Στράτης Αντωνέας
Μαθηματικός
Μαθηματικός
Επικοινωνία : strantoneas@gmail.com
Μία εκτίμηση του π
Ο γνωστός μας αριθμός, που συμβολίζεται με το γράμμα π, είναι ο διασημότερος από όλους τους αριθμούς και εκφράζει το λόγο του μήκους της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του.
Για την προσέγγιση της τιμής του π, υπάρχουν διάφορες εκφράσεις όπως για παράδειγμα οι επόμενες.
Κάνοντας μερικές πράξεις σε κάποια από τις εκφράσεις μπορούμε να πάρουμε μια προσεγγιστική τιμή του π.
Προκειμένου να πάρουμε μια καλύτερη προσέγγιση, δεν έχουμε παρά να προσθέσουμε ή να πολλαπλασιάσουμε και επι πλέον όρους στο άπειρο άθροισμα ή γινόμενο που θα χρησιμοποιήσουμε.
Ένας διαφορετικός τρόπος προσέγγισης του π, μπορεί να γίνει βασιζόμενοι στην τυχαιότητα!
Ο κατάλληλος όρος εδώ είναι "εκτίμηση" και όχι προσέγγιση. Και αυτό γιατί η μέθοδος αυτή δεν βασίζεται στην κατασκευή μιας ακολουθίας αριθμών οι οποίοι συνεχώς προσεγγίζουν τον π, αλλά κάνοντας την ίδια ενέργεια παίρνουμε διαφορετικό αποτέλεσμα το οποίο βρίσκεται κοντά στην τιμή του π.
Η ιδέα είναι η εξής: Παίρνουμε ένα τετράγωνο πλευράς α.
Κατασκευάζουμε ένα τεταρτοκύκλιο στο εσωτερικό του τετραγώνου, με κέντρο μία κορυφή του και ακτίνα όσο η πλευρά του τετραγώνου.
Αν σημειώσουμε στο τετράγωνο έναν αριθμό σημείων ομοιόμορφα κατανεμημένων, τότε αναμένουμε ότι:
Ο λόγος του πλήθους των σημείων που βρίσκονται στο τεταρτοκύκλιο προς το
πλήθος των σημείων όλου του τετραγώνου, είναι ίσος με το λόγο του εμβαδού
του τεταρτοκύκλιου προς το εμβαδόν του τετραγώνου.
Ο νόμος των μεγάλων αριθμών ή της στατιστικής ομαλότητας, μας εξασφαλίζει ότι όσο περισσότερα σημεία τοποθετήσουμε, αναμένουμε οι δύο λόγοι να έχουν παραπλήσια τιμή.
Μπορούμε να το θεωρήσουμε σαν ένα παιγνίδι, στο οποίο ρίχνουμε βέλη στο τετράγωνο και μετά μετράμε πόσα από αυτά βρίσκονται στην περιοχή του τεταρτοκύκλιου.
Θα κάνουμε μια προσομοίωση του παραπάνω πειράματος τύχης, σε ένα υπολογιστικό μηχάνημα το οποία θα επιλέγει τυχαία σημεία στο τετράγωνο και θα μετρά αυτά που βρίσκονται στο τεταρτοκύκλιο.
Από τον επόμενο σύνδεσμο μπορείτε να "κατεβάσετε" ένα πρόγραμμα που κάνει προσομοίωση του προβλήματος και κάνει εκτίμηση του π.
Πρόγραμμα εκτίμησης του π.
Η μέθοδος που παρουσιάστηκε, έχει ευρεία εφαρμογή στην εκτίμηση ποσοτήτων οι οποίες μπορούν να εκφραστούν σε μορφή εμβαδών.
Ονομάζεται Monte Carlo, από τη συνοικία του πριγκιπάτου του Μονακό, όπου βρίσκεται το ονομαστό καζίνο, το οποίο θεωρείται ο "εξευγενισμένος" ναός της τύχης.
Για την προσέγγιση της τιμής του π, υπάρχουν διάφορες εκφράσεις όπως για παράδειγμα οι επόμενες.
Κάνοντας μερικές πράξεις σε κάποια από τις εκφράσεις μπορούμε να πάρουμε μια προσεγγιστική τιμή του π.
Προκειμένου να πάρουμε μια καλύτερη προσέγγιση, δεν έχουμε παρά να προσθέσουμε ή να πολλαπλασιάσουμε και επι πλέον όρους στο άπειρο άθροισμα ή γινόμενο που θα χρησιμοποιήσουμε.
Ένας διαφορετικός τρόπος προσέγγισης του π, μπορεί να γίνει βασιζόμενοι στην τυχαιότητα!
Ο κατάλληλος όρος εδώ είναι "εκτίμηση" και όχι προσέγγιση. Και αυτό γιατί η μέθοδος αυτή δεν βασίζεται στην κατασκευή μιας ακολουθίας αριθμών οι οποίοι συνεχώς προσεγγίζουν τον π, αλλά κάνοντας την ίδια ενέργεια παίρνουμε διαφορετικό αποτέλεσμα το οποίο βρίσκεται κοντά στην τιμή του π.
Η ιδέα είναι η εξής: Παίρνουμε ένα τετράγωνο πλευράς α.
Κατασκευάζουμε ένα τεταρτοκύκλιο στο εσωτερικό του τετραγώνου, με κέντρο μία κορυφή του και ακτίνα όσο η πλευρά του τετραγώνου.
Αν σημειώσουμε στο τετράγωνο έναν αριθμό σημείων ομοιόμορφα κατανεμημένων, τότε αναμένουμε ότι:
Ο λόγος του πλήθους των σημείων που βρίσκονται στο τεταρτοκύκλιο προς το
πλήθος των σημείων όλου του τετραγώνου, είναι ίσος με το λόγο του εμβαδού
του τεταρτοκύκλιου προς το εμβαδόν του τετραγώνου.
Ο νόμος των μεγάλων αριθμών ή της στατιστικής ομαλότητας, μας εξασφαλίζει ότι όσο περισσότερα σημεία τοποθετήσουμε, αναμένουμε οι δύο λόγοι να έχουν παραπλήσια τιμή.
Μπορούμε να το θεωρήσουμε σαν ένα παιγνίδι, στο οποίο ρίχνουμε βέλη στο τετράγωνο και μετά μετράμε πόσα από αυτά βρίσκονται στην περιοχή του τεταρτοκύκλιου.
Θα κάνουμε μια προσομοίωση του παραπάνω πειράματος τύχης, σε ένα υπολογιστικό μηχάνημα το οποία θα επιλέγει τυχαία σημεία στο τετράγωνο και θα μετρά αυτά που βρίσκονται στο τεταρτοκύκλιο.
Από τον επόμενο σύνδεσμο μπορείτε να "κατεβάσετε" ένα πρόγραμμα που κάνει προσομοίωση του προβλήματος και κάνει εκτίμηση του π.
Πρόγραμμα εκτίμησης του π.
Η μέθοδος που παρουσιάστηκε, έχει ευρεία εφαρμογή στην εκτίμηση ποσοτήτων οι οποίες μπορούν να εκφραστούν σε μορφή εμβαδών.
Ονομάζεται Monte Carlo, από τη συνοικία του πριγκιπάτου του Μονακό, όπου βρίσκεται το ονομαστό καζίνο, το οποίο θεωρείται ο "εξευγενισμένος" ναός της τύχης.
