Ένα από τα μαθηματικά προβλήματα που αντιμετώπιζαν οι μαθηματικοί στην αρχαία εποχή ήταν και το εξής:

Είναι δυνατόν να έχουμε άθροισμα με άπειρους προσθετέους και να πάρουμε αποτέλεσμα έναν πεπερασμένο πραγματικό αριθμό;

 Ο Αρχιμήδης (287 – 212 π Χ) , χρησιμοποιώντας την λεγόμενη «μέθοδο της εξάντλησης»

του Ευδόξου  (περίπου το 400 π.Χ) έδωσε απάντηση με το παρακάτω παράδειγμα

Συγκεκριμένα έχοντας το άθροισμα

με  άπειρους προσθετέους , να πως δικαιολόγησε ότι το αποτέλεσμα  είναι πραγματικός αριθμός

Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να μοιράσουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ μήκους μιας μονάδας, σε τρία άτομα.

Κόβουμε το τμήμα ΑΒ σε τέσσερα κομμάτια και δίνουμε σε κάθε έναν από ένα κομμάτι.

Έτσι ο καθένας θα πάρει το  ¼  και θα περισσέψει και ένα κομμάτι από τα τέσσερα, έστω  το ΕΒ. Το κομμάτι αυτό ΕΒ που περίσσεψε το κόβουμε πάλι σε τέσσερα κομμάτια, δίνουμε σε κάθε έναν από ένα δηλαδή δίνουμε το ¼ του ¼  άρα το 1/16   και περισσεύει το ένα κομμάτι. Το κομμάτι αυτό ΘΒ που περίσσεψε το κόβουμε πάλι σε τέσσερα κομμάτια, δίνουμε σε κάθε έναν από ένα δηλαδή δίνουμε το ¼ του 1/16  άρα το 1/64   και περισσεύει το ένα κομμάτι. Συνεχίζουμε αυτή τη διαδικασία μέχρι να «εξαντληθεί» το ευθύγραμμο τμήμα. Όμως το κάθε άτομο θα πάρει σαν μερίδιο το 1/3 του ευθύγραμμου τμήματος, δηλαδή το ζητούμενο άθροισμα ισούται με 1/3   

Το παράδειγμα αυτό καθώς και άλλα γνωστά σαν παράδοξα του Ζήνωνα του Ελεάτη όπως το βέλος του τοξότη, τον Αχιλλέα και τη χελώνα τα παρουσίασα το 1988 σε διδασκαλία στο σχολείο μου  που έκανα στα πλαίσια της επιμόρφωσης της ΣΕΛΜΕ

Αρχιμήδης Ο μεγάλος μαθηματικός της αρχαιότητας

Ο Αρχιμήδης γεννήθηκε στις Συρακούσες το 287π.Χ και πέθανε το 212 π.Χ. κατά τη ρωμαϊκή κατοχή. Πιθανότατα ήταν γιος του αστρονόμου Φειδία. Στην ευγένειά του όφειλε το σύνδεσμό του με την αυλή του τυράννου των Συρακουσών Ιέρωνα, με τον οποίο είχε και προσωπική φιλία, και στον πλούτο του το ότι κατόρθωσε να ταξιδέψει στην Αλεξάνδρεια…
Στην Αλεξάνδρεια έκανε γνωριμίες με τον κύκλο των επιστημόνων που είχε δημιουργήσει ο Ευκλείδης. Συνδέθηκε με το Σάμιο μαθηματικό Κόνωνα, του οποίου την κρίση εκτιμούσε πολύ, το μαθητή αυτού Δοσίθεο και το βιβλιοθηκάριο της Αλεξάνδρειας Ερατοσθένη, ο οποίος καταγινόταν όχι μόνον με τη Γεωγραφία, αλλά και με την Αστρονομία, τα Μαθηματικά, καθώς και με τις χρονολογικές και φιλολογικές μελέτες. Κατά το διάστημα της παραμονής του στην Αλεξάνδρεια λέγεται ότι ο Αρχιμήδης επινόησε μηχάνημα κατάλληλο για την άντληση νερού, το οποίο ονομάστηκε "αιγυπτιακός κοχλίας" και χρησιμοποιήθηκε ευρύτατα.
Επιστρέφοντας στις Συρακούσες αφοσιώθηκε στις θεωρητικές επιστημονικές μελέτες, ώστε, σύμφωνα με όσα γράφει ο Πλούταρχος, είχε λησμονήσει και την τροφή και παρέλειπε την περιποίηση του σώματος. Ο ίδιος υποστηρίζει ότι κάποτε μέσα στο λουτρό, από την υπερχείλιση του νερού που εκτόπιζε το σώμα του, συνέλαβε τη λύση του προβλήματος του σχετικού με τη γνησιότητα του χρυσού στεφάνου του Ιέρωνα πήδησε από το λουτρό, σαν άνθρωπος που κυριεύεται από θεϊκή μανία, και βάδιζε στους δρόμους φωνάζοντας "εύρηκα".
Λέγεται επίσης ότι κατά την πολιορκία των Συρακουσών από τους Ρωμαίους προστάτευσε… σχεδόν μόνος με τα μηχανήματά του επί τρία χρόνια την πόλη του. Με μεγάλους γάντζους, που έβγαιναν από τα τείχη, άρπαζε και σήκωνε ψηλά τα πλοία του πλησίαζαν στην πόλη και ύστερα τα άφηνε να πέσουν και να τσακιστούν στους βράχους ή να βουλιάξουν στη θάλασσα. Αυτό το κατόρθωνε με συνδυασμό μοχλών. Είχε επινοήσει ένα είδος καταπέλτη με τον οποίο οι Συρακούσιοι βομβάρδιζαν με βροχή από πέτρες τους Ρωμαίους. Ακόμα ότι είχε κατασκευάσει σφαιρικά ή παραβολικά κάτοπτρα, που συγκέντρωναν τις ακτίνες του ηλίου, τις έριχναν πάνω στα εχθρικά πλοία και τα έκαιγαν μπροστά στα έκπληκτα μάτια των Ρωμαίων. Δηλαδή το κόλπο που έκανε ήταν να χρησιμοποιήσει μικρούς καθρέφτες που στόχευαν σε ένα μεγαλύτερο (ανακατευθύνοντας την αντανάκλαση του ήλιου) και με αυτόν τον μεγάλο καθρέφτη να στοχεύει τα πλοία έχοντας πια συγκεντρώσει τις αντανακλάσεις των μικρότερων καθρεπτών. Εντυπωσιακό είναι ότι έφτιαξε και μηχανισμό για να διορθώνει τη στόχευση των μικρών καθρεπτών στον μεγάλο, προφανώς όχι τόσο για διαφορές χειμώνα καλοκαιριού αλλά για τις διάφορες ώρες της ημέρας που ο ήλιος βρισκόταν σε άλλη θέση.
Όταν τελικά μπήκαν οι Ρωμαίοι στην πόλη, ο στρατηγός Μάρκελλος έδωσε εντολή στους στρατιώτες του να μην πειράξουν τον Αρχιμήδη και το σπίτι του. Ένας όμως Ρωμαίος οπλίτης βρήκε τον Αρχιμήδη στον κήπο του σπιτιού του να χαράζει γεωμετρικά σχήματα πάνω στην άμμο. "Μη μου τους κύκλους τάραττε" πρόλαβε να φωνάξει ο μεγάλος μαθηματικός. Ο στρατιώτης όμως, αγνοώντας ποιον έχει μπροστά του, τον σκότωσε με το ξίφος του.

ΤΑ ΕΡΓΑ

Τα συγγράμματα του Αρχιμήδη που σώθηκαν μέχρι σήμερα είναι τα ακόλουθα: Περί σφαίρας και κυλίνδρου, Κύκλου μέτρησις, Περί σφαιροειδέων και κωνοειδέων, Περί ελίκων, Επιπέδων ισορροπιών ή κέντρα βαρών επιπέδων, Ψαμμίτης, Τετραγωνισμός παραβολής, Οχουμένων, Στομάχιον, Προς Ερατοσθένην Έφοδος, Βιβλίον περί λημμάτων, Πρόβλημα βοεικόν, Αποσπάσματα. Μερικά από αυτά διασώθηκαν ατελώς. Πολλά επίσης είναι τα συγγράμματά του που χάθηκαν.
   Έκανε τα πρώτα βήματα για το μαθηματικό υπολογισμό επιφανειών με ακανόνιστο περίγραμμα και συμμετρικών εκ περιστροφής σωμάτων, -μέθοδος που εξελίχθηκε, τεκμηριώθηκε και ονομάστηκε στη σύγχρονη εποχή «Ολοκληρωτικός Λογισμός»-, υπολόγισε μία προσεγγιστική τιμή για τον άρρητο αριθμό π, διατύπωσε το νόμο της Μηχανικής για τους μοχλούς και αντιλαμβανόμενος τις απεριόριστες προεκτάσεις του, γενίκευσε την εφαρμογή λέγοντας «Δώσε μου σημείο να στηριχθώ και θα κινήσω τη γη», διατύπωσε την ομώνυμη αρχή για την άνωση του νερού, κατασκεύασε διάφορες μηχανές, ένα τύπο πολύσπαστου, τον κοχλία, μία αντλητική μηχανή με την «αρχιμήδειον έλικα» κ.ά.
    Στον χώρο της εφαρμοσμένης μηχανικής ο Αρχιμήδης επινόησε ιδιοφυείς μηχανές κάθε είδους. Εφηύρε τον Ρωμαϊκό ζυγό (καντάρι), το τρίσπαστο (ανυψωτική τριπλή τροχαλία) και τον ατέρμονα κοχλία "έλιξ του Αρχιμήδους", μηχανή άντλησης νερού από ποταμούς και φρέατα (η οποία χρησιμοποιείται ακόμα και στις μέρες μας σε περιοχές της Β. Αφρικής). Για την μέτρηση του χρόνου κατασκεύασε ένα υδραυλικό ρολόι το οποίο υπολόγιζε με μεγάλη ακρίβεια τις ώρες (και ειδοποιούσε για την αλλαγή της ώρας). Μεγάλη φήμη απέκτησαν και οι πολεμικές μηχανές του Αρχιμήδη: "αρχιτρόνιτο" (πυροβόλο ατμού - το οποίο πολλούς αιώνες αργότερα «επανα- ανακάλυψε» και ο Λεονάρντο Ντα Βίντσι), "καταπέλτες", "αρπάγες" (ένας μηχανισμός ο οποίος ανύψωνε και αναποδογύριζε τα εχθρικά πλοία) και "κάτοπτρα" για την καύση των Ρωμαϊκών εχθρικών πλοίων (με παραβολικά κάτοπτρα όπως αποδείχτηκε από τα πειράματα του μηχανικού Ι. Σακκά ο οποίος το 1973 απόδειξε τον τρόπο με τον οποίο ο Αρχιμήδης έκαψε τον Ρωμαϊκό στόλο).

     Εξαιρετικές του μελέτες, και για τη μέθοδο και για το αποτέλεσμα, είναι εκείνες που έδωσαν τα εμβαδά Κύκλου, Έλλειψης, Παραβολής και Έλικας καθώς και τα εμβαδά και τους όγκους των Κυλίνδρων, των Κώνων και κυρίως των Σφαιρών.
Σημαντικότατη θεωρείται και η ανακάλυψη, από τον ίδιο, τύπου που δίνει το εμβαδόν τριγώνου από τις πλευρές του, και ακόμα η επέκτασή του στα εγγεγραμμένα τετράπλευρα.

     Ο Αρχιμήδης επίσης γνώριζε να κατασκευάζει τη λύση ειδικών τριτοβάθμιων προβλημάτων, και μεταξύ αυτών και του Δηλίου Προβλήματος. Τις λύσεις αυτές τις έδινε με την τομή δύο κωνικών (Ευτόκιος).

    Μοναδική είναι η προσφορά του στην ανώτερη μετρική Γεωμετρία. Συγκεκριμένα έκφρασε τους όγκους στερεών εκ περιστροφής κωνικών εφαρμόζοντας "απειροστικές" μεθόδους ανάλυσης των στερεών αυτών.

     Στη σύγχρονη κλασική γεωμετρία όλο σχεδόν το μετρικό της μέρος οφείλεται στον Αρχιμήδη, με αποτέλεσμα αυτή ουσιαστικά να είναι ισορροπημένη μείξη της Ευκλείδειας και της Αρχιμήδειας αρχαίας γεωμετρίας.

    Έτσι ο σοφός μας αποτελεί ουσιαστικά τον πατέρα της ανώτερης μετρικής γεωμετρίας της αρχαιότητας και ταυτόχρονα την πηγή έμπνευσης των νεότερων μελετών του διαφορικού και απειροστικού λογισμού.

Η πρωτοτυπία και η αποτελεσματικότητα των μελετών του έγιναν αιτία να χαρακτηριστεί από τους ιστορικούς των μαθηματικών, ως ο μεγαλύτερος μαθηματικός όλων των εποχών και όλων των εθνών.

Τα χαμένα βιβλία του Αρχιμήδη

Τον Οκτώβριο του 1998 ένα βιβλίο του Αρχιμήδη προσφέρθηκε σε πλειστηριασμό στο Παρίσι. Εκεί υπέβαλε και μια αγωγή η ελληνική κυβέρνηση, που είχε εγείρει για την αξίωση του παλαιότερου κειμένου του Αρχιμήδη, που ήτανε καλυμμένο με ελληνικούς ψαλμούς και προσευχές και τώρα ερευνάται από τον 35χρονο Ισραηλινό ερευνητή αρχαίων κειμένων REVIEL NETZ. Tην υψηλότερη προσφορά έκανε στο Παρίσι ένας Αμερικανός εκατομμυριούχος, που ήθελε να παραμείνει ανώνυμος. Σήμερα γνωρίζουμε μόνο, ότι από το 1923 βρισκότανε το παλαιότερο κείμενο του Αρχιμήδη καλυμμένο με νεότερο κείμενο στην κατοχή ενός Γάλλου συλλέκτη έργων τέχνης στο Παρίσι. Oι κληρονόμοι του ισχυρίζονται, ότι το αγόρασε νόμιμα στην Κωνσταντινούπολη από έναν μοναχό. Αργότερα προσφέρθηκε το βιβλίο για πώληση στο Standford University. Επίσης στις περίφημες βιβλιοθήκες των ΗΠΑ και της Ευρώπης, εκτός των άλλων και στην κρατική βιβλιοθήκη του Βερολίνου. Με υγρό λιμέττας και με ένα σφουγγάρι προσπαθούσε ένας βυζαντινός μοναχός πριν από 800 χρόνια να καταστρέψει ένα σημαντικό έργο και κλειδί των φυσικών επιστημών. Τη μοναδική γνωστή κόπια της «Μεθοδολογίας» του Έλληνα μαθηματικού Αρχιμήδη. Το 1998 επίσης ενεφανίσθησαν φύλλα των περγαμηνών ξανά - οι ξεθωριασμένες φόρμουλες, τύποι και σχεδιαγράμματα, που επάνω έχουν γραφεί ψαλμοί και σφιχτοδεμένα σε ένα προσευχητήριο, στο οποίο όμως υπάρχουν βαθιά ευρισκόμενα μυστικά αριστουργήματα σκέψεων, που θέλουν ερευνητές να διασώσουν με την πιο μοντέρνα τεχνική. Πηγή: Focus

Μέθοδος της εξάντλησης

  Πολύ δυσκολότερο όμως ήταν το πρόβλημα του υπολογισμού των εμβαδών και των όγκων σχημάτων που περιορίζονται από καμπύλες. Η λύση που ο Εύδοξος έδωσε στο πρόβλημα αυτό ήταν η μέθοδος που σήμερα λέγεται «μέθοδος εξάντλησης», όρος που δεν χρησιμοποιήθηκε από τους αρχαίους Έλληνες (ο όρος «εξάντληση» είναι μεταγενέστερος και εμφανίστηκε για πρώτη φορά σε κείμενο του Γκέγκουαρ ντε Σαιν Βενσάν το 1647).

   Ο Εύδοξος έδειξε, εφαρμόζοντας τη μέθοδο αυτή όχι μόνο για άρρητες αλλά και για απειροστές ποσότητες, πώς υποδιαιρείται με συνεχή τρόπο ένα γνωστό μέγεθος μέχρις ότου προσεγγίσει αρκετά, ένα γνωστό μέγεθος. Κατά τον Αρχιμήδη, ο Εύδοξος χρησιμοποίησε τη μέθοδο αυτή για ν’ αποδείξει ότι οι όγκοι των πυραμίδων και των κώνων ισούνται με το 1/3 των όγκων των πρισμάτων και των κυλίνδρων αντίστοιχα, που έχουν τις ίδιες βάσεις και τα ίδια ύψη, αν και είναι πιθανόν ο Δημόκριτος να είχε ήδη ανακαλύψει ότι συμβαίνει αυτό. Ο Εύδοξος απέδειξε επίσης ότι τα εμβαδά δύο κύκλων είναι ανάλογα των τετραγώνων των διαμέτρων τους.

    Η μέθοδός του θύμιζε, αν και ήταν αρκετά πιο συστηματικά, τη μέθοδο σύμφωνα με την οποία, για να βρούμε το εμβαδόν ενός κύκλου, εγγράφουμε στον κύκλο κανονικά πολύγωνα, των οποίων το πλήθος των πλευρών αυξάνεται διαρκώς. Η μέθοδος της εξάντλησης, που αναπτύσσεται πλήρως στο βιβλίο ΧΙΙΙ του Ευκλείδη, επειδή μπορούσε να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό εμβαδών και όγκων που περιορίζονται από καμπύλες, είναι πρόδρομος του ολοκληρωτικού λογισμού.