Διπλασιασμός του Κύβου -Απόδειξη Απολλωνίου

Διπλασιασμός του κύβου -Απόδειξη Απολλωνίου

Παρακάτω παρουσιάζουμε την απόδειξη που έδωσε ο Απολλώνιος στο πρόβλημα του διπλασιασμού του κύβου.(Διαβάστε τις οδηγίες )

Απόδειξη :

Οι δυνάμεις των σημείων Μ και Κ ως προς τον κύκλο μας δίνουν τις σχέσεις
ΜΑ·ΜΟ=ΜΒ·ΜΔ και ΚΓ·ΚΟ=ΚΔ·ΚΒ (1).

Τα τμήματα ΜΒ και ΚΔ είναι ίσα (απόδειξη) άρα και τα ΜΔ και ΚΒ έτσι τα δεύτερα μέλη των (1) είναι ίσα, άρα και τα πρώτα δηλ ΜΑ·ΜΟ = ΚΓ·ΚΟ άρα (2).

Τα τρίγωνα ΚΓΒ και ΚΟΜ είναι όμοια, άρα (3)

Επίσης τα τρίγωνα ΜΑΒ και ΜΟΚ είναι όμοια, άρα (4)

Τα δεύτερα μέλη των (2),(3),(4) είναι ίσα, άρα .
Θέτουμε ΓΚ=y ,ΜΑ=x ,είναι και ΓΒ=2α ,ΑΒ=α και η προηγούμενη σχέση δίνει

Δηλ καταλήξαμε στην αναλογία του Ιπποκράτη και συνεπώς το ζητούμενο τμήμα είναι το ΜΑ