Η δημιουργία του διαφορικού Λογισμού αποτελεί μια διαχωριστική γραμμή ή ένα σημείο καμπής στην ιστορία των Μαθηματικών. Τα νέα μαθηματικά που ενέπνευσε η μεγάλη αυτή ανακάλυψη διαφέρουν σημαντικά από τα παλιά μαθηματικά, που είχαν κυρίως κληρονομηθεί από τους αρχαίους Έλληνες. Τα παλιότερα μαθηματικά εμφανίζονται στατικά ενώ τα νεότερα εμφανίζονται δυναμικά, έτσι που τα πρώτα συγκρίνονται με το στάδιο της ακίνητης εικόνας της φωτογραφίας ενώ τα δεύτερα με το στάδιο της κινούμενης κινηματογραφικής εικόνας. Τα παλιότερα μαθηματικά, πάλι, είναι ως προς τα νεότερα ότι η ανατομία ως προς τη φυσιολογία, όπου η πρώτη μελετά το νεκρό σώμα και η δεύτερη το ζωντανό σώμα. Ακόμα, τα παλιότερα μαθηματικά ασχολούνταν με το συγκεκριμένο και το πεπερασμένο, ενώ τα νεώτερα αγκαλιάζουν το μεταβλητό και το άπειρο.
... ... ...
Δίνεται η εντύπωση ότι στον ολοκληρωτικό και τον διαφορικό λογισμό έχουμε δύο τελείως διαφορετικές μελέτες. μία που στηρίζεται στο όριο ενός αθροίσματος τα στοιχεία του οποίου αυξάνονται και καθένα από αυτά τείνει στο μηδέν και μία άλλη που στηρίζεται στο όριο ενός πηλίκου διαφορών. Μια πραγματικά σημαντική ανακάλυψη που έγινε στο δεύτερο μισό του δέκατου έβδομου αιώνα έδειξε ότι οι δύο αυτές φαινομενικά ανόμοιες μελέτες συνδέονται στενά μεταξύ τους, δηλαδή ότι (για κατάλληλες συναρτήσεις) η ολοκλήρωση και η διαφόριση είναι ουσιαστικά αντίστροφες διεργασίες, με την ίδια έννοια που η πρόσθεση και η αφαίρεση ή ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση είναι αντίστροφες πράξεις. Το εκπληκτικό αυτό γεγονός είναι γνωστό ως το θεμελιώδες θεώρημα του λογισμού και η ανακάλυψή του σημαδεύει μια μεγάλη στιγμή των μαθηματικών.
- ΜΕΓΑΛΕΣ ΣΤΙΓΜΕΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ , HOWARD EVES
Ο Χίλμπερτ, περισσότερο ίσως από οποιονδήποτε άλλο σύγχρονό του, είναι αυτός που κατανόησε την τρομακτική μεταστροφή που είχε προκαλέσει ο Ρίμαν, ο οποίος είχε συνειδητοποιήσει ότι η αναζήτηση των δομών και των προτύπων που βρίσκονται στο υπόβαθρο του μαθηματικού κόσμου, είναι πολύ πιο αποδοτική από την εστίαση σε τύπους και επίπονους υπολογισμούς.
... ... ...
... Ανάλογοι αντιαισθητικοί αριθμοί μπορεί να αποτελούν καθημερινή ρουτίνα σε άλλες επιστήμες, αλλά στα Μαθηματικά είναι εκπληκτικό το πόσο συχνά αποδεικνύεται σωστή η αισθητικώς αρτιότερη λύση. Όπως θα δούμε αργότερα, η Υπόθεση του Ρίμαν μπορεί να ερμηνευτεί ως ένα παράδειγμα της γενικότερης φιλοσοφίας που επικρατεί μεταξύ των μαθηματικών, ότι ανάμεσα σ' έναν "άσχημο" κόσμο κι έναν αισθητικώς ωραιότερο, η φύση προτιμά πάντα τον δεύτερο. Η συγκεκριμένη συμπεριφορά των Μαθηματικών, αποτελεί μόνιμη πηγή απορίας για τους περισσότερους μαθηματικούς. Αποτελεί, επίσης, και μια μόνιμη πηγή κομπασμού σχετικά με την ομορφιά του αντικειμένου τους.
... ... ...
Η τετραγωνική ρίζα του -1, ο δομικός λίθος των φανταστικών αριθμών, μοιάζει να χαρακτηρίζεται από μια εγγενή αντίφαση. Αρκετοί ισχυρίζονται πως η αποδοχή του ενδεχομένου ύπαρξης ενός τέτοιου αριθμού, είναι αυτή που διαφοροποιεί τους μαθηματικούς από τους άλλους ανθρώπους. Η πρόσβαση σ' αυτό το μέρος του μαθηματικού κόσμου, απαιτεί ένα δημιουργικό άλμα.
... ... ...
Σε μια εποχή που οι φυσικοί μάθαιναν - από την αρχή της απροσδιοριστίας του Χάιζενμπεργκ - πως υπάρχουν όρια στα όσα μπορούν να μάθουν, η απόδειξη του Γκέντελ σήμαινε πως και οι μαθηματικοί θα έπρεπε να μάθουν να ζουν με τη δική τους αβεβαιότητα: ότι κάποιοι μέρα θα μπορούσε να ανακαλυφθεί πως τα Μαθηματικά, στο σύνολό τους, δεν είναι παρά μια οπτασία.
- Η ΜΟΥΣΙΚΗ ΤΩΝ ΠΡΩΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ , MARCUS DU SAUTOY
Συμφωνώ ότι ο άνθρωπος έχει εκλάμψεις φαντασίας, δημιουργικότητας και διαίσθησης που τον κάνουν να απογειώνεται - που του δίνουν τη δυνατότητα να δημιουργεί έργα τέχνης και να σχεδιάζει τόσο σύνθετα μηχανήματα. Αλλά αυτές είναι λίγες στιγμές, ελάχιστων ανθρώπων. Οι περισσότεροι στη ζωή τους δεν γνώρισαν την αίσθηση της απογείωσης - κι οι λίγοι που την γνώρισαν για ελάχιστα λεπτά, περνάνε τον υπόλοιπο χρόνο τους να την νοσταλγούν.
- ΨΗΦΙΑΚΗ ΖΩΗ , ΝΙΚΟΣ ΔΗΜΟΥ
... ... ...
Δίνεται η εντύπωση ότι στον ολοκληρωτικό και τον διαφορικό λογισμό έχουμε δύο τελείως διαφορετικές μελέτες. μία που στηρίζεται στο όριο ενός αθροίσματος τα στοιχεία του οποίου αυξάνονται και καθένα από αυτά τείνει στο μηδέν και μία άλλη που στηρίζεται στο όριο ενός πηλίκου διαφορών. Μια πραγματικά σημαντική ανακάλυψη που έγινε στο δεύτερο μισό του δέκατου έβδομου αιώνα έδειξε ότι οι δύο αυτές φαινομενικά ανόμοιες μελέτες συνδέονται στενά μεταξύ τους, δηλαδή ότι (για κατάλληλες συναρτήσεις) η ολοκλήρωση και η διαφόριση είναι ουσιαστικά αντίστροφες διεργασίες, με την ίδια έννοια που η πρόσθεση και η αφαίρεση ή ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση είναι αντίστροφες πράξεις. Το εκπληκτικό αυτό γεγονός είναι γνωστό ως το θεμελιώδες θεώρημα του λογισμού και η ανακάλυψή του σημαδεύει μια μεγάλη στιγμή των μαθηματικών.
- ΜΕΓΑΛΕΣ ΣΤΙΓΜΕΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ , HOWARD EVES
Ο Χίλμπερτ, περισσότερο ίσως από οποιονδήποτε άλλο σύγχρονό του, είναι αυτός που κατανόησε την τρομακτική μεταστροφή που είχε προκαλέσει ο Ρίμαν, ο οποίος είχε συνειδητοποιήσει ότι η αναζήτηση των δομών και των προτύπων που βρίσκονται στο υπόβαθρο του μαθηματικού κόσμου, είναι πολύ πιο αποδοτική από την εστίαση σε τύπους και επίπονους υπολογισμούς.
... ... ...
... Ανάλογοι αντιαισθητικοί αριθμοί μπορεί να αποτελούν καθημερινή ρουτίνα σε άλλες επιστήμες, αλλά στα Μαθηματικά είναι εκπληκτικό το πόσο συχνά αποδεικνύεται σωστή η αισθητικώς αρτιότερη λύση. Όπως θα δούμε αργότερα, η Υπόθεση του Ρίμαν μπορεί να ερμηνευτεί ως ένα παράδειγμα της γενικότερης φιλοσοφίας που επικρατεί μεταξύ των μαθηματικών, ότι ανάμεσα σ' έναν "άσχημο" κόσμο κι έναν αισθητικώς ωραιότερο, η φύση προτιμά πάντα τον δεύτερο. Η συγκεκριμένη συμπεριφορά των Μαθηματικών, αποτελεί μόνιμη πηγή απορίας για τους περισσότερους μαθηματικούς. Αποτελεί, επίσης, και μια μόνιμη πηγή κομπασμού σχετικά με την ομορφιά του αντικειμένου τους.
... ... ...
Η τετραγωνική ρίζα του -1, ο δομικός λίθος των φανταστικών αριθμών, μοιάζει να χαρακτηρίζεται από μια εγγενή αντίφαση. Αρκετοί ισχυρίζονται πως η αποδοχή του ενδεχομένου ύπαρξης ενός τέτοιου αριθμού, είναι αυτή που διαφοροποιεί τους μαθηματικούς από τους άλλους ανθρώπους. Η πρόσβαση σ' αυτό το μέρος του μαθηματικού κόσμου, απαιτεί ένα δημιουργικό άλμα.
... ... ...
Σε μια εποχή που οι φυσικοί μάθαιναν - από την αρχή της απροσδιοριστίας του Χάιζενμπεργκ - πως υπάρχουν όρια στα όσα μπορούν να μάθουν, η απόδειξη του Γκέντελ σήμαινε πως και οι μαθηματικοί θα έπρεπε να μάθουν να ζουν με τη δική τους αβεβαιότητα: ότι κάποιοι μέρα θα μπορούσε να ανακαλυφθεί πως τα Μαθηματικά, στο σύνολό τους, δεν είναι παρά μια οπτασία.
- Η ΜΟΥΣΙΚΗ ΤΩΝ ΠΡΩΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ , MARCUS DU SAUTOY
Συμφωνώ ότι ο άνθρωπος έχει εκλάμψεις φαντασίας, δημιουργικότητας και διαίσθησης που τον κάνουν να απογειώνεται - που του δίνουν τη δυνατότητα να δημιουργεί έργα τέχνης και να σχεδιάζει τόσο σύνθετα μηχανήματα. Αλλά αυτές είναι λίγες στιγμές, ελάχιστων ανθρώπων. Οι περισσότεροι στη ζωή τους δεν γνώρισαν την αίσθηση της απογείωσης - κι οι λίγοι που την γνώρισαν για ελάχιστα λεπτά, περνάνε τον υπόλοιπο χρόνο τους να την νοσταλγούν.
- ΨΗΦΙΑΚΗ ΖΩΗ , ΝΙΚΟΣ ΔΗΜΟΥ
Στράτης Αντωνέας
Μαθηματικός
Μαθηματικός
Επικοινωνία : strantoneas@gmail.com
