτερικό κόσμο ή ως φυσική επιστήμη, συλλαμβάνουν και ασχολούνται με τον πιο έξω φλοιό, δηλαδή την προβολή (που βλέπει) στον εξωτερικό κόσμο. Αυτό δείχνει ότι ίσως δεν έχουν ενδιαφερθεί να βρουν από πού προέρχονται και τι ακριβώς σημαίνουν οι αριθμοί. Αντίθετα, ο Πυθαγόρας πάει κατευθείαν στο κέντρο, δηλαδή ασχολήθηκε με την ουσία του αρχετύπου. Οι φορμαλιστές και οι λογικιστές υφίστανται την επίδραση του αρχετύπου, αλλά δεν το ψάχνουν το θέμα και, επομένως, δεν χρειάζονται ερμηνείες, αρκούνται στο συντακτικό μέρος και δεν αναζητούν το νόημα, τη σημασία, που μένει έτσι κρυμμένη και από αυτούς. Εκεί λοιπόν αρχίζει ουσιαστικά η συμβολή του έλληνα μαθηματικού, αφού προσπαθεί να δείξει ότι: «Ο αριθμός δεν είναι μόνο για χρήση, αλλά και κάτι τη φύση του οποίου πρέπει να ανακαλύψουμε. Είναι παγκόσμια αρχή με “θεία” (δηλαδή μυθική) υπόσταση. Επειδή όμως ο αριθμός είναι παγκόσμιος, είναι και “θείος”, και αντίστροφα. Η επιστημονική νοοτροπία και το πνεύμα της εποχής, με την έρευνα των αισθητών πραγμάτων, μας αιχμαλωτίζουν και μας περιορίζουν στις αισθήσεις. Δηλαδή “στον υπνόσακο των ορατών”. Δεν μας επιτρέπουν έτσι να ασχοληθούμε με την έρευνα των αρχών και των αρχετύπων. Ομως η διαφορετική άποψη για τον αριθμό θα έκανε τα Μαθηματικά αυτό που ήταν και στο παρελθόν: έναν κλάδο άξιο να ερευνάται πέρα από χρησιμοθηρικούς σκοπούς». Στην ουσία κάνει μια μαθηματικοποίηση αυτής της άποψης και προτείνει επίσης μια συνθετική, κυριολεκτικά ολιστική θεώρηση των Μαθηματικών, όπου ενοποιούνται οι επί μέρους φιλοσοφικές θεωρήσεις για τα Μαθηματικά.
Η πλήρης μελέτη στη διεύθυνση:
https://www.novapublishers.com/catalog/product-info.php?cΡath=23-29&products-id=9103 Οn Νumber΄s Νature (Dimitris Gavalas,Varvakeios Εxperimental School,Αthens, Greece) pp.1-56
ΑΓΧΟΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: ΥΠΑΡΧΕΙ «ΘΕΡΑΠΕΙΑ»; Ο Δ. Γαβαλάς πρέπει να αντιμετωπίζει κάθε πρωί και στην τάξη του τις απορίες των μικρών μαθητών του Γυμνασίου που έρχονται για πρώτη φορά σε επαφή με δύσκολες έννοιες των Μαθηματικών,και μάλιστα αρχίζοντας ανάποδα,από την έξω πλευρά. Φροντίζει όμως να τους προειδοποιήσει σχετικά με τη γνώση λέγοντας από την αρχή: «Εγώ δεν παραδίδω γνώση όπως το παιδί σάς φέρνει την πίτσα στο σπίτι,ούτε η γνώση είναι αρρώστια για να σας τη μεταδώσω.Εγώ εδώ πρέπει να σας καθοδηγήσω για να βρείτε τη γνώση γύρω από τα Μαθηματικά,που υπάρχει όμως μέσα στον καθένα από εσάς».Ισως έτσι να καταπολεμηθεί και η αριθμοφοβία, και το άγχος γενικότερα από τα Μαθηματικά.Εχει άλλωστε τη διάθεση για μια πιο προχωρημένη έρευνα εδώ στην Ελλάδα στο θέμα της Διδακτικής,αφού,όπως λέει,«Η συνειδητοποίηση και αυτής της πλευράς έχει επιπτώσεις όχι μόνο στην επιστημονική αντιμετώπιση του αριθμού, αλλά και στηδιδακτική μεθοδολογία που χρησιμοποιούμε στη σχολική πράξη. Παράλληλα με την παραδοσιακή άποψη του αριθμού ως πλήθους αντικειμένων και μέσου αρίθμησης,πρέπει να διδάσκεται με κατάλληλο τρόπο και αυτή της δυναμικής διαδικασίας και του αρχετυπικού ψυχικού παράγοντα.Είναι πολύ πιθανόν μάλιστα αυτή η άποψη να βρίσκεται πιο κοντά στη φύση του μαθητή σε σχέση με την επικρατούσα.Και εδώ υπάρχει ανοιχτό πεδίο για έρευνα.Η αδιάκοπη διεύρυνση της ανθρώπινης συνειδητότητας αποκαλύπτει νέες ιδιότητες του αριθμού και των Μαθηματικών.Μόνο που,όπως φαίνεται, ένα κεντρικό τμήμα αυτού του πυρήνα δεν θα γίνει ποτέ συνειδητό στον άνθρωπο,αλλά θα παραμείνει στη μη συνειδητή περιοχή του μη αντιληπτού.Διαφορετικά ο άνθρωπος θα κατείχε την όλη γνώση,μια ιδιότητα υπερανθρώπινη (και κατά τον Γιουνγκ)». Για να αποδειχθεί,προσθέτουμε εμείς, ύστερα από αιώνες η αλήθεια της φράσης που αποδίδεται στον Πυθαγόρα: «Η θεία φύση τούς κάνει τους αριθμούς που αποκαλούμε Φυσικούς τόσο απλούς αλλά (ταυτόχρονα) η βαθύτερη ουσία τους θα μας διαφεύγει πάντα»...

 

ΚΟΡΥΦΗ

O μεγαλύτερος πρώτος αριθμός Αποτελείται από 17.425.170 ψηφία! Θοδωρής Λαΐνας 

Αμερικανός μαθηματικός ανακάλυψε έναν νέο πρώτο αριθμό που αποτελείται από 17.425.170 ψηφία και είναι ο μεγαλύτερος πρώτος αριθμός που γνωρίζουμε αυτή τη στιγμή. Ο νέος βασιλιάς των πρώτων αριθμών πήρε τα σκήπτρα από έναν πρώτο αριθμό που ανακαλύφθηκε το 2008 και αποτελείται από 12.978.189 ψηφία. Το 2009 ανακαλύφθηκε άλλος ένας πρώτος αριθμός που όμως ήταν μικρότερος από εκείνον του 2008.
Οι πρώτοι Ως πρώτος αριθμός ορίζεται ένας φυσικός αριθμός μεγαλύτερος της μονάδας, του οποίου οι μοναδικοί φυσικοί διαιρέτες είναι η μονάδα και ο εαυτός του. Οι πρώτοι αριθμοί αποτελούν ένα τομέα των μαθηματικών που οι επιστήμονες μελετούν και ερευνούν διαχρονικά. Αν και οι πρώτοι αριθμοί έχουν άπειρο πλήθος εντούτοις δεν έχει αναπτυχθεί μια μέθοδος που να υποδεικνύει με εύκολο τρόπο τους αριθμούς αυτούς. Η ανακάλυψή τους απαιτεί εντατικούς υπολογισμούς και τα τελευταία χρόνια η χρήση των ηλεκτρονικών υπολογιστών έχει βοηθήσει τα μέγιστα στην εύρεση νέων πρώτων αριθμών.
Το πρόγραμμα Πριν από μερικά χρόνια δημιουργήθηκε το πρόγραμμα GIMPS στο οποίο χιλιάδες εθελοντές προσφέρουν την ισχύ των υπολογιστών τους δημιουργώντας ένα πανίσχυρο δίκτυο που ασχολείται αποκλειστικά με τον υπολογισμό πρώτων αριθμών.  Ο Κρίς Κούπερ, μαθηματικός του Πανεπιστημίου Κεντρικού Μιζούρι, είναι μέλος του GIMPS και έχει ανακαλύψει και στο παρελθόν πρώτους αριθμούς. Αυτή τη φορά όμως έσπασε κυριολεκτικά τα κοντέρ αφού ο 257,885,161 − 1 είναι ένα «τέρας» 17.425.170 ψηφίων. Είναι ενδεικτικό ότι για την πρώτη επαλήθευση του αριθμού που ανακάλυψε ο Κούπερ χρησιμοποιήθηκε ο υπολογιστής ενός πανεπιστημίου που χρειάστηκε 39 μέρες για ολοκληρώσει την επεξεργασία των δεδομένων. Στη συνέχεια η ανακάλυψη επαληθεύτηκε και από άλλους ερευνητές. Πρέπει να σημειωθεί ότι ο αριθμός του Κούπερ ανήκει σε μια ειδική κατηγορία των πρώτων αριθμών, τους αριθμούς Μερσέν. Είναι οι πρώτοι αριθμοί που έχουν τη μορφή 2n − 1, όπου ο p είναι πρώτος αριθμός. Ο Κούπερ θα λάβει τρεις χιλιάδες δολάρια από το GIMPS για την ανακάλυψή του. Η οργάνωση Electronic Frontier Foundation έχει θεσπίσει δύο σημαντικά χρηματικά βραβεία (150.000 και 250.000 δολαρίων) για την ανακάλυψη των πρώτων πρώτων αριθμών με πάνω από  100 εκατομμύρια ψηφία και πάνω από 1 δισεκατομμύριο ψηφία αντίστχοιχα.

ΚΟΡΥΦΗ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Αριθμοί και τέχνες          http://thalesandfriends.org/gr/

ΜΠΟΡΟΥΝ τα μαθηματικά να γεφυρωθούν με τη λογοτεχνία και τις κλασικές σπουδές; Θα σας φανεί παράξενο, αλλά ανέκαθεν οι δύο αυτές επιστήμες αλληλοσυνδέονταν. Και κάποια στιγμή στην πορεία του χρόνου, μαθηματικά και λογοτεχνία απομακρύνθηκαν. Η οργάνωση «Θαλής και φίλοι» στόχο έχει να γεφυρώσει το χάσμα μεταξύ των μαθηματικών και του ευρύτερου πολιτισμού. Μέσα από τη διερεύνηση των σύνθετων σχέσεων ανάμεσα στα μαθηματικά και τον πολιτισμό και την αναζήτηση νέων τρόπων έκφρασης των μαθηματικών στην επιστημονική κοινότητα, επιχειρεί να φέρει κοντά τις επιστήμες που απομακρύνθηκαν. Ομιλίες, σεμινάρια και συνέδρια είναι μέσα στις δραστηριότητές της. Για περισσότερα επισκεφθείτε το: http://thalesand friends.org/gr/

 

ΚΟΡΥΦΗ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

O αλγόριθμος των σουξέ Θοδωρής Λαΐνας 

Μαθηματική φόρμουλα θα προβλέπει αν ένα τραγούδι θα γίνει επιτυχία Ομάδα ειδικών προσπαθεί να αναπτύξει ένα επιστημονικό εργαλείο το οποίο θα βοηθά τους ανθρώπους της μουσικής βιομηχανίας στην αναζήτηση τραγουδιών που θα έχουν μεγάλη απήχηση στο κοινό και θα σκαρφαλώνουν γρήγορα στις πρώτες θέσεις των πωλήσεων.

Η βάση δεδομένων Ενας από τους γίγαντες της μουσικής βιομηχανίας, η ΕΜΙ, πραγματοποίησε τη μεγαλύτερη και πιο λεπτομερή μέχρι σήμερα έρευνα γύρω από τις μουσικές προτιμήσεις του κοινού. Οι ερευνητές ζήτησαν από ένα εκατομμύριο άτομα από 25 χώρες τη γνώμη τους για διαφόρους καλλιτέχνες της εταιρείας ενώ επίσης τους έβαζαν να ακούνε τραγούδια και τους ζητούσαν στη συνέχεια να τα αξιολογήσουν. Δημιουργήθηκε έτσι μια τεράστια βάση δεδομένων η οποία ονομάστηκε One Million Interview Dataset. Η EMI στη συνέχεια στρατολόγησε 125 ειδικούς από το μη κερδοσκοπικό οργανισμό Data Science London οι οποίοι θα προσπαθήσουν να αναπτύξουν μια μαθηματική φόρμουλα, έναν αλγόριθμο, ο οποίος θα δείχνει στα στελέχη της εταιρείας αν ένα τραγούδι θα αρέσει στο κοινό. «Η πώληση της μουσικής σχετίζεται με την πειθώ αλλά και το μάρκετινγκ. Θέλουμε λοιπόν να μάθουμε τι είναι αυτό που κάνει έναν ακροατή να αγαπήσει ένα τραγούδι. Φυσικά το επιστημονικό εργαλείο θα αποτελέσει έναν χρήσιμο σύμμαχό μας αλλά δεν πρόκειται σε καμία περίπτωση να αντικαταστήσει τον ανθρώπινο παράγοντα και το προαίσθημα που μπορεί να έχει ένας παραγωγός ή ένα στέλεχος μιας εταιρείας για έναν νέο καλλιτέχνη ή για ένα τραγούδι» αναφέρει ο Ντέιβιντ Μπόιλ, στέλεχος του εμπορικού τμήματος της EMI και επικεφαλής της συγκεκριμένης πρωτοβουλίας.

 

ΚΟΡΥΦΗ

 

 

 

 

 

Η ομορφιά του Ιmaginary ΛΑΛΙΝΑ ΦΑΦΟΥΤΗ

Οι εικόνες που βραβεύτηκαν στον ελληνικό διαγωνισμό Ιmaginary, τον οποίο συνδιοργάνωσαν ΤΟ ΒΗΜΑ και το Ινστιτούτο Ομπερβόλφαχ, αποτελούν την απτή απόδειξη του ότι τα μαθηματικά είναι όμορφα! Πρόκειται για δημιουργήματα μαθηματικών εξισώσεων με τη βοήθεια του προγράμματος Surfer. Τα μέλη της Κριτικής Επιτροπής συμφώνησαν ομόφωνα: οι εικόνες ήταν πολύ όμορφες. Τόσο ώστε ορισμένοι εξ αυτών δήλωσαν ότι δυσκολεύτηκαν αρκετά να επιλέξουν και να βαθμολογήσουν τις καλύτερες.
Η μυστηριώδης γυναίκα χωρίς πρόσωπο ξεχώρισε συγκεντρώνοντας τη μεγαλύτερη βαθμολογία. Ακολούθησαν το διακριτικό φθινοπωρινό φύλλο, το χαριτωμένο δελφινάκι, η κομψή βασίλισσα του σκακιού και οι χρωματιστές παράξενες καμπύλες. Αυτό δεν σημαίνει ότι οι υπόλοιπες δεν παρουσίαζαν και αυτές τη δική τους γοητεία.
Από τη λιτή τουλίπα, το παιχνιδιάρικο φεγγαράκι και την κομψή κορδέλα του ΑΙDS ως το διάτρητο αρειανό αγγείο ή τη δαιδαλώδη οδό της απωλείας, όλες είχαν να πουν κάτι διαφορετικό. Παράλληλα όμως είχαν και κάτι κοινό: το γεγονός ότι όλες αποτελούσαν την εικαστική «έκφραση» μιας αλγεβρικής εξίσωσης.
Το πρόγραμμα Surfer Φτιάχτηκαν με το Surfer, ένα πρόγραμμα που έχει σχεδιάσει το γερμανικό Μαθηματικό Ινστιτούτο του Ομπερβόλφαχ (Μathematisches Forschungsinstitut Οberwolfach) με στόχο να κάνει τα μαθηματικά πιο προσιτά στο ευρύ κοινό μέσα από την καλλιτεχνική οπτικοποίησή τους. Το Surfer αποτελεί μια απλοποιημένη εκδοχή των ειδικών προγραμμάτων που ανέπτυξαν μαθηματικοί του Ινστιτούτου για να δημιουργήσουν καλλιτεχνικές απεικονίσεις αλγεβρικών επιφανειών. Οι απεικονίσεις αυτές παρουσιάζονται στην ιδιαίτερα επιτυχημένη έκθεση
«Ιmaginary» μαζί με διαδραστικά «παιχνίδια» που μυούν τους επισκέπτες στην ομορφιά της αλγεβρικής γεωμετρίας. Η έκθεση «ταξιδεύει» τα τελευταία χρόνια ανά τον κόσμο, ενώ παράλληλα το Ινστιτούτο έχει διεξαγάγει σε διάφορες χώρες «διαγωνισμούς Surfer» ανάλογους με αυτόν που διοργάνωσε μαζί με «Το Βήμα».
«Σε κάθε διαγωνισμό με το Surfer οι εικόνες φαίνεται να είναι πολύ διαφορετικές» λέει ο Αντρέας Ματ, μαθηματικός του Ινστιτούτου του Ομπερβόλφαχ, συντονιστής όλων των διοργανώσεων στο πλαίσιο της Ιmaginary και μέλος της Κριτικής Επιτροπής και για τον ελληνικό διαγωνισμό. «Αυτό είναι εκπληκτικό αν σκεφθεί κανείς ότι τα τελευταία χρόνια έχουμε συγκεντρώσει περισσότερες από 40.000 εικόνες». Αν και η βάση τους είναι η «κοινή» γλώσσα των μαθηματικών, οι εικόνες φαίνεται τελικά να αντικατοπτρίζουν κατά κάποιον τρόπο, αν όχι την ψυχοσύνθεση, τουλάχιστον την αισθητική ιδαιτερότητα του κάθε λαού. «Ο διαγωνισμός της Ελλάδας προσέφερε πολύ κομψές εικόνες.Κομψές υπό την έννοια των καθαρών γραμμών, χωρίς υπερβολές στα σχήματα,με μορφές περισσότερο σαφείς και παραστατικές» προσθέτει ο αυστριακός μαθηματικός. «Μου άρεσαν ιδιαίτερα οι απεικονίσεις του “Dolphin” και του “Jet” αλλά και του όμορφου “September Leaves”,στο οποίο τα χρώματα έχουν επιλεγεί με εξαιρετικό τρόπο».
Παιχνίδι για όλους Το πιο εντυπωσιακό ίσως στο Surfer είναι ακριβώς αυτό: ότι απεικονίζει με τον πιο απτό τρόπο τη συνήθως αόρατη για όσους δεν είναι μαθηματικοί ομορφιά των μαθηματικών. «Οι μεγάλοι φυσικοί Πολ Ντιράκ και Σουμπραμαγιάν Τσαντρασέκαρ έχουν μιλήσει για την ομορφιά των εξισώσεων» λέει ο Χάρης Βάρβογλης, καθηγητής του Τμήματος Φυσικής του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης ο οποίος μετείχε στην Κριτική Επιτροπή του ελληνικού διαγωνισμού. «Σήμερα με τον διαγωνισμό αυτόν που διοργάνωσε “Το Βήμα” διαπιστώνουμε ότι ομορφιά και
αισθητική αξία μπορούμε να βρούμε και στη γραφική απεικόνιση των εξισώσεων. Τα συγχαρητήριά μου τόσο στους βραβευθέντες όσο και σε αυτούς που απλώς έλαβαν μέρος χωρίς να λάβουν κάποια διάκριση. Εδειξαν ότι η εκτίμηση αυτής της ομορφιάς δεν είναι προνόμιο μόνο των μαθηματικών» . Ολοι οι συμμετέχοντες, από τους πιο μεγάλους ως τους πιο μικρούςυπήρξαν και συμμετοχές μαθητών του γυμνασίου-, έδωσαν πραγματικά μια καλλιτεχνική διάσταση στις μαθηματικές συναρτήσεις. Ο Παύλος Σπυράκης, καθηγητής Πληροφορικής στο Πανεπιστήμιο Πατρών και διευθυντής στο Ερευνητικό Ακαδημαϊκό Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υπολογιστών (ΕΑΙΤΥ), ο οποίος μετείχε επίσης στην Κριτική Επιτροπή, θεωρεί ότι αυτού του είδους η ενασχόληση με τα μαθηματικά καλλιεργεί τα ταλέντα και την εξυπνάδα. «Το Surfer είναι ένα πολύ πρωτότυπο πρόγραμμα γιατί συνδυάζει τα μαθηματικά ταλέντα με τα ταλέντα αισθητικής, δηλαδή τον καλλιτέχνη με τον μαθηματικό» επισημαίνει, εξηγώντας ότι οι δημιουργοί πρέπει να γνωρίζουν άλγεβρα ώστε να έχουν αίσθηση του τι μπορούν να αναπαραστήσουν οι εξισώσεις και του πώς να τις τροποποιήσουν κατάλληλα. «Παράλληλα όμωςως προς τα χρώματα και το αντικείμενο που θα αναπαραστήσουν πρέπει να έχουν αισθητική και καλλιτεχνική άποψη» προσθέτει. «Το “Faceless Woman” ήταν το πιο εντυπωσιακό σχέδιο. Και τα άλλα, όμως, φέρ΄ ειπείν το “Chess Queen”,είχαν ενδιαφέρον.Η ιδέα του Ινστιτούτου του Ομπερβόλφαχ, που είναι το σημαντικότερο αυτή τη στιγμή στην προώθηση των μαθηματικών στην Ευρώπη,είναι πραγματικά πρωτοποριακή».
Τα κριτήρια των κριτών
Τι ήταν αυτό που «μέτρησε» περισσότερο στην αξιολόγηση των κρι τών; Εκτός από τον αισθητικό παράγοντα, μια σημαντική παράμετρος ήταν η απλότητα του τύπου που είχε χρησιμοποιηθεί για το κάθε σχέδιο. «Στα μαθηματικά έχουμε τη δυνατότητα φτιάχνοντας σύνθετες συναρτήσεις να φτιάξουμε σύνθετα σχέδια, ένα πόδι, ας πούμε, ή ένα χέρι, και μετά να τα συνθέσουμε- το δείχνει άλλωστε αυτό και το πρόγραμμα» εξηγεί ο Τεύκρος Μιχαηλίδης, μαθηματικός, συγγραφέας και μέλος της ομάδας Θαλής + Φίλοι ο οποίος μετείχε στην Κριτική Επιτροπή. «Εγώ προτίμησα τα πιο απλά σχέδια, αυτά που συνδύαζαν ένα ικανοποιητικό στο μάτι αποτέλεσμα με μια απλότητα στον τύπο ώστε να αναδεικνύεται ότι μέσα σε όλες τις εξισώσεις περικλείεται μια πολυπλοκότητα.Επίσης έδωσα προτεραιότητα στα αισθητικά επιτεύγματα των σχημάτων παρά των χρωμάτων» . Οσον αφορά την καθαρά καλλιτεχνική διάσταση, ο πλέον αρμόδιος να κρίνει είναι ίσως ο Μιχάλης Αρφαράς, καθηγητής και διευθυντής του Τομέα Χαρακτικής της Ανωτάτης Σχολής Καλών Τεχνών. «Τα σχέδια ήταν όλα πολύ όμορφα, το γεγονός ότι έβγαιναν από μαθηματικές εξισώσεις ήταν εντυπωσιακό» λέει. «Είχαν ωραία χρώματα και παρουσίαζαν μεγάλη φωτεινότητα.Πολλά από αυτά είχαν και χιούμορ,κάτι που δεν περίμενα από τις μαθηματικές εξισώσεις» .
Για όσους ενδιαφέρονται να βελτιώσουν το αισθητικό μέρος των σχεδίων τους ο καθηγητής έχει να προσφέρει ορισμένες συμβουλές που μπορούν να τους βοηθήσουν. «Αν μπορώ να επισημάνω κάποιο “μειονέκτημα” από την άποψη της καλλιτεχνικής έκφρασης,αυτό ήταν ότι τα σχέδια έδειχναν όλα πολύ “πλαστικά”,με την έννοια ότι έμοιαζαν να είναι από πλαστικό,σαν να μην υπήρχε περιγραφή άλλων υλικών, άλλης υφής.Επίσης αυτά που ήταν σε λευκό φόντο έδειχναν σαν να είναι κομμένα με ψαλίδι,ενώ τα περισσότερα ήταν τοποθετημένα συμμετρικά στο κάδρο,δηλαδή στη μέση,ενώ με μια άλλη τοποθέτηση θα μπορούσε ενδεχομένως να επιτευχθεί ένα πιο εντυπωσιακό αποτέλεσμα». Για τους καλλιτέχνες που έχουν κάποια «μαθηματική» αίσθηση ο κ. Αρφαράς βλέπει στο Surfer ένα πρωτότυπο εργαλείο πειραματισμού. «Το πρόγραμμα είναι πολύ ενδιαφέρον και στο μέλλον μπορεί να έχει μεγάλη εξέλιξη ως μέσο αισθητικής έκφρασης» καταλήγει.
Αν θέλετε να «παίξετε» με το Surfer μπορείτε να «κατεβάσετε» το πρόγραμμα ελεύθερα από την ιστοσελίδα του «Βήματος» (
www.tovima.gr) και της έκθεσης Ιmaginary (www.imaginary-exhibition.com).

 

ΚΟΡΥΦΗ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Η μαγεία των φράκταλ- fractal ΧΑΡΗΣ ΒΑΡΒΟΓΛΗΣ  καθηγητής του Τμήματος Φυσικής του ΑΠΘ

  

Εφυγε από τη ζωή ο Μπενουά Μάντελμπροτ, αλλά άφησε πίσω του πολύτιμη κληρονομιά: τη γεωμετρία μορφοκλασματικής μορφής που χρησιμοποιείται από την αστρονομία και τη βιολογία ως τα χρηματιστήρια αξιών

Το 1967 ο Μπενουά Μάντελμπροτ έθεσε την φαινομενικά απλοϊκή ερώτηση: «πόσο μεγάλη είναι η ακτογραμμή της Βρετανίας;». Υστερα από σύντομη σκέψη διαπιστώνει κανείς ότι η ερώτηση δεν είναι τόσο απλοϊκή όσο φαίνεται εξαρχής, αφού η απάντηση εξαρτάται από την κλίμακα του χάρτη που χρησιμοποιούμε για να μετρήσουμε την ακτογραμμή! Οσο πιο πολλές λεπτομέρειες έχει ο χάρτης τόσο πιο μεγάλη τιμή για την ακτογραμμή προκύπτει. Ο λόγος αυτής της παράξενης ιδιότητας είναι ότι η ακτογραμμή είναι ένα γεωμετρικό αντικείμενο μορφοκλασματικής μορφής ή, όπως συνήθως λέγεται, φράκταλ. Ο Μάντελμπροτ είναι εκείνος που εισήγαγε τόσο τον όρο όσο και τη θεωρία των φράκταλ στην επιστήμη, και για τον λόγο αυτόν θεωρείται ένας από τους σπουδαιότερους μαθηματικούς των τελευταίων 50 ετών. Ο θάνατός του πριν από λίγες ημέρες αποτελεί καλή ευκαιρία για να γνωρίσουν το έργο του ακόμη και εκείνοι που δεν έχουν σχέση με τα μαθηματικά ή τις εφαρμογές τους.

Μετρώντας τα σύννεφα Στη Γεωμετρία του σχολείου μαθαίνουμε για τις γραμμές, τους κύκλους, τα τετράγωνα, τους κύβους, τους κυλίνδρους και τις σφαίρες. Στη φύση όμως γύρω μας επικρατούν άλλου είδους σχήματα: τα σύννεφα, οι κεραυνοί, οι παγοκρύσταλλοι, τα σφουγγάρια και οι ακτογραμμές παρουσιάζουν μια πολυπλοκότητα που δεν μοιάζει καθόλου με τα απλά γεωμετρικά αντικείμενα της «κλασικής» Γεωμετρίας. Μερικοί μαθηματικοί στα τέλη του 19ου και στις αρχές του 20ου αιώνα είχαν επιχειρήσει να περιγράψουν μαθηματικά το σχήμα και τις ιδιότητες μιας άλλης κατηγορίας γεωμετρικών αντικειμένων, που χαρακτηρίζονται από μια ιδιότητα που ονομάζεται αυτο-ομοιότητα . Τα αντικείμενα αυτού του είδους παρουσιάζουν την ίδια εικόνα όταν παίρνει κανείς ένα κομμάτι τους και το μεγεθύνει, έτσι ώστε να έχει τις ίδιες διαστάσεις με το αρχικό. Οι «καθιερωμένοι» μαθηματικοί εκείνης της εποχής αντιμετώπισαν με απαξίωση αυτές τις ιδέες, επειδή θεώρησαν ότι δεν έχουν κανενός είδους εφαρμογή στην καθημερινή ζωή. Ενας από τους «αιρετικούς» μάλιστα εκείνης της εποχής, ο Γάλλος Πολ Λεβί, αναγκάστηκε από τους συναδέλφους του στην Πολυτεχνική Σχολή στο Παρίσι να μη δίνει θέματα για διδακτορικό σε μεταπτυχιακούς φοιτητές, επειδή η κρατούσα αντίληψη ήταν ότι με τέτοιες ιδέες δεν θα έβρισκαν στη συνέχεια δουλειά.
Ο πρώτος μαθηματικός που πρότεινε την ιδέα ότι η γεωμετρία των αυτο-όμοιων σχημάτων έχει εφαρμογή στη φύση ήταν ο Μάντελμπροτ. Οπως γράφει στο πιο γνωστό βιβλίο του, Η μορφοκλασματική Γεωμετρία της Φύσης, «Τα σύννεφα δεν είναι σφαίρες, τα βουνά δεν είναι κώνοι, οι ακτογραμμές δεν είναι κύκλοι και το γάβγισμα δεν είναι ομαλό ούτε η αστραπή ταξιδεύει σε ευθεία γραμμή». Στην αρχή οι ιδέες του αντιμετωπίστηκαν με δυσπιστία από το επιστημονικό κατεστημένο, όχι μόνο επειδή ανέτρεπαν παράδοση 23 αιώνων, από την εποχή που ο Ευκλείδης είχε θέσει τα θεμέλια της Γεωμετρίας, αλλά και επειδή από τη θέση του στο κέντρο Τόμας Γουότσον δεν είχε εύκολη επαφή με φοιτητές, προπτυχιακούς και μεταπτυχιακούς. Στη συνέχεια όμως η εφαρμογή τους σε προβλήματα που εμφανίζονταν σε πολλούς διαφορετικούς κλάδους των επιστημών, από τη Βιολογία και τη Γεωλογία ως τα Οικονομικά και την Αστρονομία, συντέλεσε ώστε το έργο του να αναγνωριστεί παγκοσμίως και οι μέθοδοί του να χρησιμοποιούνται ευρύτατα πρακτικά σε όλες τις επιστήμες που στηρίζονται σε μαθηματικούς υπολογισμούς. Η πιο γνωστή εφαρμογή των φράκταλ στο ευρύ κοινό είναι η μαθηματική περιγραφή διάφορων αντικειμένων ή σχημάτων της καθημερινής ζωής που παρουσιάζουν αυτοομοιότητα, όπως για παράδειγμα είναι ένα φύλλο φτέρης, ένα δέντρο ή ένα σφουγγάρι. Η ενδιαφέρουσα μάλιστα ιδιότητα αυτών των γεωμετρικών σχημάτων να έχουν γεωμετρική διάσταση κλασματική και όχι ακέραια έδωσε την ιδέα στον Μάντελμπροτ το 1975 να επινοήσει τον όρο φράκταλ. Για παράδειγμα, το μορφοκλασματικό σύνολο που μοιάζει με φύλλο φτέρης έχει διάσταση 1,8, που το κατατάσσει μεταξύ της γραμμής, που έχει γεωμετρική διάσταση 1, και της επιφάνειας, που έχει γεωμετρική διάσταση 2. Είναι δηλαδή κάτι «ανάμεσα» σε γραμμή και επιφάνεια, χωρίς να είναι κανένα από τα δύο!
Το παράδοξο του Ολμπερς Σημαντικότερη ίσως εφαρμογή της θεωρίας του Μάντελμπροτ είναι η γενίκευση της Στατιστικής Φυσικής, μέσω του συνδυασμού της με τις ιδέες του Λεβί, του οποίου υπήρξε μαθητής κατά το διάστημα 1945-47. Η «σύνθετη» αυτή θεωρία έχει εφαρμογές τόσο στις φυσικές επιστήμες όσο και στις οικονομικές. Ο ίδιος ο Μάντελμπροτ απέδειξε ότι το παράδοξο του Ολμπερς μπορεί να ερμηνευθεί μόνο με την υπόθεση ότι τα άστρα έχουν κατανομή φράκταλ στο Σύμπαν, χωρίς να χρειαστεί η υπόθεση της Μεγάλης Εκρηξης. Το παράδοξο του Ολμπερς αναφέρεται στην καθημερινή παρατήρηση ότι το βράδυ ο ουρανός είναι σκοτεινός, ενώ απλοί μαθηματικοί υπολογισμοί δείχνουν ότι θα έπρεπε να είναι φωτεινός, εξαιτίας του φωτός των μακρινών αστεριών. Η κρατούσα σήμερα ερμηνεία είναι πως ο ουρανός είναι σκοτεινός επειδή σε μας φτάνει το φως μόνο εκείνων των αστεριών που είναι σε απόσταση μικρότερη από 13,7 δισεκατομμύρια έτη φωτός, όση δηλαδή είναι η ηλικία του Σύμπαντος μετά τη Μεγάλη Εκρηξη. Ο ίδιος ο Μάντελμπροτ όμως έδειξε το 1974 ότι το «παράδοξο» αυτό μπορεί να ερμηνευθεί και μόνο με την υπόθεση ότι τα αστέρια είναι κατανεμημένα σε ένα σχήμα φράκταλ στο Σύμπαν. Τέλος, αξίζει να σημειωθεί ότι η θεωρία των Μάντελμπροτ- Λεβί χρησιμοποιείται σήμερα από χρηματοοικονομικούς οίκους για την πρόβλεψη της εξέλιξης των τιμών στα διάφορα χρηματιστήρια αξιών και εμπορευμάτων.
ΝΟΜΑΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ                
Μπενουά Μαντελμπρό*

Ο Μπενουά Μάντελμπροτ ήταν ένας από τους πιο κοσμοπολίτες επιστήμονες.Ηταν εβραίος λιθουανικής καταγωγής αλλά είχε γεννηθεί το 1924 στην Πολωνία.Πριν από τον Β΄ Παγκόσμιο Πόλεμο οι γονείς του μετανάστευσαν στη Γαλλία, όπου ζούσε ο θείος του, διάσημος μαθηματικός και αυτός.Ο Μάντελμπροτ σπούδασε στη Γαλλία και έπειτα από επισκέψεις σε διάφορα ερευνητικά κέντρα και πανεπιστήμια,προσελήφθη στο ερευνητικό κέντρο Τόμας Γουότσον της ΙΒΜ στη Νέα Υόρκη.Επειτα από 35 χρόνια εργασίας στην ΙΒΜ μετακινήθηκε στο Πανεπιστήμιο Γέιλ,όπου και τελείωσε την καριέρα του ως καθηγητής στην έδρα Στέρλινγκ. Πέθανε στις 14 Οκτωβρίου 2010 από καρκίνο στο πάγκρεας. Εξαιτίας των διαδοχικών μετακινήσεων του Μάντελμπροτ το όνομά του προφέρεται με διαφορετικούς τρόπους, ανάλογα με τη γλώσσα της χώρας όπου ζούσε.Συνήθως το μικρό του όνομα αναφερόταν με τη γαλλική προφορά ενώ το επώνυμο με τη γερμανική,όπου και σημαίνει «ψωμί με αμύγδαλα».

 

ΚΟΡΥΦΗ

Ένα fractal είναι "ένα πρόχειρο ή αποσπασματικό γεωμετρικό σχήμα που μπορεί να χωριστεί σε τμήματα, καθένα από τα οποία είναι (τουλάχιστον κατά προσέγγιση) με μειωμένο μέγεθος αντίγραφο του συνόλου,« μια ιδιότητα που ονομάζεται αυτο-ομοιότητα. FRACTALS « Human Angels

 

ΜΕΤΑΦΡΑΣΜΕΝΗ

 

Χορός με ένα δέντρο

 

ΚΟΡΥΦΗ

.. .
 

 

ΚΟΡΥΦΗ

 

 

 

 

 

 

 

 

Μαγικά τετράγωνα: τα ξαδέρφια του Sudoku TΟΥ JACOB ARON  

Ενας αρχαίος μαθηματικός γρίφος αναβιώνει με νέα ορμή Το μαγικό τετράγωνο αποτελεί τη βάση του Sudoku, εμφανίζεται σε έναν αρχαίο κινεζικό μύθο και προσφέρει έναν παιχνιδιάρικο τρόπο για να μυηθούν τα παιδιά στην αριθμητική. Ολο αυτό το διάστημα όμως έκρυβε μέσα του μια ακόμη πιο σύνθετη γεωμετρική μορφή, όπως υποστηρίζει ο Λι Σάλοους.

Το Εureka είναι ένα παμμαγικό τετράγωνο 3 Χ 3: εδώ το σχήμα-στόχος μπορεί να σχηματιστεί επίσης από οποιαδήποτε τρία από τα κομμάτια των τεσσάρων γωνιών

Ο μαθηματικός ονόμασε αυτή τη νέου είδους γεωμετρική «μαγική» διάταξη «γεωμαγικό τετράγωνο» και πρόσφατα παρουσίασε δεκάδες παραδείγματά της στο Διαδίκτυο. «Μια τέτοια ανακάλυψη τη στιγμή που έχουν προηγηθεί χιλιάδες χρόνια μελέτης των μαγικών τετραγώνων είναι πραγματικά εκπληκτική» έγραψε στο μπλογκ του ο Αλεξ Μπέλος, μαθηματικός, δημοσιογράφος και συγγραφέας του επιτυχημένου βιβλίου «Αlex΄s Αdventures in Νumberland». Ο Πίτερ Κάμερον, μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο Queen Μary του Λονδίνου, θεωρεί ότι τα γεωμαγικά τετράγωνα ενδέχεται να κρύβουν μια ακόμη βαθύτερη δομή. «Μπορώ αμέσως να δω πολλά πράγματα που θα μπορούσα να κάνω με αυτά» λέει.
Τα μαθηματικά της χελώνας Το παραδοσιακό μαγικό τετράγωνο είναι ένα τετράγωνο πλέγμα αριθμών που η διάταξή τους είναι τέτοια ώστε κάθε σειρά, στήλη και διαγώνιος να δίνει το ίδιο άθροισμα. Για παράδειγμα στο παρακάτω μαγικό τετράγωνο το άθροισμα είναι 15:

Το συγκεκριμένο μαγικό τετράγωνο κυκλοφορεί εδώ και χιλιάδες χρόνιαένας κινεζικός μύθος το αποκαλεί Λο Σου και υποστηρίζει ότι βρέθηκε σκαλισμένο στο καβούκι μιας χελώνας. Σήμερα ο κ. Σάλοους, ο οποίος ζει στην Ολλανδία και «παίζει» με τις γεωμετρικές εκδοχές των μαγικών τετραγώνων εδώ και μία δεκαετία, έδειξε πώς μπορεί κανείς να επεκτείνει την ιδέα με εντελώς νέους τρόπους.
Τα τουβλάκια του Τetris Στα γεωμετρικά τετράγωνά του τα ψηφία του πλέγματος αντικαθίστανται από σχήματα που θυμίζουν τα τουβλάκια του Τetris, τα πολυόμινα, τα οποία αποτελούνται από διαφόρους αριθμούς ίσων τετραγώνων. Απαραίτητη προϋπόθεση: τα πολυόμινα σε κάθε σειρά, στήλη και διαγώνιο θα πρέπει να συνδυάζονται ώστε να δίνουν το ίδιο βασικό σχήμα (δείτε τις εικόνες). Τα τουβλάκια μπορούν να έχουν δύο, τρεις ή, θεωρητικά, ακόμη περισσότερες διαστάσεις- αν και η οπτική απεικόνιση ενός τετρασδιάστατου γεωμαγικού τετραγώνου αποτελεί πραγματική πρόκληση. Η πρώτη απόπειρα του κ. Σάλοους για την ανάπτυξη των γεωμαγικών τετραγώνων βασίστηκε σε έναν τύπο για μαγικά τετράγωνα που είχε επινοήσει ο γάλλος μαθηματικός του 19ου αιώνα Εντουάρ Λυκά. Ο κ. Σάλοους διαπίστωσε ότι η εφαρμογή του τύπου σε σχήματα δεν έδινε ακριβώς το αποτέλεσμα που επεδίωκε, τον ενέπνευσε όμως ώστε να αναπτύξει μια σειρά προγραμμάτων στον υπολογιστή για να κατασκευάσει δεκάδες πραγματικά γεωμαγικά τετράγωνα. Μεταξύ αυτών έχει δημιουργήσει μια γεωμετρική εκδοχή του Λο Σου, στην οποία το κάθε ψηφίο αντιπροσωπεύεται από ένα πολυόμινο το οποίο αποτελείται από ισάριθμα μικρότερα τετράγωνα.

Η επανάσταση του Κοπέρνικου Αν και οποιοδήποτε μαγικό τετράγωνο μπορεί να απεικονιστεί γεωμετρικά, εξηγεί, το αντίστροφο δεν ισχύει. «Τα μαγικά τετράγωνα δεν είναι αριθμητικά, είναι γεωμετρικά αντικείμενα.Τα βλέπαμε έτσι ως τώρα επειδή τα απεικονίζαμε μόνο με αριθμούς». Ο μαθηματικός περιγράφει την ανακάλυψή του ως «κοπερνίκεια επανάσταση στην αντίληψή μας για τα μαγικά τετράγωνα». Μπορούν λοιπόν τα μαγικά τετράγωνα να έχουν εφαρμογές πέρα από τη μελέτη μιας σπαζοκεφαλιάς; Ο κ. Κάμερον είναι βέβαιος πως ναι. «Μπορεί να θέσει κανείς τα ερωτήματα με πολύ γενικότερους όρους» λέει. Για παράδειγμα, οι έννοιες που κρύβονται πίσω από τα γεωμαγικά τετράγωνα μπορούν να χρησιμοποιηθούν πιο αφηρημένα στη θεωρία συνόλων και ομάδων, όπου μπορεί να εξετάσει κανείς τις μαθηματικές ιδιότητες υποθετικών αντικειμένων χωρίς αναφορά στη φυσική μορφή τους.

Το γεωλατινικό τετράγωνο Τα γεωμαγικά τετράγωνα θα μπορούσαν ίσως να λειτουργήσουν και στον πραγματικό κόσμο. Μια παραλλαγή του μαγικού τετραγώνου που είναι γνωστή ως το λατινικό τετράγωνο συμβάλλει ήδη στη δημιουργία κωδίκων για τη μετάδοση πληροφοριών και στον σχεδιασμό δοκιμών φαρμάκων- όπου χρησιμοποιείται για να ελεγχθεί αν οι συμμετέχοντες λαμβάνουν τον σωστό συνδυασμό θεραπειών. Το Sudoku αποτελεί επίσης έναν συγκεκριμένο τύπο λατινικού τετραγώνου. Ο κ. Κάμερον εικάζει ότι ένα «γεωλατινικό τετράγωνο»- αν φυσικά υπάρχει- θα μπορούσε να έχει επίσης εφαρμογές.
Εν τω μεταξύ ο κ. Σάλοους συνεχίζει την εξερεύνηση του γεωμαγικού κόσμου. Η απόφασή του να εμφανίσει τη δουλειά του στο Διαδίκτυο τον βοήθησε να επιτύχει έναν παλιό στόχο του, την εξεύρεση ενός γεωμαγικού τετραγώνου 2 Χ 2. Τα μικρότερα τετράγωνα είναι δυσκολότερα από τα μεγάλα, γιατί τα μεγαλύτερα δίνουν περισσότερες επιλογές και ο κ. Σάλοους είχε «κολλήσει». Λίγο αφότου ξεκίνησε τον ιστότοπό του όμως ο «συνάδελφός» του στο κυνήγι των τετραγώνων Φρανκ Τινκελένμπεργκ τού έστειλε ένα παράδειγμα.
Η αναζήτηση δεν σταματά εδώ. Ο κ. Σάλοους προσπαθεί τώρα να βρει ένα γεωμαγικό τετράγωνο στο οποίο το βασικό σχέδιο είναι ομαλό, χωρίς κενά και ελλείψεις κελιών. «Αμέσως μόλις βρεις αυτό που έχει τις ιδιότητες που επιδιώκεις πηγαίνεις στην επόμενη πρόκληση».  http://www.geomagicsquares.com/
O ΕΦΙΑΛΤΗΣ ΤΟΥ ΑΡΧΑΙΟΛΟΓΟΥ Ο ευφάνταστος τίτλος που έχει δώσει ο Λι Σάλοους αναφέρεται στους
αρχαιολόγους και στις προσπάθειες που καταβάλλουν για να συναρμολογήσουν τα θραύσματα αγγείων που φέρνουν στο φως με τις ανασκαφές τους.Το συγκεκριμένο γεωμαγικό τετράγωνο έχει μια τρισδιάστατη πλευρά.Οπως γράφει στην ιστοσελίδα του,είναι εμπνευσμένο από έναν ειδικό τρόπο συναρμολόγησης εικόνων στον οποίο δεν χρειάζεται κανείς να «τσεκάρει» τα κομμάτια από την πίσω πλευρά τους γιατί κάθε τμήμα μπορεί να συναρμολογηθεί χωρίς να αντιστραφούν. Στον «Εφιάλτη του αρχαιολόγου» η αντιστροφή των κομματιών δεν είναι απαραίτητη γιατί η κοιλότητα του πιάτου «δείχνει» κατά κάποιον τρόπο τη σωστή συναρμολόγηση. «Με την κατάλληλη σήμανση στα κρυφά μέρη των κομματιών» γράφει«η σφραγίδα του κεραμοποιού μπορεί να εμφανίζεται στην πίσω πλευρά του κάθε συναρμολογημένου πιάτου».
Αν και δεν φαίνεται στην εικόνα, τα κομμάτια των διαγωνίων μπορούν επίσης, όταν «κολληθούν», να σχηματίσουν το ίδιο πιάτο.

ΤΡΟΦΗ  ΓΙΑ ΤΟ ΜΥΑΛΟ 

ΚΟΡΥΦΗ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Η γεωμετρία είναι έμφυτη!

Ιθαγενείς που δεν γνωρίζουν καν τη λέξη «τρίγωνο» διαθέτουν ισχυρή γεωμετρική αντίληψη Αν και πολλοί νιώθουν άγχος και μόνο στο άκουσμα της λέξης, η Γεωμετρία τελικά φαίνεται ότι με κάποιον τρόπο είναι «γραμμένη» στα γονίδιά μας. Αυτό τουλάχιστον αποδεικνύεται από μια έρευνα που πραγματοποίησε γαλλική ερευνητική ομάδα. Όπως έδειξε, τα μέλη μιας φυλής του Αμαζονίου που δεν έχουν καν ακούσει το όνομα του Ευκλείδη έχουν την ίδια _ και σε ορισμένες περιπτώσεις καλύτερη _ αίσθηση της Γεωμετρίας από Ευρωπαίους και Αμερικανούς που διδάσκονται τα θεωρήματά του στο σχολείο.

Γεωμετρικό ένστικτο Κάθε Δυτικός που έχει περάσει από τα μαθητικά θρανία γνωρίζει τις βασικές αρχές της Ευκλείδειας Γεωμετρίας όπως το ότι δυο σημεία μπορούν να ενωθούν με μια ευθεία, ότι δυο παράλληλες γραμμές δεν τέμνονται ποτέ ή ότι οι γωνίες ενός τριγώνου έχουν πάντα το ίδιο άθροισμα των 180 μοιρών. Αυτά όμως είναι πράγματα που μπορεί να μάθει κανείς με την εκπαίδευση. Το μεγάλο ερώτημα για τους ειδικούς είναι αν η γεωμετρική αντίληψη _ ή ένα είδος «γεωμετρικού ενστίκτου» υπάρχει σε όλους τους λαούς ανεξάρτητα από τη γλώσσα και το μορφωτικό τους επίπεδο. Για να το διερευνήσουν οι ερευνητές του Εθνικού Κέντρου Επιστημονικών Ερευνών (CNRS) της Γαλλίας με επικεφαλής τον Πιερ Πικά εξέτασαν πώς οι εκπρόσωποι της φυλής Μουντουρούκου του Αμαζονίου αντιλαμβάνονται τα σημεία, τις ευθείες και τις γωνίες και συνέκριναν τις απαντήσεις τους με αυτές που έδωσαν σε αντίστοιχα τεστ γάλλοι και αμερικανοί εθελοντές. «Η γλώσσα των Μουντουρούκου έχει μόνο αριθμούς κατά προσέγγιση» εξήγησε ο κ. Πικά μιλώντας στο BBC. «Δεν υπάρχουν γεωμετρικοί όροι όπως τρίγωνο ή τετράγωνο ούτε τρόπος να πεις ότι δυο γραμμές είναι παράλληλες. Φαίνεται ότι η γλώσσα δεν διαθέτει αυτή την αντίληψη» Σύμφωνα με τα αποτελέσματα, τα οποία δημοσιεύονται στην επιθεώρηση «Proceedings of the National Academy of Sciences», οι Μουντουρούκου, παρά τη γλωσσική τους ένδεια σε γεωμετρικούς όρους εμφανίστηκαν να έχουν την ίδια γεωμετρική αντίληψη με τους δυτικούς συμμετέχοντες. Προς έκπληξη δε των ερευνητών, αποδείχθηκαν καλύτεροι από τους τελευταίους σε «προβλήματα» που εμπίπτουν στη μη Ευκλείδεια Γεωμετρία, και συγκεκριμένα στην αντίληψη των σχημάτων επάνω σε σφαιρικές επιφάνειες.

Σφαίρες και νεροκολοκύθες Ο κ. Πικά και οι συνεργάτες του «εξέτασαν» 22 ενήλικες και 8 παιδιά της φυλής των Μουντουρούκου θέτοντάς τους μια σειρά από γεωμετρικά ζητήματα. Απέφυγαν τους αφηρημένους όρους της Γεωμετρίας χρησιμοποιώντας πρακτικά παραδείγματα: αντί για δυο σημεία σε ένα επίπεδο ανέφεραν για παράδειγμα δυο χωριά σε έναν νοητό χάρτη και αντί για μια σφαίρα μιλούσαν για μια νεροκολοκύθα.

Ανάλογα ερωτήματα τέθηκαν σε 30 ενήλικες και παιδιά _ ορισμένα ηλικίας μόλις πέντε ετών _ στη Γαλλία και στις Ηνωμένες Πολιτείες. Οι απαντήσεις των Μουντουρούκου ήταν σχεδόν το ίδιο ακριβείς με αυτές που έδωσαν οι γάλλοι και αμερικανοί εθελοντές. Παρ’ ότι τους έλειπε η εκπαίδευση και δεν διέθεταν καν τις αντίστοιχες λέξεις στο λεξιλόγιό τους, εμφανίστηκαν να έχουν μια ενστικτώδη αντίληψη των γραμμών και των γεωμετρικών σχημάτων.

Το εντυπωσιακό ήταν ότι οι γεωμετρικά απαίδευτοι κάτοικοι του Αμαζονίου επέδειξαν μεγαλύτερη ικανότητα αντίληψης από τους μορφωμένους δυτικούς ομολόγους τους στη νεότερη, μη Ευκλείδεια Γεωμετρία. Ηταν για παράδειγμα πιο συχνά σε θέση να διαγνώσουν ότι, αντίθετα με τους νόμους του Ευκλείδη, οι παράλληλες γραμμές στην επιφάνεια μιας σφαίρας μπορούν να τέμνονται _ κάτι το οποίο ίσχυε σε μικρότερο βαθμό για τους γάλλους και αμερικανούς εθελοντές. 

Αυτό κατά τον κ. Πικά αποτελεί ένα δείγμα του ότι η γεωμετρική παιδεία μας μπορεί να μας επηρεάζει κάποιες φορές αρνητικά. «Η παιδεία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας είναι τόσο ισχυρή ώστε θεωρούμε δεδομένο ότι θα ισχύει παντού, ακόμη και στις σφαιρικές επιφάνειες. Η μόρφωσή μας μάς ξεγελάει, κάνοντάς μας να πιστεύουμε πράγματα που δεν είναι σωστά» τόνισε.

ΚΟΡΥΦΗ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Τα μαθηματικά του τρόμου Τάσος Καφαντάρης 

Λένε ότι η Ιστορία δεν θα ξεχώριζε ποτέ από τη μυθοπλασία αν ο Θουκυδίδης δεν είχε προβεί στην ανάλυση των Πελοποννησιακών Πολέμων, όπως και ότι η κοινωνιολογία δεν θα είχε γίνει ποτέ επιστήμη αν ο Ιmile Durkheim δεν είχε μετρήσει τη συχνότητα αυτοκτονιών μεταξύ των καθολικών και των Διαμαρτυρομένων (Suicide - 1897). Ωστόσο εκείνο που δεν φαντάζονταν ποτέ οι ερευνητές και της μιας και της άλλης είναι ότι στις απαρχές του 21ου αιώνα η επιστήμη τους θα γινόταν... ερωμένη των μαθηματικών. Και με ποια αφορμή για πρόσχημα; Την αντιμετώπιση της διεθνούς τρομοκρατίας!

Στατιστικές του θανάτου Ο όρος τρομοκρατία ερμηνεύεται ως «η συστηματική άσκηση τρόμου ως μέσο πίεσης» και γεννήθηκε στα χρόνια της κυριαρχίας του Ροβεσπιέρου (1793-1974) για να περιγράψει την άσκηση τρόμου από το κράτος προς τους πολίτες. Στην εποχή όμως των «δίδυμων πύργων» και του «άξονα του Κακού», οι ρόλοι έχουν - τύποις - ανατραπεί. Ετσι οι Δυτικοί ξέχασαν το γεφύρωμα του «ψηφιακού χάσματος» με τους φτωχούς του πλανήτη και βάλθηκαν να διευρύνουν το «θρησκευτικό χάσμα» με τον Τρίτο Κόσμο ή το «οικονομικό χάσμα» με όσους δεν έχουν να πληρώσουν τα χρέη τους στις τράπεζες. Οπότε τρομοκρατία σημαίνει πλέον για τους Δυτικούς τη συστηματική άσκηση τρόμου από τους παρίες της κεφαλαιοκρατίας προς τα κράτη που τη διακονούν. Ολα αυτά θα παρέμεναν ενασχόληση των κοινωνιολόγων και των ιστορικών αν το σοκ της πτώσης των δίδυμων πύργων (11.9.2001) δεν έκανε τις διωκτικές αρχές των Δυτικών να ψάχνουν απεγνωσμένα για «τρόπους έγκαιρης χαρτογράφησης των κινήσεων των τρομοκρατών». Τότε κάποιος θυμήθηκε την εργασία ενός πρώην τραυματιοφορέα του Α' Παγκοσμίου Πολέμου, ο οποίος συνέβη να είναι και φυσικομαθηματικός, του Βρετανού Λιούις Ρίτσαρντσον (Lewis Fry Richardson). Υπό τον τίτλο «Στατιστικές θανατηφόρων διενέξεων» (Statistics of Deadly Quarrels), ο Ρίτσαρντσον είχε συλλέξει και ταξινομήσει τα δεδομένα των περισσότερων πολέμων από το 1820 ως το 1950 και τα είχε αναλύσει σαν νέος Θουκυδίδης.

Ο χάρτης των τρομοκρατικών οργανώσεων διεθνώς, όπως τον συνέταξαν οι καθηγητές Victor Asal και Κarl Rethemeyer του Πανεπιστημίου Albany των ΗΠΑ

Θηλαστικά και... τρομοκράτες! Ο άνθρωπος που θυμήθηκε τα όσα είχε γράψει ο Ρίτσαρντσον ήταν και αυτός φυσικομαθηματικός: ο Αμερικανός Ααρον Κλόζετ (Aaron Clauset). Στην αρχή των σπουδών του είχε προσπαθήσει να πάρει και πτυχίο κοινωνιολογίας, αλλά την εγκατέλειψε όταν διαπίστωσε πως «ακόμη και η μηχανική του Νεύτωνα είναι πιο προχωρημένη και από την καλύτερη κοινωνική θεωρία που έχουμε τώρα» - όπως δήλωσε σε συνέντευξή του. Αντ' αυτής γοητεύθηκε από τις δυνατότητες μαθηματικής προσομοίωσης που του έδιναν οι υπολογιστές. Για παράδειγμα, δόμησε ένα μαθηματικό μοντέλο που του έδινε την κατανομή παγκοσμίως των 4.000 ειδών θηλαστικών. Οταν συζήτησε την πιθανότητα μοντελοποίησης της διεθνούς τρομοκρατίας με τον πληροφορικάριο φίλο του Maxwell Young - το 2003 -, συνειδητοποίησε ότι θα μπορούσαν να εφαρμόσουν τις ίδιες μαθηματικές τεχνικές που είχε χρησιμοποιήσει για τα θηλαστικά και... στους τρομοκράτες. Το μόνο που του έλειπε ήταν μια βάση δεδομένων αντίστοιχη εκείνης του Ρίτσαρντσον, για τις τρομοκρατικές επιθέσεις αυτή τη φορά.

Ο «νόμος της ισχύος» Με την αρωγή ενός τρίτου που εντάχθηκε στην παρέα, του πολιτικού επιστήμονα στο βρετανικό Πανεπιστήμιο του Εσεξ Kristian Gleditsch, εντόπισαν αργότερα το ζητούμενο στο ίδρυμα της Οκλαχόμα, Memorial Institute for the Prevention of Terrorism: Είχαν καταγράψει 36.018 τρομοκρατικές ενέργειες σε 187 χώρες μεταξύ των ετών 1968-2008. Η ομάδα επέλεξε 13.000 από αυτές, οι οποίες είχαν θανατηφόρα αποτελέσματα, και εξέφρασε σε γράφημα την αντιπαράθεση της συχνότητάς τους με τη σφοδρότητά τους. Αυτό που προέκυψε ήταν αναπάντεχο: Οι πιο συχνές επιθέσεις που εκπορεύονταν από την ίδια οργάνωση είχαν λιγότερα θύματα, ενώ οι πιο αραιές κατέληξαν σε εκατόμβες. Η καμπύλη του γραφήματος αυτού ήταν περίπου σαν «L», που στα μαθηματικά λέγεται «ανεξαρτησία κλίμακας» (scale invariance). Ωστόσο η καμπύλη αυτής της μορφής είναι ακριβώς εκείνη που εκφράζει τον λεγόμενο «νόμο της ισχύος». Με δυο λόγια, η ως τότε αντίληψη ότι υπήρχε «μικρή» και «μεγάλη» τρομοκρατία, χωρίς σχέση μεταξύ τους, δεν έστεκε.

Πρέπει να τις... σκοτώνεις «μικρές» Οπως εξήγησε ο Κλόζετ στις αντιτρομοκρατικές υπηρεσίες, η εφαρμογή του νόμου της ισχύος στα τρομοκρατικά δρώμενα ενέχει την εφαρμογή στις οργανώσεις αυτές της δαρβινικής εξέλιξης: «Από την ανάλυση των δεδομένων προκύπτει ότι όσο μεγαλύτερη είναι μια τρομοκρατική οργάνωση τόσο συχνότερα επιτίθεται. Οι περισσότερες ομάδες αρχίζουν τη δράση τους όταν είναι μικρές, κερδίζουν φήμη και προσηλύτους με κάθε τους χτύπημα και μεγαλώνουν. Αφ' ης στιγμής φθάσουν σε κάποιο μέγεθος, η διάρκειά τους είναι εγγυημένη. Το να εξοντώσεις πια κάποιο σημαίνον στέλεχός τους - χτυπώντας τον με τα πυρά τηλεκατευθυνόμενου αεροπλάνου, για παράδειγμα - δεν θα έχει εφεξής τη διαλυτική επίδραση που θα είχε όσο ήταν μικρές σε μέγεθος» είπε. Και το έκανε πιο σαφές: «Οπως ακριβώς συμβαίνει με τις μικρές επιχειρήσεις που μόλις βγαίνουν στην αγορά, οι τρομοκρατικές ομάδες απαρτίζονται από εξαιρετικά φιλόδοξα άτομα που θέλουν να βγάλουν ένα προϊόν (μια τρομοκρατική επίθεση). Και οι μεν και οι δε έχουν το άγχος να αναπτυχθούν, ειδεμή θα σβήσουν. Και όσο η επιχείρηση ή η ομάδα είναι μικρή σε μέγεθος, το να της φύγει ένα κορυφαίο στέλεχος μπορεί να επιφέρει τη διάλυση. Οταν όμως έχουν γίνει μεγάλες, με πολλά στελέχη, μια τέτοια απώλεια δεν είναι πια κρίσιμη».

Μίσος με τη βοήθεια του... Θεού Ενα άλλο σημαντικό στοιχείο που προέκυψε από την έρευνά του είναι η διαφοροποίηση της τωρινής τρομοκρατίας από τις προγενέστερες. Συγκεκριμένα το τωρινό «τέταρτο κύμα τρομοκρατών», που διακατέχεται από θρησκευτικό φανατισμό, παρουσιάζει την εξής ειδοποιό διαφορά από τους αναρχικούς του 19ου αιώνα, τους αντιαποικιοκράτες εξεγερμένους των αρχών του 20ού ή τους επαναστάτες της εποχής του Ψυχρού Πολέμου: «Οι θρησκευτικές ομάδες επιταχύνουν τα χτυπήματά τους πολύ ταχύτερα από τις πολιτικές ομάδες. Ο λόγος είναι ότι μεγεθύνονται πολύ ταχύτερα, μάλλον επειδή η δεξαμενή υποψήφιων μελών είναι πολύ μεγαλύτερη και τους είναι πολύ πιο εύκολος ο προσηλυτισμός τους» λέει.

Η επομένη 11η Σεπτεμβρίου... Από τότε που πρωτοασχολήθηκαν με το θέμα ο Κλόζετ και οι συνεργάτες του έχουν προβεί σε δύο επιστημονικές δημοσιεύσεις, αλλά είναι πλέον πολύ προσεκτικοί ως προς τη δυνατότητα του μοντέλου τους να προβλέπει τρομοκρατικά χτυπήματα. Η επιφυλακτικότητά τους δεν έχει να κάνει τόσο με τη στιβαρότητα των μαθηματικών τους όσο με τον αντίκτυπο τέτοιων ανακοινώσεων. Το 2005, όταν η πρώτη εργασία τους όδευε ακόμη προς δημοσίευση, οι εφημερίδες την έκαναν πρωτοσέλιδο, με τίτλους όπως: «Φυσικοί προβλέπουν η επόμενη 11η Σεπτεμβρίου να συμβεί σε επτά χρόνια». Επεξηγώντας την τότε πρόβλεψη, ο Κλόζετ είπε: «Αυτό που είχαμε πει ήταν πως αν το μέλλον έχει ακριβώς τις παραμέτρους του παρελθόντος και εφόσον οι παραδοχές του μοντέλου μας είναι σωστές τότε αυτό είναι το αναμενόμενο. Αλλά δεν έχω εμπιστοσύνη στο ότι αυτή θα είναι η ακριβής χρονολογία». Σημειώνουμε εδώ ότι αυτές τις «διορθωτικές δηλώσεις» ο Κλόζετ τις έκανε αφού προσελήφθη στο στενά συνεργαζόμενο με το Πεντάγωνο Ινστιτούτο Ερευνών της Σάντα Φε (στο Πανεπιστήμιο του Νέου Μεξικού). Και βεβαίως τα επτά χρόνια της πρόβλεψης συμπληρώνονται του χρόνου.

Χάος, fractals και «μετάβαση φάσης» Το εγχείρημα του Κλόζετ και της παρέας του μπορεί να ξεκίνησε ως ερασιτεχνικό και να κατέληξε άκρως επαγγελματικό (σήμερα είναι σύμβουλος τουλάχιστον έξι αντιτρομοκρατικών φορέων στις ΗΠΑ) αλλά επ' ουδενί λόγω δεν σημαίνει ότι είναι ο μόνος που στήνει μαθηματικά μοντέλα πρόγνωσης τρομοκρατικών φαινομένων. Για παράδειγμα, σε συναφές με το θέμα συνέδριο που έγινε τον Αύγουστο 2009 στο Ινστιτούτο της Σάντα Φε παρόμοια μαθηματικά μοντέλα παρουσίασαν οι Peter Dodds και Chris Danforth από το Πανεπιστήμιο του Βερμόντ. Αλλά και εκτός αυτών, εντυπωσιακά προγράμματα πρόγνωσης τρομοκρατικής δράσης έχουν να επιδείξουν ερευνητές όπως ο καθηγητής Μαθηματικών του ΜΙΤ Jonathan Farley, ο Neil Johnson στο Πανεπιστήμιο του Μαϊάμι (πρώην καθηγητής στην Οξφόρδη), ο Ρώσος Vladimir Lefebvre στο Πανεπιστήμιο της Καλιφόρνιας Irvine ή ο πακιστανός Nasrullah Memon στο Πανεπιστήμιο της Νότιας Δανίας (ως πέρυσι στο Hellenic American University της Αθήνας). Ωστόσο τι είναι αυτό που συνδέει όλους αυτούς και από πού αντλούν τα εργαλεία τους;

Ο κοινός τόπος εντοπίζεται στην κληρονομιά που άφησε πίσω του ο αυστριακός φυσικός του 19ου αιώνα Ludwig Boltzmann. Ηταν αυτός που έθεσε τα θεμέλια της «στατιστικής μηχανικής», για να μελετήσει μαθηματικά τη συμπεριφορά μεγάλων συνόλων σωματιδίων. Κατ' ουσίαν ήταν μια παραλλαγή της θεωρίας των πιθανοτήτων. Ωστόσο γύρω στο 1970 νέα θεωρητικά εργαλεία ήρθαν να ενισχύσουν αυτή την κληρονομιά: η θεωρία του χάους, η θεωρία των φράκταλ και η θεωρία της μετάβασης φάσης. Η πρώτη εξετάζει το πώς προκύπτει πολύπλοκη και απρόβλεπτη συμπεριφορά από μικρές αλλαγές στις αρχικές συνθήκες, η δεύτερη μας δίνει τις συνθήκες διαμόρφωσης ατέρμονων επαναλήψεων της ίδιας δομής σε διάφορες κλίμακες και η τρίτη μελετά πότε ένα σύστημα φθάνει σε «ακραία κατάσταση» και αλλάζει φάση (π.χ. από στερεό γίνεται ρευστό).

Τα «σωματίδια» των κοινωνικών δικτύων Η εφαρμογή των μαθηματικών πλαισίων που αναπτύχθηκαν βάσει αυτών των θεωριών σε πολύπλοκα συστήματα - από τα σωματίδια της ύλης ως τα βιολογικά και τα κοινωνικά συστήματα - αποδίδει τώρα τους θεαματικούς καρπούς που βλέπουμε. Και αν για την ανόργανη ύλη ή για τα ζώα και τα φυτά είχαμε αρκετές βάσεις δεδομένων, το έλλειμμα των κοινωνιολόγων σε παγκόσμια δεδομένα για την ανθρώπινη συμπεριφορά ήρθε να το καλύψει το Διαδίκτυο. Τώρα, μέσω της ανάλυσης των διασυνδέσεων που χτίζουμε στα λεγόμενα κοινωνικά δίκτυα (Social Networks), οι ερευνητές - είτε των πανεπιστημίων είτε της αντιτρομοκρατικής υπηρεσίας - μπορούν στο άψε-σβήσε να βγάλουν την πρόγνωση αν η «παρεούλα μας» θα παραμείνει κύμβαλο αλαλάζον ή θα μετεξελιχθεί σε τρομοκρατικό πυρήνα.

Είναι όμως επιστημονικά πλήρες ένα μαθηματικό μοντέλο που ανιχνεύει συσχετισμούς και «αλλαγές φάσης» χωρίς να εξετάζει αφετηρίες, αίτια και κίνητρα στη λήψη των ανθρώπινων αποφάσεων; Ως προς το ερώτημα αυτό, ενδιαφέρουσα ήταν η σχετική απάντηση που έδωσε σε συνέντευξή του ο προαναφερθείς Ααρον Κλόζετ: «Οταν το καλοσκέφτεσαι, σου φαίνεται παράξενο. Σε αυτές τις οργανώσεις υπάρχουν σκεπτόμενα άτομα, με οικογένειες, στόχους, ιδανικά και όλα τα συναφή. Κι όμως εγώ τα αντιμετωπίζω λίγο-πολύ σαν να είναι στοιχειώδη σωματίδια της ύλης. Ωστόσο τα... ίχνη που αφήνει η δράση τους μιλάνε από μόνα τους».

Η Αραβική άνοιξη είχε προβλεφθεί Δεν είναι όμως μόνον αυτών τα ίχνη που μιλάνε. Ενας συνοδοιπόρος του Κλόζετ στη μαθηματική ανάλυση των ανθρώπινων δραστηριοτήτων είναι και ο Yaneer Bar-Yam, πρόεδρος του New England Complex Systems Institute της Βοστώνης. Ο ερευνητής αυτός και η ομάδα του είχαν αναπτύξει ένα επίσης προγνωσιακό μοντέλο, βασισμένο στη θεωρία της μετάβασης φάσης, το οποίο του έδωσε εγκαίρως στοιχεία για εξέγερση στις αραβικές χώρες. Με τα πορίσματά τους υπό μάλης, κατέθεσαν στις 13 Δεκεμβρίου 2010 αναφορά προς τη Γερουσία των ΗΠΑ, όπου την προειδοποιούσαν ότι η Βόρεια Αφρική ήταν κοινωνικά έτοιμη να εκραγεί. Λίγες ημέρες μετά εκδηλώθηκε η λαϊκή εξέγερση στην Τυνησία, για να ακολουθήσουν εκείνες της Αιγύπτου και της Λιβύης. Η ποιοτική διαφορά όμως της πρόγνωσής τους από τα αμιγώς «αντιτρομοκρατικά μοντέλα» ήταν ότι εντόπιζαν τα αίτια: δήλωναν ξεκάθαρα στην αναφορά τους ότι αν η αύξηση των τιμών τροφίμων παγκοσμίως συνεχιστεί, τότε μεταξύ του Ιουλίου 2012 και του Αυγούστου 2013 η κοινωνική εξέγερση θα γίνει παγκόσμια!

«Χρηματιστηριακή τρομοκρατία», η νέα απειλή Και, προκειμένου να εμπεδώσουμε καλύτερα το μήνυμα πολιτικοί και απλοί πολίτες, οι ερευνητές αυτοί «ξαναχτύπησαν» στις 21 Σεπτεμβρίου 2011, με νέο ανακοινωθέν (βλ. http: //necsi. edu/research/social/food_prices. pdf), όπου αποκαλύπτουν τη δράση της «χρηματιστηριακής τρομοκρατίας»: Ούτε λίγο ούτε πολύ, εντοπίζουν τη ρίζα των δεινών που ζούμε και θα ζήσουμε στον νόμο χρηματιστηριακής απορρύθμισης (γνωστόν αγγλιστί ως Commodity Futures Modernization Act of 2000 - CFMA) που εισήγαγε στις 21 Δεκεμβρίου 2000 ο τότε πρόεδρος των ΗΠΑ Μπιλ Κλίντον. Στο συμπέρασμα της εργασίας τους οι συγγραφείς τονίζουν: «Αυτή η ανάλυση συνδέει το σκάσιμο της φούσκας στην αγορά ακινήτων των ΗΠΑ και την οικονομική κρίση του 2007-2008 με την αύξηση των τιμών τροφίμων παγκοσμίως». Τα κεφάλαια που εγκατέλειψαν την αγορά ακινήτων πήγαν να φουσκώσουν τις τιμές τροφίμων. Ετσι φτάσαμε τον Σεπτέμβριο του 2010 να έχουμε 140 εκατομμύρια τόνους δημητριακών καταχωνιασμένους σε αποθήκες παγκοσμίως - ποσότητα που θα αρκούσε να θρέψει 440 εκατομμύρια ανθρώπους - να παίζουν κρυφτούλι στο πλαίσιο χρηματιστηριακών παιχνιδιών, ενώ ο Τρίτος Κόσμος λιμοκτονούσε.

Τώρα... πόση έννοια έχει πια η μαθηματική ανάλυση των κινήσεων όσων θέλουν «να καταλάβουν τη Wall Street»; Θα πει άραγε το πρόγραμμα στον χειριστή του αν το επόμενο τρομοκρατικό χτύπημα «ψήνεται» από το πλήθος ή από τον εργοδότη του;

Η «ΧΡΗΜΑΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗ ΤΡΟΜΟΚΡΑΤΙΑ» ΣΤΑ ΤΡΟΦΙΜΑ  
Το «κατηγορώ» του μοντέλου Bar-Yam: με διακεκομμένη γραμμή η φυσιολογική αύξηση των τιμών τροφίμων λόγω μετατροπής του καλαμποκιού σε αιθανόλη, με κόκκινη το σπεκουλάρισμα των χρηματιστών και με μπλε οι τιμές που μας προέκυψαν

*Απόδοση των όρων του διαγράμματος:
Food Price Index = Δείκτης τιμών τροφίμων
Food prices (data) = Τελικές τιμές τροφίμων
Price changes due… = Αύξηση τιμών λόγω μετατροπής σε αιθανόλη
Speculators = Επίδραση χρηματιστηρίου και αιθανόλης)

Έγκλημα και... μαθηματικά! Ε, λοιπόν, οι μαθηματικοί έχουν βαλθεί να μας αποδείξουν τη χρησιμότητά τους. Το ξεκίνησαν τον Μεσαίωνα, έπειτα από τους αιώνες λήθης που τους χώρισαν από την αίγλη των Ευκλείδη, Αρχιμήδη και Πυθαγόρα, όταν τους πρωτοζητήθηκε να «σπάσουν τον κώδικα» κάποιου κρυπτογραφημένου μηνύματος του εχθρού.


ΚΟΡΥΦΗ

Ποιος φοβάται τα μαθηματικά; Καφαντάρης Τάσος 

Ολες οι επιστήμες βασίζονται στα μαθηματικά. Γνωστό. Τότε γιατί ορισμένοι επιστήμονες «φοβούνται» τη γλώσσα των αριθμών; Οι τακτικοί αναγνώστες του BHMAscience θα έχουν σίγουρα εντοπίσει την εμμονή ορισμένων αρθρογράφων του με τα μαθηματικά. Oχι μόνον μας ελκύουν θέματα που τα αναδεικνύουν αλλά έχουμε κατά καιρούς δηλώσει ότι τα θεωρούμε θεμέλιο και κολοφώνα των επιστημών. Και πώς να μην υποκύπτουμε σε αυτή τη «διαστροφή» όταν διαβάζουμε ειδήσεις όπως η ακόλουθη:
Μαθηματικά εναντίον ρύπανσης

Στις 26 Ιουνίου 2012 στο επιστημονικό περιοδικό Inverse Problems δημοσιεύθηκε ότι η εύρεση μιας πηγής μόλυνσης είναι απλά θέμα... μαθηματικών (βλ. http://iopscience.iop.org/0266-5611/28/7/075009). Συγκεκριμένα, με ερέθισμα μεγάλες οικολογικές καταστροφές όπως η διαρροή πετρελαίου από την πλατφόρμα εξόρυξης της BP στον Κόλπο του Μεξικού το 2010, ερευνητές του γαλλικού Université de Technologie de Compiègne έψαξαν να βρουν τον τρόπο μιας πιο άμεσης ανίχνευσης της πηγής τέτοιων διαρροών. Κατέληξαν στο να βρουν έναν μαθηματικό αλγόριθμο που μπορεί να ακολουθεί τα ίχνη μιας ρύπανσης ως την πηγή της. Το μόνο που χρειάζεται είναι να συλλέξει κανείς κάποια δείγματα μολυσμένου νερού (ή αέρα) σε συγκεκριμένες αποστάσεις και να εισαγάγει τα δεδομένα στο αντίστοιχο πρόγραμμα του υπολογιστή. Ο αλγόριθμος παίρνει υπόψη του τη διασπορά, τη σύγκλιση και την αντίδραση και - ακολουθώντας ένα κυκλοφοριακό μοντέλο αντιστροφής πορείας - εντοπίζει τον υπαίτιο. Οπως δήλωσε ο συγγραφέας της μελέτης, φοιτητής Mike Andrle, δεν ήταν η πρώτη φορά που χρησιμοποιήθηκαν μαθηματικοί αλγόριθμοι για να λύσουν αυτό το πρόβλημα, αλλά ο συγκεκριμένος αλγόριθμος επιτρέπει την ανίχνευση ακόμη και αν η ρύπανση μετακινείται ή αλλάζει κατεύθυνση. Επίσης, επιτρέπει την προσθήκη παραμέτρων για τις φυσικοχημικές ιδιότητες διαφόρων ρυπαντών, ώστε να είναι αποτελεσματικός σε κάθε περίπτωση. Και ο επιβλέπων καθηγητής του, Abdellatif El-Badia, συμπλήρωσε: «Η επίλυση των αντίστροφων προβλημάτων είναι πολύ σημαντική για την επιστήμη, τη μηχανολογία και την εμβιομηχανική. Το ότι μπορέσαμε να εφαρμόσουμε αυτόν τον αλγόριθμο στο μέγα πρόβλημα της ρύπανσης ήταν πολύ ενδιαφέρον». 

Τα μαθηματικά φυγείν αδύνατον;

Στον αντίποδα αυτού του θριάμβου των μαθηματικών είχε εμφανιστεί την προηγουμένη, στις 25 Ιουνίου, στο περιοδικό Proceedings της Εθνικής Ακαδημίας Επιστημών των ΗΠΑ (βλ.www.pnas.org/content/early/2012/06/22/ 1205259109.abstract), μελέτη υπό τον τίτλο «Η πυκνή χρήση εξισώσεων δυσχεραίνει την επικοινωνία των βιολόγων». Πώς μπορεί να συμβαίνει αυτό; Οπως εξήγησαν οι συγγραφείς της μελέτης, δόκτορες Tim Fawcett και Andrew Higginson της Σχολής Βιολογικών Επιστημών του βρετανικού Πανεπιστημίου του Μπρίστολ, οι συνάδελφοί τους αποδείχτηκε ότι αποστρέφονται τις θεωρίες που βρίθουν μαθηματικών λεπτομερειών. Ψάχνοντας επισταμένα τις δημοσιευμένες εργασίες που δεν είχαν τύχει καμίας αναφοράς από συναφείς μεταγενέστερες, εντόπισαν ότι αυτές εμπεριείχαν πολλά μαθηματικά. Το «κούρεμα δημοσιότητας» που υπέστησαν συνεπεία αυτού έφθανε και το 50% λιγότερων ετεροαναφορών από εργασίες που είχαν ελάχιστα ή και καθόλου μαθηματικά. 

Παιδικά τραύματα...

Το θέμα δεν είναι πρωτόγνωρο και, μάλιστα, ο ίδιος ο πασίγνωστος φυσικός Stephen Hawking είχε εκφράσει την ανησυχία του για το ότι το έργο του θα παραγνωριζόταν εξαιτίας των πολλών μαθηματικών που χρησιμοποιούσε. Ομως αυτή ήταν η πρώτη φορά που μια μελέτη επιμετρούσε την έκταση του προβλήματος. Μιλώντας σχετικά ο δρ Fawcett είπε: «Το θέμα είναι σημαντικό διότι όλες σχεδόν οι περιοχές επιστημών βασίζονται στη στενή σχέση των μαθηματικών με την πειραματική εργασία. Αν οι νέες θεωρίες παρουσιάζονται σε τρόπο που απωθεί τους λοιπούς επιστήμονες, τότε κανείς δεν θα εκτελεί τα κρίσιμα πειράματα που χρειάζονται για να αποδειχθεί η ορθότητα αυτών των θεωριών. Και κάτι τέτοιο θα σημάνει φραγμό στην επιστημονική πρόοδο». Οι δύο ερευνητές ρωτήθηκαν τι πίστευαν ότι μπορούσε να γίνει άμεσα για την επούλωση αυτού του μαθηματικογενούς τραύματος. Ο δρ Higginson απάντησε: «Οι επιστήμονες θα ήταν καλό να σκέπτονται εκ προοιμίου και προσεκτικά το πώς θα εμφανίσουν τις μαθηματικές πτυχές της εργασίας τους. Το ιδανικό θα ήταν όχι να πετάξουν τα μαθηματικά στην άκρη, αλλά να προσθέσουν επεξηγηματικό κείμενο που θα καθοδηγεί τον αναγνώστη μέσα από τις υποθέσεις και τις επιπτώσεις της θεωρίας τους». Αμέσως όμως μετά αναγνώρισε ότι μια τέτοια προσέγγιση θα συναντούσε την αντίδραση των εκδοτών επιστημονικών περιοδικών, που μισούν τις πολλές σελίδες.

«Τα κορυφαία επιστημονικά έντυπα προτιμούν τα άρθρα να είναι εξαιρετικά σύντομα και οι πολλές λεπτομέρειες να δημοσιεύονται στη διαδικτυακή έκδοσή τους, ως τεχνικό παράρτημα» πρόσθεσε ο δρ Fawcett. «Ευτυχώς, η μελέτη μάς έδειξε ότι οι εξισώσεις σε ένα παράρτημα δεν έχουν επίπτωση στις ετεροαναφορές (citations, αγγλιστί). Οπότε, αυτή μπορεί να είναι η πιο πρακτική λύση».

Οντως, ακούγεται πρακτική λύση αλλά δεν είναι η πραγματικά μακροπρόθεσμη λύση: Σε έναν κόσμο αυξανόμενης πολυπλοκότητας, τι θα συμβεί αν οι «επιφανέστεροι των επιστημόνων» - οι άνθρωποι που επηρεάζουν περισσότερο τις εξελίξεις - καταλήξουν να είναι εκείνοι που κατέστησαν διεπιστημονικά δημοφιλείς επειδή ακριβώς δεν... χαμπάριαζαν από μαθηματικά; Ισως σας ακούγεται ακραίο, όμως σε μια χώρα όπου πρυτάνεις δεν ψηφίζονται οι αξιότεροι αλλά οι δημοφιλέστεροι μεταξύ των φοιτητών και των πολιτικών, δεν θα έπρεπε.

 

Η γλώσσα του Σύμπαντος

Κατά την άποψη ημών των... κολλημένων στο «ουδείς αγεωμέτρητος εισίτω» του Πυθαγόρα και της Ακαδημίας Πλάτωνος, το έλλειμμα μαθηματικής παιδείας δεν αντιμετωπίζεται με μπαλώματα. Τα μαθηματικά δεν είναι γλωσσικό ιδίωμα των «φυτών». Είναι η γλώσσα δόμησης του Σύμπαντος, η γλώσσα των νόμων της Φύσης. Ακόμη κι αν ξεχάσουμε ότι και η γλώσσα μας - η Ελληνική - έχει ως αλφάβητό της μία σειρά αριθμών, δεν μπορούμε να διανοηθούμε μια κοινωνία του μέλλοντος όπου οι μόνοι ικανοί να επικοινωνούν μαθηματικά θα είναι τα ρομπότ!

Η εναντίωσή μας σε έναν τέτοιο συρμό μπορεί να εκδηλώνεται «δι' ασήμαντον αφορμήν», αλλά θαρρούμε ότι έχει πολύ μεγάλη σημασία ειδικά για τη χώρα μας: η μαθηματική σκέψη είναι ασπίδα λογικής, φραγμός του παραλόγου και βατήρας εκτίναξης του πολιτισμού. Το να σταματήσουμε την παραγνώρισή της και να αποδυθούμε στη βέλτιστη καλλιέργειά της είναι ίσως το καλύτερο που μας μένει να κάνουμε για τις αμέσως επόμενες γενιές. Ας μην τις θάψουμε στο «παράρτημα» της Ιστορίας.

 

ΚΟΡΥΦΗ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7 εξισώσεις που άλλαξαν τον κόσμο Ιαν Στιούαρτ καθηγητής Μαθηματικών στο Παν/μιο του Γουόρικ της Βρετανίας

Καμία από τις καθημερινές μας συνήθειες δεν θα ήταν εφικτή χωρίς τις επτά εξισώσεις

Το ξυπνητήρι χτυπάει. Κοιτάζετε το ρολόι. Η ώρα είναι 6.30 το πρωί. Δεν έχετε καλά-καλά σηκωθεί από το κρεβάτι και ήδη τουλάχιστον έξι μαθηματικές εξισώσεις έχουν μπει στη ζωή σας. Το τσιπάκι της μνήμης που αποθηκεύει την ώρα στο ρολόι σας δεν θα μπορούσε να φτιαχτεί χωρίς μια βασική εξίσωση της Κβαντομηχανικής. Η ώρα του έχει οριστεί από ένα ραδιοηλεκτρικό σήμα το οποίο δεν θα είχαμε επινοήσει ούτε στα όνειρά μας χωρίς τις τέσσερις εξισώσεις του ηλεκτρομαγνητισμού του Τζέιμς Κλαρκ Μάξγουελ. Αυτό δε το σήμα μεταδίδεται με βάση τον τύπο που είναι γνωστός ως κυματική εξίσωση. Κολυμπάμε συνεχώς σε έναν κρυφό ωκεανό εξισώσεων. Υπάρχουν πίσω από τις μεταφορές, το οικονομικό σύστημα, την Υγεία, την πρόληψη και τη διερεύνηση του εγκλήματος, τις επικοινωνίες, το φαγητό, το νερό, τη θέρμανση και τον φωτισμό μας.

Οταν μπαίνετε στο ντους εξισώσεις ρυθμίζουν την παροχή του νερού σας. Τα δημητριακά στο πρωινό σας προέρχονται από σοδειές που καλλιεργήθηκαν με τη βοήθεια στατιστικών εξισώσεων. Το αεροδυναμικό σχήμα του αυτοκινήτου με το οποίο πηγαίνετε στη δουλειά σας οφείλεται ως έναν βαθμό στις εξισώσεις Ναβιέ - Στρόουκς που περιγράφουν πώς ο αέρας ρέει γύρω του. Ανοίγοντας τον πλοηγό σας μπαίνετε ξανά στο πεδίο της Κβαντικής Φυσικής, όπως και σε αυτό των νόμων του Νεύτωνα για την κίνηση και τη βαρύτητα, οι οποίοι βοήθησαν στην εκτόξευση και στον καθορισμό της τροχιάς των γεωδαιτικών δορυφόρων. Η συσκευή χρησιμοποιεί επίσης εξισώσεις-γεννήτριες τυχαίων αριθμών για τον συγχρονισμό των σημάτων, τριγωνομετρικές εξισώσεις για τον υπολογισμό της θέσης, καθώς και την ειδική και γενική σχετικότητα για την ακριβή ανίχνευση της κίνησης των δορυφόρων υπό τη βαρύτητα της Γης. Χωρίς εξισώσεις το μεγαλύτερο μέρος της τεχνολογίας μας δεν θα είχε εφευρεθεί ποτέ. Βεβαίως σημαντικές εφευρέσεις όπως η φωτιά και ο τροχός προήλθαν χωρίς καμία μαθηματική γνώση. Παρ' όλα αυτά χωρίς τις εξισώσεις θα βρισκόμασταν ακόμη σε έναν κόσμο του Μεσαίωνα.

Οι εξισώσεις δεν περιορίζονται όμως μόνο στην τεχνολογία. Χωρίς αυτές δεν θα κατανοούσαμε τη Φυσική που διέπει τις παλίρροιες, τα κύματα που σκάνε στην ακτή, τις συνεχείς μεταβολές του καιρού, τις κινήσεις των πλανητών, τα πυρηνικά καμίνια των άστρων, τις σπείρες των γαλαξιών – την απεραντοσύνη του Σύμπαντος και τη θέση μας μέσα σε αυτό. Υπάρχουν χιλιάδες σημαντικές εξισώσεις. Οι επτά στις οποίες επικεντρώνομαι εδώ – η κυματική εξίσωση, οι τέσσερις εξισώσεις του Μάξγουελ, ο μετασχηματισμός του Φουριέ και η εξίσωση του Σρέντινγκερ – απεικονίζουν πώς οι εμπειρικές παρατηρήσεις οδήγησαν σε εξισώσεις τις οποίες χρησιμοποιούμε τόσο στην επιστήμη όσο και στην καθημερινή ζωή.

Ενας κόσμος κυμάτων Κατ' αρχάς, η κυματική εξίσωση. Ζούμε σε έναν κόσμο κυμάτων. Τα αφτιά μας ανιχνεύουν κύματα συμπίεσης στον αέρα ως ήχους, ενώ τα μάτια μας ανιχνεύουν κύματα φωτός. Οταν ένας σεισμός πλήττει μια πόλη, η καταστροφή προκαλείται από σεισμικά κύματα που κινούνται μέσα στη Γη. Θα ήταν δύσκολο οι μαθηματικοί και οι επιστήμονες να μην προβληματιστούν σχετικά με τα κύματα, η αφορμή όμως ήρθε από τις τέχνες: πώς παράγει ήχο ένα βιολί; Το ερώτημα ανάγεται στην αρχαιότητα και στους Πυθαγόρειους, οι οποίοι ανακάλυψαν ότι αν τα μήκη δύο χορδών ίδιου είδους και τάσης διέπονται από έναν απλό λόγο όπως 2:1 ή 3:2, τότε παράγουν νότες οι οποίες όταν παίζονται μαζί ακούγονται ασυνήθιστα αρμονικές. Οι πιο σύνθετοι λόγοι είναι δυσαρμονικοί και δυσάρεστοι στο αφτί. Ο ελβετός μαθηματικός Γιόχαν Μπερνούλι ήταν ο πρώτος που κατάλαβε το νόημα αυτών των παρατηρήσεων. Το 1727 απεικόνισε τη χορδή ενός βιολιού σαν έναν τεράστιο αριθμό από πυκνά σημεία μάζας που συνδέονται μεταξύ τους με ελάσματα. Χρησιμοποίησε τους νόμους του Νεύτωνα για να εξαγάγει τις εξισώσεις κίνησης του συστήματος και στη συνέχεια τις έλυσε. Από τις λύσεις συμπέρανε ότι το απλούστερο σχήμα για μια παλλόμενη χορδή είναι μια ημιτονοειδής καμπύλη. Υπάρχουν επίσης άλλοι τρόποι δόνησης – ημιτονοειδείς καμπύλες στις οποίες περισσότερα από ένα κύματα ταιριάζουν στο μήκος της χορδής, γνωστές στους μουσικούς ως αρμονικές.

Ντ'Αλαμπέρ: Βιολιά και σεισμοί Σχεδόν 20 χρόνια μετά, ο Ζαν λε Ρον ντ' Αλαμπέρ ακολούθησε μια παρόμοια διαδικασία. Επικεντρώθηκε όμως στην απλοποίηση των εξισώσεων της κίνησης και όχι στη λύση τους. Αυτό που προέκυψε ήταν μια κομψή εξίσωση η οποία περιγράφει πώς το σχήμα της χορδής αλλάζει με τον χρόνο. Αυτή είναι η κυματική εξίσωση, η οποία δηλώνει ότι η επιτάχυνση οποιουδήποτε μικρού τμήματος της χορδής είναι ανάλογη με την τάση που επιδρά σε αυτήν. Αυτό υποδηλώνει ότι τα κύματα των οποίων οι συχνότητες δεν παρουσιάζουν μια αναλογία απλών αριθμών παράγουν έναν δυσάρεστο θόρυβο σαν βουητό ο οποίος είναι γνωστός ως «διακροτήματα» (beats). Αυτός είναι ένας λόγος για τον οποίο οι απλοί αριθμητικοί λόγοι δίνουν νότες που ακούγονται αρμονικές. Η κυματική εξίσωση μπορεί να τροποποιηθεί για να χειριστεί πιο σύνθετα φαινόμενα, όπως οι σεισμοί. Εξελιγμένες μορφές της κυματικής εξίσωσης επιτρέπουν στους σεισμολόγους να ανιχνεύσουν τι συμβαίνει εκατοντάδες χιλιόμετρα κάτω από τα πόδια μας. Μπορούν να χαρτογραφήσουν τις τεκτονικές πλάκες της Γης καθώς αυτές γλιστρούν η μία κάτω από την άλλη προκαλώντας σεισμούς και ηφαιστειακές εκρήξεις. Το μεγαλύτερο τρόπαιο σε αυτόν τον τομέα θα ήταν ένας αξιόπιστος τρόπος πρόβλεψης των σεισμών και των ηφαιστειακών εκρήξεων και πολλές από τις μεθόδους που διερευνώνται γι' αυτόν τον σκοπό βασίζονται στην κυματική εξίσωση.

Από την άμαξα στον τηλέγραφο Οι εξισώσεις κρύβονται ακόμη και πίσω από τις καλλιέργειες που φέρνουν τα δημητριακά στο πρωινό μας. Η πιο σημαντική όμως έμπνευση που πρόσφερε η κυματική εξίσωση γεννήθηκε με τις εξισώσεις του Μάξγουελ για τον ηλεκτρομαγνητισμό. Το 1820 οι περισσότεροι άνθρωποι φώτιζαν τα σπίτια τους με κεριά και φανάρια. Αν θέλατε να στείλετε κάποιο μήνυμα, γράφατε ένα γράμμα και το βάζατε σε μια άμαξα που την έσερναν άλογα· για τα επείγοντα μηνύματα, παραλείπατε την άμαξα. Μέσα σε 100 χρόνια τα σπίτια και οι δρόμοι είχαν ηλεκτρικό φωτισμό, σήματα μεταφέρονταν με τον τηλέγραφο από ήπειρο σε ήπειρο και οι άνθρωποι άρχισαν ακόμη και να μιλάνε ο ένας στον άλλον από μακριά μέσω τηλεφώνου. Η ραδιοεπικοινωνία είχε αποδειχθεί στο εργαστήριο και ένας επιχειρηματίας είχε στήσει μια επιχείρηση πουλώντας «ασύρματα» στο κοινό. Η κοινωνική και τεχνολογική επανάσταση πυροδοτήθηκε από τις ανακαλύψεις δύο επιστημόνων. Περίπου το 1830 ο Μάικλ Φαραντέι έθεσε τα θεμέλια της Φυσικής του Ηλεκτρομαγνητισμού. Τριάντα χρόνια αργότερα ο Τζέιμς Κλαρκ Μάξγουελ ξεκίνησε την αναζήτησή του προσπαθώντας να διατυπώσει μια μαθηματική βάση για τα πειράματα και τις θεωρίες του Φαραντέι.

Φαραντέι: τα πεδία Την εποχή εκείνη οι περισσότεροι φυσικοί που εργάζονταν στον ηλεκτρισμό και στον μαγνητισμό αναζητούσαν αναλογίες με τη βαρύτητα, την οποία έβλεπαν ως μια δύναμη που επενεργεί σε δύο σώματα τα οποία βρίσκονται σε απόσταση μεταξύ τους. Ο Φαραντέι είχε μια διαφορετική ιδέα: για να εξηγήσει τη σειρά των πειραμάτων που έκανε σε σχέση με τον ηλεκτρισμό και τον μαγνητισμό υποστήριξε ότι και τα δύο φαινόμενα είναι πεδία τα οποία διαχέονται στον χώρο, αλλάζουν με τον χρόνο και μπορούν να ανιχνευθούν από τις δυνάμεις που παράγουν. Ο Φαραντέι διετύπωσε τις θεωρίες του με τους όρους γεωμετρικών σχημάτων, όπως οι γραμμές μαγνητικής δύναμης. Ο Μάξγουελ επαναδιατύπωσε αυτές τις ιδέες κατ' αναλογία με τα Μαθηματικά της ροής των ρευστών. Υποστήριξε ότι οι γραμμές της δύναμης ήταν ανάλογες με τις διαδρομές που ακολουθούν τα μόρια ενός ρευστού και ότι η ένταση του ηλεκτρικού ή του μαγνητικού πεδίου ήταν ανάλογη με την ταχύτητα του ρευστού. Ως το 1864 ο Μάξγουελ είχε διατυπώσει τέσσερις εξισώσεις για τις βασικές αλληλεπιδράσεις ανάμεσα στα ηλεκτρικά και στα μαγνητικά πεδία. Οι δύο μάς λένε ότι ο ηλεκτρισμός και ο μαγνητισμός δεν μπορούν να διαρρεύσουν σε μεγάλη απόσταση. Οι άλλες δύο μάς λένε ότι όταν μια περιοχή ηλεκτρικού πεδίου περιστρέφεται κυκλικά δημιουργεί μαγνητικό πεδίο, ενώ μια περιστρεφόμενη περιοχή μαγνητικού πεδίου δημιουργεί ηλεκτρικό πεδίο.

Μάξγουελ: Φως στο φως Εκείνο όμως το οποίο έκανε όλα αυτά τόσο εκπληκτικά ήταν αυτό που ο Μάξγουελ έκανε στη συνέχεια. Κάνοντας μερικές απλές μετατροπές στις εξισώσεις του, μπόρεσε να εξαγάγει την κυματική εξίσωση και συμπέρανε ότι το φως θα πρέπει να είναι ένα ηλεκτρομαγνητικό κύμα. Αυτό και μόνο ήταν καταπληκτικό, εφόσον κανείς ως τότε δεν είχε φανταστεί μια τόσο θεμελιώδη σχέση ανάμεσα στο φως, στον ηλεκτρισμό και στον μαγνητισμό. Δεν ήταν όμως μόνον αυτό. Το φως υπάρχει σε διάφορα χρώματα, αντίστοιχα με διαφορετικά μήκη κύματος. Τα μήκη κύματος που εμείς βλέπουμε περιορίζονται από τη χημεία των χρωστικών του ματιού που ανιχνεύουν το φως. Οι εξισώσεις του Μάξγουελ οδήγησαν σε μια συγκλονιστική πρόβλεψη – ότι ήταν δυνατόν να υπάρχουν ηλεκτρομαγνητικά κύματα όλων των μηκών κύματος. Κάποια από αυτά, με μήκη κύματος μεγαλύτερα από αυτά που μπορούμε να δούμε, θα άλλαζαν τον κόσμο: τα ραδιοκύματα. Το 1887 ο Χάινριχ Χερτς απέδειξε πειραματικά τα ραδιοκύματα. Δεν υπολόγισε όμως την πιο επαναστατική εφαρμογή τους. Αν μπορούσε κανείς να εντυπώσει ένα σήμα επάνω σε ένα τέτοιο κύμα θα μπορούσε να μιλήσει στον κόσμο. Ο Νίκολα Τέσλα, ο Γουλιέλμος Μαρκόνι και άλλοι έκαναν το όνειρο αυτό πραγματικότητα και ολόκληρη η πανοπλία των σύγχρονων επικοινωνιών, από το ραδιόφωνο και την τηλεόραση ως το ραντάρ και τις ζεύξεις μικροκυμάτων για τα κινητά τηλέφωνα, ήταν ένα φυσικό επακόλουθο. Και όλα προήλθαν από τέσσερις εξισώσεις και δύο σύντομους υπολογισμούς. Οι εξισώσεις του Μάξγουελ δεν άλλαξαν απλώς τον κόσμο. Ανοιξαν έναν καινούργιο.

Εξίσου σημαντικά με αυτά που περιγράφουν οι εξισώσεις του Μάξγουελ είναι εκείνα που δεν περιγράφουν. Αν και οι εξισώσεις αποκάλυψαν ότι το φως είναι κύμα, οι φυσικοί σύντομα ανακάλυψαν ότι η συμπεριφορά του μερικές φορές δεν συμβάδιζε με αυτή την άποψη. Αν ρίξετε φως σε ένα μέταλλο παράγεται ηλεκτρισμός – ένα φαινόμενο που ονομάζεται φωτοηλεκτρικό φαινόμενο. Αυτό θα είχε νόημα μόνο αν το φως συμπεριφερόταν σαν σωματίδιο. Ηταν λοιπόν το φως κύμα ή σωματίδιο; Στην πραγματικότητα ήταν και τα δύο. Η ύλη αποτελείται από κβαντικά κύματα και μια σφιχτοδεμένη δέσμη κυμάτων ενεργεί σαν σωματίδιο.

Σρέντινγκερ: Νεκρή ή ζωντανή; Στον παράξενο κόσμο των κβαντικών υπολογισμών του Σρέντιγκερ μια γάτα μπορεί να είναι νεκρή και ζωντανή ταυτοχρόνως.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Το 1927 ο Ερβιν Σρέντινγκερ ανέπτυξε μια εξίσωση για τα κβαντικά κύματα. Αυτή ταίριαζε άψογα στα πειράματα, ενώ παράλληλα περιέγραφε έναν πολύ παράξενο κόσμο, στον οποίο τα θεμελιώδη σωματίδια όπως το ηλεκτρόνιο δεν είναι αυστηρά καθορισμένα αντικείμενα αλλά νέφη πιθανοτήτων. Η ιδιοστροφορμή (spin) ενός ηλεκτρονίου είναι σαν ένα νόμισμα το οποίο μπορεί να είναι μισό κορόνα - μισό γράμματα ώσπου να πέσει στο τραπέζι. Σύντομα οι θεωρητικοί άρχισαν να προβληματίζονται για ένα σωρό κβαντικές παραξενιές, όπως οι γάτες που ήταν ταυτοχρόνως νεκρές και ζωντανές και τα παράλληλα σύμπαντα στα οποία ο Αδόλφος Χίτλερ κέρδιζε τον Β' Παγκόσμιο Πόλεμο. Η Κβαντομηχανική δεν περιορίζεται όμως μόνο σε φιλοσοφικά αινίγματα. Σχεδόν όλες οι σύγχρονες συσκευές – ηλεκτρονικοί υπολογιστές, κινητά τηλέφωνα, κονσόλες βιντεοπαιχνιδιών, αυτοκίνητα, ψυγεία, φούρνοι – έχουν τσιπ μνήμης που βασίζονται στο τρανζίστορ, του οποίου η λειτουργία βασίζεται στην Κβαντομηχανική των Ημιαγωγών. Νέες χρήσεις της Κβαντομηχανικής φθάνουν σχεδόν κάθε εβδομάδα. Οι κβαντικές τελείες – μικροσκοπικοί «σβώλοι» ημιαγωγών – μπορούν να εκπέμψουν φως οποιουδήποτε χρώματος και χρησιμοποιούνται στις βιολογικές απεικονίσεις, όπου μπορούν να αντικαταστήσουν τις παραδοσιακές, συχνά τοξικές, χρωστικές. Οι μηχανικοί και οι φυσικοί προσπαθούν να επινοήσουν έναν κβαντικό υπολογιστή ο οποίος θα μπορεί να εκτελεί πολλούς διαφορετικούς υπολογισμούς παράλληλα, σαν τη γάτα που είναι μαζί νεκρή και ζωντανή.

Τα λέιζερ αποτελούν μιαν άλλη εφαρμογή της Κβαντομηχανικής. Τα χρησιμοποιούμε για να διαβάσουμε πληροφορίες από μικροσκοπικά «λακκάκια» στους δίσκους CD, DVD και Blu-ray. Οι αστρονόμοι τα χρησιμοποιούν για να μετρήσουν την απόσταση από τη Γη ως τη Σελήνη. Ισως ακόμη και να ήταν δυνατόν να εκτοξεύσουμε διαστημικά οχήματα από τη Γη επάνω σε μια ισχυρή ακτίνα λέιζερ.

Φουριέ: πάνω απ' όλα η μέθοδος Το τελευταίο κεφάλαιο σε αυτή την ιστορία έρχεται από μια εξίσωση η οποία μας βοηθά να κατανοήσουμε τα κύματα. Αρχίζει το 1807, όταν ο Ζοζέφ Φουριέ επινόησε μια εξίσωση για τη ροή της θερμότητας. Υπέβαλε το σχετικό άρθρο στη Γαλλική Ακαδημία Επιστημών, όμως αυτό απερρίφθη. Το 1812 η Ακαδημία όρισε τη θερμότητα ως θέμα για το ετήσιο βραβείο της. Ο Φουριέ υπέβαλε ένα μακροσκελέστερο, αναθεωρημένο άρθρο – και κέρδισε. Η πιο ενδιαφέρουσα πλευρά του βραβευμένου άρθρου του Φουριέ δεν ήταν η εξίσωση αλλά ο τρόπος με τον οποίο την έλυσε. Ενα βασικό πρόβλημα ήταν το να βρει κανείς πώς η θερμότητα κατά μήκος μιας λεπτής ράβδου αλλάζει με τον χρόνο με βάση το πρότυπο της αρχικής θερμοκρασίας. Ο Φουριέ θα μπορούσε να λύσει την εξίσωση άνετα αν η θερμοκρασία μεταβαλλόταν σαν ημιτονοειδές κύμα κατά μήκος της ράβδου. Απεικόνισε ένα πιο σύνθετο πρότυπο με έναν συνδυασμό ημιτονοειδών καμπυλών με διαφορετικά μήκη κύματος, έλυσε την εξίσωση για κάθε συνιστώσα ημιτονοειδή καμπύλη και πρόσθεσε αυτές τις λύσεις μεταξύ τους. Ο Φουριέ υποστήριξε ότι η μέθοδος αυτή ίσχυε για οποιοδήποτε πρότυπο, ακόμη και για εκείνα στα οποία η θερμοκρασία αλλάζει απότομα τιμή. Το μόνο που χρειαζόταν ήταν να προσθέσει κανείς έναν άπειρο αριθμό συνιστωσών από ημιτονοειδείς καμπύλες. Παρ' όλα αυτά το νέο άρθρο του Φουριέ επικρίθηκε ότι δεν ήταν αρκετά τεκμηριωμένο και για ακόμη μία φορά η Γαλλική Ακαδημία αρνήθηκε να το δημοσιεύσει. Το 1822 ο Φουριέ αγνόησε τις αντιρρήσεις και δημοσίευσε τη θεωρία του ως βιβλίο. Δύο χρόνια αργότερα έγινε γραμματέας της Ακαδημίας, έβγαλε τη γλώσσα στους επικριτές του και δημοσίευσε την αρχική εργασία στην επιθεώρηση της Ακαδημίας. Ωστόσο οι επικριτές είχαν ένα δίκιο. Οι μαθηματικοί είχαν αρχίσει να συνειδητοποιούν ότι οι άπειρες σειρές ήταν επικίνδυνα όντα: δεν συμπεριφέρονταν πάντα σαν τα ωραία, πεπερασμένα αθροίσματα. Η επίλυση αυτών των ζητημάτων αποδείχθηκε εξαιρετικά δύσκολη, όμως η τελική ετυμηγορία ήταν ότι η ιδέα του Φουριέ θα μπορούσε να τεκμηριωθεί πλήρως αποκλείοντας τα εξαιρετικά άτακτα πρότυπα. Το αποτέλεσμα είναι ο μετασχηματισμός του Φουριέ, μια εξίσωση η οποία αντιμετωπίζει ένα μεταβαλλόμενο με τον χρόνο σήμα ως το άθροισμα μιας σειράς από συνιστώσες ημιτονοειδείς καμπύλες υπολογίζοντας τα πλάτη και τις συχνότητές τους.

Παρών σε κάθε «κλικ» Σήμερα ο μετασχηματισμός του Φουριέ επηρεάζει τη ζωή μας με χίλιους τρόπους. Για παράδειγμα, μπορούμε να τον χρησιμοποιήσουμε για να αναλύσουμε το σήμα της δόνησης που παράγεται από έναν σεισμό και να υπολογίσουμε τις συχνότητες στις οποίες η ενέργεια που μεταδίδεται στο έδαφος είναι μεγαλύτερη. Ενα βήμα για την αντισεισμική θωράκιση ενός κτιρίου είναι να εξασφαλίσει κανείς ότι οι προτιμώμενες συχνότητες του κτιρίου διαφέρουν από αυτές της σεισμικής δόνησης.

Αλλες εφαρμογές περιλαμβάνουν την απάλειψη του θορύβου από παλαιές ηχογραφήσεις, την ανακάλυψη της δομής του DNA μέσω της απεικόνισης με ακτίνες Χ, τη βελτίωση της λήψης των ραδιοηλεκτρικών σημάτων και την αποφυγή ανεπιθύμητων κραδασμών στα αυτοκίνητα. Επίσης όλοι μας επωφελούμαστε από αυτήν κάθε φορά που παίρνουμε μια ψηφιακή φωτογραφία.


ΚΟΡΥΦΗ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Πώς να τινάξετε την μπάνκα στον αέρα Michael Slezak 

Δύο φοιτητές εφόρμησαν σε καζίνο και κέρδισαν υπολογίζοντας με έναν δικό τους μαθηματικό τύπο Ενας επιφανής μαθηματικός ο οποίος έγινε διάσημος σε όλον τον κόσμο επειδή κατόρθωσε να «γυρίσει» τις πιθανότητες στη ρουλέτα υπέρ του και εναντίον της μπάνκας έσπασε την πολύχρονη σιωπή του σχετικά με το πώς πέτυχε αυτόν τον άθλο. Στα τέλη της δεκαετίας του 1970 ο Ντόιν Φάρμερ χρησιμοποίησε τον πρώτο υπολογιστή στον κόσμο που μπορούσε να φορεθεί (κρυμμένο μέσα στο παπούτσι του) για να κερδίσει τα τραπέζια της ρουλέτας στη Νεβάδα. Δεν αποκάλυψε όμως ποτέ πώς το έκανε.

Σπάζοντας τη σιωπή Τώρα αποφάσισε να σπάσει τη μακρά σιωπή του, καθώς δύο ερευνητές, εμπνεόμενοι από την ιστορία του, ανέπτυξαν και δημοσίευσαν τη δική τους μέθοδο για να κερδίσει κάποιος την μπάνκα. «Δεν μιλούσα επειδή δεν ήθελα να κάνω γνωστή οποιαδήποτε πληροφορία θα μπορούσε να εμποδίσει οποιονδήποτε να πάρει τα χρήματα των καζίνων» γράφει ο κ. Φάρμερ, ο οποίος σήμερα είναι καθηγητής στο Πανεπιστήμιο της Οξφόρδης, σε ένα προσχέδιο άρθρου που γνωστοποίησε στο «New Scientist». «Δεν βλέπω πλέον κάποιον ικανό λόγο για να διατηρήσω περισσότερο τη σιωπή μου».

Τάξη στο χάος της μπίλιας Το άρθρο του κ. Φάρμερ αποτελεί απάντηση σε μια πρόσφατη μελέτη του Μάικλ Σμολ από το Πανεπιστήμιο της Δυτικής Αυστραλίας στο Περθ και του Μάικλ Τσε από το Πολυτεχνείο του Χονγκ Κονγκ η οποία έχει υποβληθεί προς δημοσίευση στην επιθεώρηση «Chaos». Οι δύο ερευνητές δείχνουν ότι με μερικές μετρήσεις και με έναν μικρό υπολογιστή ή ένα smart phone μπορεί κάποιος πραγματικά να αντιστρέψει τις πιθανότητες προς όφελός του. Το κόλπο έγκειται στο να καταγράψει πότε η μπίλια και ένα καθορισμένο τμήμα τού περιστρεφόμενου τροχού περνούν από ένα επιλεγμένο σημείο.

Το μοντέλο τους χωρίζει το παιχνίδι σε δύο μέρη: αυτό που συντελείται εν όσω η μπίλια γυρίζει γύρω από τη στεφάνη του τροχού και στη συνέχεια πέφτει, το οποίο είναι εξαιρετικά προβλέψιμο, και στο τι συμβαίνει από τη στιγμή που η μπίλια αρχίζει να αναπηδά σε διάφορα σημεία - διαδικασία η οποία είναι χαοτική. Ο κ. Σμολ και ο κ. Τσε κατόρθωσαν να υπολογίσουν χονδρικά σε ποιο σημείο η μπίλια είναι πιθανότερο να ξεκινήσει το ακανόνιστο αναπήδημά της και άρα σε ποιο τμήμα του τροχού είναι πιθανότερο να σταματήσει.

Μία στις πέντε κερδίζεις! Χρησιμοποιώντας μια διακριτική συσκευή μέτρησης παρόμοια με εκείνη του κ. Φάρμερ, οι δύο ερευνητές μπόρεσαν να προβλέψουν σε ποιο μισό του τροχού θα έπεφτε η μπίλια σε 13 από τις 22 δοκιμές. Σε τρεις δοκιμές μάλιστα το μοντέλο προέβλεψε την ακριβή θέση. Αυτό ισοδυναμεί με αντιστροφή των πιθανοτήτων από 2,7% υπέρ της μπάνκας (στις ευρωπαϊκές ρουλέτες) σε 18% υπέρ του παίκτη. Αυτός ο αριθμός των δοκιμών είναι πολύ μικρός, γι' αυτό στη συνέχεια οι επιστήμονες επαλήθευσαν την τεχνική τους με 700 δοκιμές στις οποίες χρησιμοποίησαν ένα αυτόματο σύστημα με κάμερα, το οποίο όμως δεν ήταν καθόλου διακριτικό ώστε να μπορεί να χρησιμοποιηθεί στο καζίνο. Ο κ. Φάρμερ λέει ότι το μοντέλο του κ. Σμολ και του κ. Τσε μοιάζει πολύ με το δικό του, εκτός από το ότι οι δύο ερευνητές θεωρούν ότι η κύρια δύναμη που επιβραδύνει την μπίλια είναι η τριβή με τη στεφάνη, ενώ εκείνος είχε διαπιστώσει ότι αυτή ήταν η αντίσταση του αέρα. Ο κ. Σμολ πιστεύει ότι τα καζίνα γνωρίζουν αυτό το κόλπο. Ο Χόλγκερ Ντάτλιν, ειδικός στη θεωρία του χάους και στη μηχανική από το Πανεπιστήμιο του Σίδνεϊ, υποστηρίζει ότι τα καζίνα μπορεί να προφυλάσσονται εναντίον του συγκεκριμένου κόλπου κλείνοντας τα στοιχήματα προτού ο τροχός γυρίσει αρκετές φορές ώστε να γίνουν οι απαραίτητες μετρήσεις.

Ο κ. Σμολ δηλώνει επίσης ότι αρκετοί άνθρωποι του έχουν αναφέρει ότι έχουν δοκιμάσει το κόλπο και ότι αυτό πιάνει: «Ενας μάλιστα μου έστειλε φωτογραφίες του δαχτύλου του ποδιού του στο οποίο είχε προσαρμόσει μια μικροσκοπική συσκευή».
ΤΟ ΡΙΦΙΦΙ Το πείραμα των «Ευδαιμόνων» Οντας τελειόφοιτοι φοιτητές στο Πανεπιστήμιο της Καλιφόρνιας στη Σάντα Κρους, στα τέλη της δεκαετίας του 1970, ο Ντόιν Φάρμερ και ο Νόρμαν Πάκαρντ - ο οποίος αργότερα θα γινόταν ένας από τους θεμελιωτές της θεωρίας του χάους - ίδρυσαν την ομάδα των «Eudaemons» ή «Ευδαιμόνων», εμπνεόμενοι από τη φιλοσοφία του ευδαιμονισμού. Στόχος τους ήταν να αναπτύξουν με επιστημονικές μεθόδους έναν μαθηματικό τύπο ο οποίος θα τους επέτρεπε να κερδίσουν στη ρουλέτα. Αν το κατάφερναν, θα χρησιμοποιούσαν τα κέρδη για να ιδρύσουν έναν επιστημονικό σύλλογο. Υστερα από δύο χρόνια μελετών τα μέλη της ομάδας εφόρμησαν σε καζίνο του Λας Βέγκας εξοπλισμένοι με κρυφές κάμερες - οι οποίες κατέγραφαν τις κινήσεις του τροχού της ρουλέτας και της μπίλιας - και μίνι υπολογιστές «χωμένους» στα παπούτσια τους. Το σύστημα λειτουργούσε με δύο πρόσωπα: έναν «παίκτη», ο οποίος πόνταρε τα χρήματα, και έναν «παρατηρητή», ο οποίος υπολόγιζε με βάση τα δεδομένα τις πιθανότητες και έδινε οδηγίες στον παίκτη. Η εξόρμηση αποδείχθηκε κερδοφόρα αλλά και... καυτή. Οι συσκευές που χρησιμοποιούσαν οι «Ευδαίμονες» ήταν αυτοσχέδιες και η μόνωση στον εξοπλισμό μιας παίκτριας χάλασε με αποτέλεσμα να καεί. Κατόπιν αυτού, οι δύο ιδρυτές αποφάσισαν να διαλύσουν την ομάδα. Το πείραμά τους όμως είχε στην ουσία πετύχει: απέδειξαν για πρώτη φορά ότι με τη βοήθεια ορισμένων δεδομένων μπορούσε κανείς να προβλέψει με ικανοποιητική ακρίβεια πού θα πέσει η μπίλια μιας ρουλέτας. Το σύστημά τους τούς απέφερε κέρδος κατά μέσον όρο 44% για κάθε δολάριο που πόνταραν. Εφυγαν από το καζίνο έχοντας κερδίσει όλοι μαζί συνολικά περίπου 10.000 δολάρια. Ως σήμερα οι πλήρεις λεπτομέρειες της μεθόδου δεν έχουν αποκαλυφθεί.

Τυχερά παιχνίδια: τα παίζεις ή σε παίζουν; 
ΚΟΡΥΦΗ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Καλοκαιρινές αποδράσεις με μαθηματική μυθοπλασία Μπορεί άραγε να «μεταφραστεί» η αυστηρή και ανοίκεια (για τους περισσότερους) γλώσσα των μαθηματικών στην εύπλαστη και πολυσήμαντη γλώσσα της λογοτεχνίας; Είναι δυνατόν οι σκοτεινές και αφηρημένες ιδέες της μαθηματικής σκέψης να αποτελέσουν το αντικείμενο ή τον φέροντα σκελετό όχι ενός δοκιμιακού λόγου, όπως συμβαίνει συνήθως, αλλά μιας ευφάνταστης μυθοπλασίας με σοβαρές λογοτεχνικές αξιώσεις;

Πολύ μελάνι έχει χυθεί για το αν όντως υπάρχει «μαθηματική λογοτεχνία» ως αυτόνομο λογοτεχνικό γένος ή αν, αντίθετα, μπορεί να υπάρχει μόνο ένα είδος λογοτεχνικών αφηγήσεων, οι οποίες χρησιμοποιούν συνήθως κάποια δυσεπίλυτα προβλήματα ή, εναλλακτικά, κάποιες αινιγματικές προσωπικότητες από τον κόσμο των μαθηματικών με τρόπο προσχηματικό: για να διηγηθούν, απλώς και μόνο, μια πρωτότυπη ιστορία. Πρόκειται δηλαδή, όπως υποστηρίζουν όσοι αρνούνται τη νομιμότητα του όρου «μαθηματική λογοτεχνία», για καθαρή μυθοπλαστική γραφή που ενδεχομένως παρουσιάζει κάποιο ενδιαφέρον από λογοτεχνική αλλά όχι από επιστημονική άποψη.


ΚΟΡΥΦΗ

 

 

 

 

 

Η ιστοσελίδα αυτή είναι  τμήμα του οικοχώρου " ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ" &" Η ΓΝΩΣΗ ΜΕ ΕΝΑ ΚΛΙΚ"

 

 

 

 

Μετρητής               Επισκεπτών  ΟΡΟΙ ΧΡΗΣΗΣ © 2008-2009 ΒΟΥΛΑ ΒΑΒΑΡΟΥΤΣΟΥ*   τελευταία ενημέρωση: 28/01/2016.

         από 6/4/09  ..free counters.free counters....

.  

.............