Στράτης Αντωνέας
Μαθηματικός
Μαθηματικός
Επικοινωνία : strantoneas@gmail.com
Σε πολλούς μαθητές και όχι μόνο, συνήθως παρουσιάζεται το εξής πρόβλημα κατά τη διάρκεια μελέτης των μαθηματικών.
Προσπαθώντας να λύσουν μία άσκηση ή ένα πρόβλημα δεν φθάνουν στο ζητούμενο, με αποτέλεσμα να θεωρούν ότι έχασαν άσκοπα το χρόνο τους. Αυτό πιθανόν με τον καιρό να τους παγιώσει την πεποίθηση ότι πολύ δύσκολα θα καταφέρουν να επιλύουν μαθηματικά θέματα και αν διαθέσουν το χρόνο αυτό σε κάποια άλλα μαθήματα ή δραστηριότητες, θα είναι γι΄αυτούς εποφελές. Έτσι λοιπόν το μόνο που απομένει είναι να διαβάσουν τη λύση της άσκησης, με ελπίδα όταν θα συναντήσουν κάποια παρόμοια να μπορέσουν να την αντιμετωπίσουν.
Όμως αυτό συνήθως αποτυγχάνει. Είναι η τελευταία ενέργεια που μπορεί να γίνει πριν από εξετάσεις ή διαγωνισμούς, αλλά σε καμιά περίπτωση δεν μπορεί να είναι ο βασικός τρόπος διαβάσματος των μαθηματικών.
Τα Μαθηματικά έχουν ένα δικό τους βασανιστικό τρόπο μελέτης.
Θέλουν απομόνωση, χρόνο για να εξοικιωθούμε με το πρόβλημα, να δοκιμάσουμε τις έννοιες που έχουμε διδαχθεί, να καταγράψουμε δυνατούς δρόμους για την επίλυσή του.
Παρ' όλα αυτά μπορεί να μην φθάσουμε στη λύση. Το όφελος όμως είναι ότι θα έχουμε κατανοήσει σε μεγαλύτερο βάθος τις μαθηματικές έννοιες και τι αυτές παράγουν όταν τις συνδυάζουμε. Εδώ βλέπουμε την ισχύ αυτού που έχει διατυπωθεί σε γνωστό ποίημα ότι:
το ταξίδι πολλές φορές είναι σημαντικότερο από τον ίδιο τον προορισμό.
Έτσι σιγά-σιγά συγκεντρώνεται η "κρίσιμη μάζα" εννοιών και συνθέσεων αυτών που επιτρέπουν την αντιμετώπιση των προβλημάτων. Εδώ αξίζει να αναφέρουμε την άποψη του William Thurston,
Όταν ήμουν μικρός, κόμπαζα για το πόσο πολλές σελίδες διάβαζα σε μία ώρα.
Στο κολέγιο έμαθα πόσο βλακώδες ήταν αυτό. Το να διαβάζεις δέκα σελίδες
μαθηματικά την ημέρα μπορεί να είναι ένας εξαιρετικά γοργός ρυθμός.
Ακόμα και μία σελίδα, όμως, μπορεί να είναι αρκετή.
Θα θέλαμε βέβαια να αποκτήσουμε μία ικανότητα στόχευσης στη λύση του συγκεκριμμένου προβλήματος.
Πάνω σ΄αυτό το θέμα υπάρχει ένα κλασσικό βιβλίο του G. Polya που γράφτηκε το 1944 με τον τίτλο "Πώς να το λύσω". Στο βιβλίο αυτό ο Polya αναπτύσει ένα γενικό σχέδιο που μπορούμε να εφαρμόσουμε για την επιτυχή επίλυση μαθηματικών προβλημάτων.
Το Διάγραμμα της Μεθόδου του Polya :
Προσπαθώντας να λύσουν μία άσκηση ή ένα πρόβλημα δεν φθάνουν στο ζητούμενο, με αποτέλεσμα να θεωρούν ότι έχασαν άσκοπα το χρόνο τους. Αυτό πιθανόν με τον καιρό να τους παγιώσει την πεποίθηση ότι πολύ δύσκολα θα καταφέρουν να επιλύουν μαθηματικά θέματα και αν διαθέσουν το χρόνο αυτό σε κάποια άλλα μαθήματα ή δραστηριότητες, θα είναι γι΄αυτούς εποφελές. Έτσι λοιπόν το μόνο που απομένει είναι να διαβάσουν τη λύση της άσκησης, με ελπίδα όταν θα συναντήσουν κάποια παρόμοια να μπορέσουν να την αντιμετωπίσουν.
Όμως αυτό συνήθως αποτυγχάνει. Είναι η τελευταία ενέργεια που μπορεί να γίνει πριν από εξετάσεις ή διαγωνισμούς, αλλά σε καμιά περίπτωση δεν μπορεί να είναι ο βασικός τρόπος διαβάσματος των μαθηματικών.
Τα Μαθηματικά έχουν ένα δικό τους βασανιστικό τρόπο μελέτης.
Θέλουν απομόνωση, χρόνο για να εξοικιωθούμε με το πρόβλημα, να δοκιμάσουμε τις έννοιες που έχουμε διδαχθεί, να καταγράψουμε δυνατούς δρόμους για την επίλυσή του.
Παρ' όλα αυτά μπορεί να μην φθάσουμε στη λύση. Το όφελος όμως είναι ότι θα έχουμε κατανοήσει σε μεγαλύτερο βάθος τις μαθηματικές έννοιες και τι αυτές παράγουν όταν τις συνδυάζουμε. Εδώ βλέπουμε την ισχύ αυτού που έχει διατυπωθεί σε γνωστό ποίημα ότι:
το ταξίδι πολλές φορές είναι σημαντικότερο από τον ίδιο τον προορισμό.
Έτσι σιγά-σιγά συγκεντρώνεται η "κρίσιμη μάζα" εννοιών και συνθέσεων αυτών που επιτρέπουν την αντιμετώπιση των προβλημάτων. Εδώ αξίζει να αναφέρουμε την άποψη του William Thurston,
Όταν ήμουν μικρός, κόμπαζα για το πόσο πολλές σελίδες διάβαζα σε μία ώρα.
Στο κολέγιο έμαθα πόσο βλακώδες ήταν αυτό. Το να διαβάζεις δέκα σελίδες
μαθηματικά την ημέρα μπορεί να είναι ένας εξαιρετικά γοργός ρυθμός.
Ακόμα και μία σελίδα, όμως, μπορεί να είναι αρκετή.
Θα θέλαμε βέβαια να αποκτήσουμε μία ικανότητα στόχευσης στη λύση του συγκεκριμμένου προβλήματος.
Πάνω σ΄αυτό το θέμα υπάρχει ένα κλασσικό βιβλίο του G. Polya που γράφτηκε το 1944 με τον τίτλο "Πώς να το λύσω". Στο βιβλίο αυτό ο Polya αναπτύσει ένα γενικό σχέδιο που μπορούμε να εφαρμόσουμε για την επιτυχή επίλυση μαθηματικών προβλημάτων.
Το Διάγραμμα της Μεθόδου του Polya :
Πρώτο
Πρέπει να κατανοήσετε το πρόβλημα.
Δεύτερο
Βρείτε τη σχέση μεταξύ των δεδομένων και του ζητούμενου.
Αν δεν μπορεί να βρεθεί άμεση συσχέτιση, ίσως να αναγκαστείτε να εξετάσετε βοηθητικά προβλήματα.
Πρέπει τελικά να αποκτήσετε ένα σχέδιο της λύσης.
Τρίτο
Εκτελέστε το σχέδιό σας.
Τέταρτο
Εξετάστε τη λύση που βρήκατε.
ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ
- Ποιό είναι το ζητούμενο; Ποιά είναι τα δεδομένα; Ποιά είναι η συνθήκη;
- Είναι δυνατό να ικανοποιηθεί η συνθήκη;
Είναι η συνθήκη επαρκής για τον προσδιορισμό του ζητούμενου;
Μήπως είναι ανεπαρκής; Ή πλεοναστική; Ή αντιφατική;
- Χαράξτε ένα σχήμα. Χρησιμοποιήστε κατάλληλο συμβολισμό.
- Χωρίστε τα διάφορα μέρη της συνθήκης. Μπορείτε να τα γράψετε;
ΕΠΙΝΟΗΣΗ ΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΟΥ
- Το έχετε συναντήσει άλλοτε; Μήπως έχετε δει το ίδιο πρόβλημα με λίγο διαφορετική μορφή;
- Γνωρίζετε κανένα σχετικό πρόβλημα;
Γνωρίζετε κανένα θεώρημα που θα μπορούσε να είναι χρήσιμο;
- Αναλογιστείτε το ζητούμενο. Προσπαθείστε να σκεφθείτε γνωστό πρόβλημα με το ίδιο ή
παρόμοιο ζητούμενο.
- Να ένα πρόβλημα σχετικό με το δικό σας, που το έχετε λύσει άλλοτε. Θα μπορούσατε να το
χρησιμοποιήσετε; Θα μπορούσατε να χρησιμοποιήσετε το αποτέλεσμά του; Θα μπορούσατε να
χρησιμοποιήσετε τη μέθοδό του; Μήπως πρέπει να εισάγετε κανένα βοηθητικό στοιχείο, για να
γίνει δυνατή η χρησιμοποίησή του;
- Θα μπορούσατε να διατυπώσετε πάλι το πρόβλημα; Θα μπορούσατε να το διατυπώσετε
διαφορετικά; Ανατρέξτε στους ορισμούς.
- Αν δεν μπορείτε να λύσετε το πρόβλημά σας, προσπαθήστε να λύσετε πρώτα ένα άλλο
σχετικό πρόβλημα. Θα μπορούσατε να σκεφθείτε ένα προσιτότερο σχετικό πρόβλημα;
Ένα γενικότερο πρόβλημα; Ένα ειδικότερο πρόβλημα; Ένα ανάλογο πρόβλημα; Θα
μπορούσατε να λύσετε ένα μέρος του προβλήματος; Κρατήστε μόνο ένα μέρος της συνθήκης και
αγνοήστε το άλλο μέρος. Κατά πόσο έχει έτσι προσδιοριστεί το ζητούμενο και κατά ποιό τρόπο
μπορεί αυτό να μεταβάλλεται;
- Θα μπορούσατε να εξαγάγετε κάτι χρήσιμο από τα δεδομένα; Θα μπορούσατε να σκεφθείτε
άλλα δεδομένα, κατάλληλα για τον προσδιορισμό του ζητουμένου; Θα μπορούσατε να
αλλάξετε το ζητούμενο ή τα δεδομένα, ή στην ανάγκη και τα δύο, έτσι ώστε το νέο ζητούμενο
και τα νέα δεδομένα να βρίσκονται πιο κοντά μεταξύ τους;
- Χρησιμοποιήσατε όλα τα δεδομένα; Χρησιμοποιήσατε ολόκληρη τη συνθήκη; Λάβατε υπόψη
σας όλες τις ουσιώδεις έννοιες που περιέχονται στο πρόβλημα;
ΕΚΤΕΛΕΣΗ ΤΟΥ ΣΧΕΔΙΟΥ
Όταν εκτελείτε το σχέδιο της λύσης, να ελέγχετε κάθε βήμα. Μπορείτε να αντιληφθείτε καθαρά ότι το βήμα είναι ορθό;
Μπορείτε να αποδείξετε ότι είναι ορθό;
ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ
- Μπορείτε να ελέγξετε το αποτέλεσμα; Μπορείτε να ελέγξετε την αιτιολόγηση;
- Μπορείτε να βρείτε το αποτέλεσμα με διαφορετικό τρόπο; Μπορείτε να το δείτε μεμιάς;
- Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το αποτέλεσμα ή τη μέθοδο, για κάποιο άλλο πρόβλημα;
- Ποιό είναι το ζητούμενο; Ποιά είναι τα δεδομένα; Ποιά είναι η συνθήκη;
- Είναι δυνατό να ικανοποιηθεί η συνθήκη;
Είναι η συνθήκη επαρκής για τον προσδιορισμό του ζητούμενου;
Μήπως είναι ανεπαρκής; Ή πλεοναστική; Ή αντιφατική;
- Χαράξτε ένα σχήμα. Χρησιμοποιήστε κατάλληλο συμβολισμό.
- Χωρίστε τα διάφορα μέρη της συνθήκης. Μπορείτε να τα γράψετε;
ΕΠΙΝΟΗΣΗ ΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΟΥ
- Το έχετε συναντήσει άλλοτε; Μήπως έχετε δει το ίδιο πρόβλημα με λίγο διαφορετική μορφή;
- Γνωρίζετε κανένα σχετικό πρόβλημα;
Γνωρίζετε κανένα θεώρημα που θα μπορούσε να είναι χρήσιμο;
- Αναλογιστείτε το ζητούμενο. Προσπαθείστε να σκεφθείτε γνωστό πρόβλημα με το ίδιο ή
παρόμοιο ζητούμενο.
- Να ένα πρόβλημα σχετικό με το δικό σας, που το έχετε λύσει άλλοτε. Θα μπορούσατε να το
χρησιμοποιήσετε; Θα μπορούσατε να χρησιμοποιήσετε το αποτέλεσμά του; Θα μπορούσατε να
χρησιμοποιήσετε τη μέθοδό του; Μήπως πρέπει να εισάγετε κανένα βοηθητικό στοιχείο, για να
γίνει δυνατή η χρησιμοποίησή του;
- Θα μπορούσατε να διατυπώσετε πάλι το πρόβλημα; Θα μπορούσατε να το διατυπώσετε
διαφορετικά; Ανατρέξτε στους ορισμούς.
- Αν δεν μπορείτε να λύσετε το πρόβλημά σας, προσπαθήστε να λύσετε πρώτα ένα άλλο
σχετικό πρόβλημα. Θα μπορούσατε να σκεφθείτε ένα προσιτότερο σχετικό πρόβλημα;
Ένα γενικότερο πρόβλημα; Ένα ειδικότερο πρόβλημα; Ένα ανάλογο πρόβλημα; Θα
μπορούσατε να λύσετε ένα μέρος του προβλήματος; Κρατήστε μόνο ένα μέρος της συνθήκης και
αγνοήστε το άλλο μέρος. Κατά πόσο έχει έτσι προσδιοριστεί το ζητούμενο και κατά ποιό τρόπο
μπορεί αυτό να μεταβάλλεται;
- Θα μπορούσατε να εξαγάγετε κάτι χρήσιμο από τα δεδομένα; Θα μπορούσατε να σκεφθείτε
άλλα δεδομένα, κατάλληλα για τον προσδιορισμό του ζητουμένου; Θα μπορούσατε να
αλλάξετε το ζητούμενο ή τα δεδομένα, ή στην ανάγκη και τα δύο, έτσι ώστε το νέο ζητούμενο
και τα νέα δεδομένα να βρίσκονται πιο κοντά μεταξύ τους;
- Χρησιμοποιήσατε όλα τα δεδομένα; Χρησιμοποιήσατε ολόκληρη τη συνθήκη; Λάβατε υπόψη
σας όλες τις ουσιώδεις έννοιες που περιέχονται στο πρόβλημα;
ΕΚΤΕΛΕΣΗ ΤΟΥ ΣΧΕΔΙΟΥ
Όταν εκτελείτε το σχέδιο της λύσης, να ελέγχετε κάθε βήμα. Μπορείτε να αντιληφθείτε καθαρά ότι το βήμα είναι ορθό;
Μπορείτε να αποδείξετε ότι είναι ορθό;
ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ
- Μπορείτε να ελέγξετε το αποτέλεσμα; Μπορείτε να ελέγξετε την αιτιολόγηση;
- Μπορείτε να βρείτε το αποτέλεσμα με διαφορετικό τρόπο; Μπορείτε να το δείτε μεμιάς;
- Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το αποτέλεσμα ή τη μέθοδο, για κάποιο άλλο πρόβλημα;
Αν μετά απ΄όλα αυτά δεν φθάσουμε στο αποτέλεσμα το καλύτερο που έχουμε να κάνουμε είναι να καταγράψουμε όσες ενέργειες επιχειρήσαμε και να αφήσουμε το πρόβλημα για λίγο.
Είναι πιθανό, αν επανέλθουμε μετά από ένα χρονικό διάστημα, να βρούμε την ιδέα που οδηγεί στη λύση του.
Ακόμα όταν ασχολούμαστε με κάποιο άλλο θέμα, μπορεί να δούμε ότι κάποια στοιχεία του εφαρμόζονται και βοηθούν στη λύση του.
Μερικά υποδείγματα αντιμετώπισης προβλημάτων μπορείτε να βρείτε παρακάτω.
Είναι πιθανό, αν επανέλθουμε μετά από ένα χρονικό διάστημα, να βρούμε την ιδέα που οδηγεί στη λύση του.
Ακόμα όταν ασχολούμαστε με κάποιο άλλο θέμα, μπορεί να δούμε ότι κάποια στοιχεία του εφαρμόζονται και βοηθούν στη λύση του.
Μερικά υποδείγματα αντιμετώπισης προβλημάτων μπορείτε να βρείτε παρακάτω.
