Μαθηματικά

πίσω Βλάστος Αιμἰλιος Μαθηματικός Home

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α
ΓΛΥΚΕΙΟΥ - ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ		Γ ΛΥΚΕΙΟΥ -ΓΕΝΙΚΗΣ
Διαγώνισμα1 (Μιγαδικοί έως αντίστροφη) 2006	Διαγώνισμα6 (Όρια - συνέχεια) 13-11-2010	Διαγώνισμα1 (Κεφ 1) 2006
Διαγώνισμα2 (Μιγαδικοί έως αντίστροφη) 2006	Διαγώνισμα7 Παράγωγοι έως και Ρυθμό μεταβολής 20-12-2010.	Διαγώνισμα2 (Κεφ 1) 24-10-2010
Διαγώνισμα3 (Όρια - συνέχεια)	Διαγώνισμα8 Παράγωγοι 23-12-2011	Διαγώνισμα γενικής Στατιστική 30-01-2011
Διαγώνισμα4 (Όρια - συνέχεια)	Ολοκληρώματα 27-02-2011
Διαγώνισμα5 (Όρια - συνέχεια) 13-11-2010	Διαγώνισμα μέχρι και εφαπτόμενες 13-01-2014
Διαγώνισμα Ιανουάριος 2016 εκτός ολοκληρωμάτων

Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΑ	ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ	ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ
Θέματα σε όλη την ύλη Ιούνιος 2014	Θέματα σε όλη την ύλη Ιούνιος 2014	Διαγώνισμα τριμήνου διανύσματα 2012 Θέματα σε όλη την ύλη Ιούνιος 2013 Θέματα σε όλη την ύλη Ιούνιος 2014 Διαγώνισμα στα διανύσματα Δεκ 2014

Α Λυκείου
ΑΛΓΕΒΡΑ	ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
Α Τετρ. 2012 Ιούνιος 2013 Ιανουάριος 2015	Ιανουάριος 2015

Γ Γυμνασίου
		Βτριμ.2011 Ατρίμ 2013 Ιούνιος 2013

B Γυμνασίου

Νοἐμβριος 2010

Φεβρουάριος 2011

Ιανουάριος 2013

Ιούνιος 2013

A Γυμνασίου

Εξετάσεις 2012

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1

ΘΕΜΑ1

Α Ερωτήσεις του τύπου " Σωστό - Λάθος "

1. Οι εικόνες των συζυγών μιγαδικών αριθμών στο μιγαδικό επίπεδο είναι σημεία συμμετρικά ως προς τον άξονα x΄x	Σ Λ
2. i^²⁰³ = i.	Σ Λ
3. Αν Μ1, Μ2 είναι οι εικόνες των μιγαδ. z₁ και z₂ αντιστοίχως στο μιγαδικό επίπεδο και ο άξονας x΄x είναι η μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος Μ1Μ2, τότε z₁ και z₂ είναι αντίθετοι	Σ Λ
4. Αν οι συναρτήσεις f και g είναι 1 - 1 στο R, τότε και η συνάρτηση fog είναι 1 - 1 στο R.	Σ Λ
5. Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ στο οποίο παίρνει θετικές τιμές ,τότε η συνάρτηση ln(f (x)) είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ.	Σ Λ

Β Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής

1. Αν η εικόνα του μιγαδικού z στο μιγαδικό επίπεδο είναι σημείο της ευθείας 2x + 3y - 1 = 0, τότε ο z δεν μπορεί να είναι ο

Α 1/2

Β. 1 - i /3

Γ. 5 - 3i

Δ. i

Ε. 1 + 2i

2. Η συνάρτηση f (x) = 2e^-x έχει αντίστροφη την

Α ln(χ/2)

Β. ln(2/x)

Γ. (lnx)/2

Δ. (lnx)^{^1/2}

Ε. ln(2-x)

3. Αν f (x) = x⁴ - 4x³ - 3x + 7 και g (x) = 7, τότε η συνάρτηση gof έχει τύπο

Α 7x⁴ - 28x³ - 21x + 49

Β. x² - 4x - 14

Γ. 289

Δ. 7

Ε. x

4. Στο μιγαδικό επίπεδο ο κύκλος με κέντρο το σημείο Κ (-2, -1) και ακτίνα 3 είναι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού z για τον οποίο ισχύει

Α. |z-(2-i)|= 3 B. |z-(1+2i)|= 3 Γ. |z-(2+i)|= 9 Δ.|z-(2-i)| = 3 E. |z+(2+i)|= 3
5. Το πλήθος των σημείων τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f (x) = x⁶ + x⁴+ x² + 1 με τον άξονα x΄x είναι

Α. 6 B. 5 Γ. 4 Δ. 3 E. 0

ΘΕΜΑ2
1.Να σχεδιάσετε στο μιγαδικό επίπεδο το σύνολο σημείων των εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει
|z-i| < 1 και |z|< 1 και Im(z)<0

2. Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της αντίστροφης συνάρτησης f ^-1 μιας συνάρτησης f. Τότε συμπληρώστε

Α.πεδίο ορισμού της f είναι το […..]
      B       σύνολο τιμών της f είναι το [……]
Γ          f ^-1(ζ) =… Δ. f ^-1 (α) = ……
         E         Η f έχει ελάχιστο το …. για x = ….
         Z       Η f ^-1 έχει ελάχιστο το …. για x = ….

ΘΕΜΑ3

Α Δίνονται οι συναρτήσεις f, g ορισμένες στο R, οι οποίες είναι γνησίως μονότονες
και έχουν το ίδιο είδος μονοτονίας (είναι και οι δύο γνησίως αύξουσες).
α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση -fog είναι γνησίως φθίνουσα.
β) Να εξετάσετε τη μονοτονία των συναρτήσεων fof και gog.
γ) Να εξετάσετε τη μονοτονία της συνάρτησης h(x) = f(x+f(g(x)))
B Να βρεθούν οι μιγαδικοί z₁, z₂ ώστε z₁+ z₂ = 2 + i
και οι εικόνες τους βρίσκονται αντίστοιχα στις ευθείες y = x - 2 και y = 2x - 1.

ΘΕΜΑ4

Δίνεται η g(x)=f(x³-1) όπου η f(x) έχει πεδίο ορισμού το (0,+00) και η f είναι ένα προς ένα συνάρτηση
α) Να εκφράσετε την g σαν σύνθεση δύο συναρτήσεων και να βρείτε το πεδίο ορισμού της
β) Να δείξετε ότι η g είναι ένα προς ένα συνάρτηση
γ) Βρείτε τον τύπο της αντίστροφης της g καθώς και το πεδίο ορισμού - σύνολο τιμών της
δ) Να βρείτε το μέτρο του μιγαδικού z ώστε να ισχύει g(|z|)=f(-|0,4. z|+|z|³)

Επιστροφή στα διαγωνίσματα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2

ΘΕΜΑ1

Α Ερωτήσεις του τύπου "Σωστό - Λάθος "

1. Οι εικόνες των αντίθετων μιγαδικών αριθμών στο μιγαδικό επίπεδο είναι σημεία συμμετρικά ως προς τον άξονα x΄x.	Σ Λ
2. i^²⁰⁰³ = i.	Σ Λ
3. Αν Μ1, Μ2 είναι οι εικόνες των μιγαδ. z₁ και z₂ αντιστοίχως στο μιγαδικό επίπεδο και ο άξονας x΄x είναι η μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος Μ1Μ2, τότε z₁ και z₂ είναι συζυγείς.	Σ Λ
4. Αν οι συναρτήσεις f και g είναι 1 - 1 στο R, τότε και η συνάρτηση gof είναι 1 - 1 στο R.	Σ Λ
5. Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ, τότε η συνάρτηση - f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ.	Σ Λ

Β Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής (5χ 2,5=12,5 μονάδες)

1. Αν η εικόνα του μιγαδικού z στο μιγαδικό επίπεδο είναι σημείο της ευθείας 2x + 3y - 2 = 0, τότε ο z
δεν μπορεί να είναι ο

Α. 1

Β. 2 - 2i/3

Γ. 7 - 4i

Δ. i/3

Ε. -2 + 2i

2. Η συνάρτηση f (x) = ln(χ/2) έχει αντίστροφη την

Α g (x) =2e^-x

Β. h (x) = ln(2/χ)

Γ. φ (x) = e^2x

Δ.σ (x) = e^x/2

Ε. t (x) = 2e^x

3. Αν f (x) = lnx και g (x) = 16 - x², τότε το πεδίο ορισμού της fog είναι

Α . (- 00, 4]

B. [- 4, 4]

Γ. (- 00, 4) U (4, + 00)

Δ. (- 4, 4)

E. (0, 4)

4. Στο μιγαδικό επίπεδο ο κύκλος με κέντρο το σημείο Κ (-2, 1) και ακτίνα 3 είναι
ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού z για τον οποίο ισχύει

Α. |z-(2-i)|= 3 . B. |z-(1+2i)|= 3 . Γ. |z-(2+i)|= 9 Δ . |z-(2+i)| = 3 .E . |z+(2-i)|= 3

5. Το πλήθος των σημείων τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης
f (x) = x⁶ + x⁴+ x² + 1 με τον άξονα y'y είναι

Α. 6 B. 5 Γ. 4 Δ. 3 E. 0

ΘΕΜΑ2

1.Να σχεδιάσετε στο μιγαδικό επίπεδο το σύνολο σημείων των εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει |z-1| < 1 και |z+i|< 1

2.Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφι-κή παράσταση της αντίστροφης συ-νάρ-τησης f -1 μιας συνάρτησης f. Τότε συμπληρώστε

Α.   πεδίο ορισμού της f είναι το […..]
B.   σύνολο τιμών της f είναι το [……]
Γ.   f ^-1 (-3) =… Δ.    f ^-1 (4) =…
E.     Η f έχει ελάχιστο το …. για x = ….
Z    Η f ^-1 έχει ελάχιστο το …. για x = ….

ΘΕΜΑ3

Α Δίνονται οι συναρτήσεις f, g ορισμένες στο R, οι οποίες είναι γνησίως μονότονες
και έχουν το ίδιο είδος μονοτονίας (είναι και οι δύο γνησίως φθίνουσες).
α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση fog είναι γνησίως αύξουσα.
β) Να εξετάσετε τη μονοτονία των συναρτήσεων fof και gog.
γ) Να εξετάσετε τη μονοτονία της συνάρτησης h(x) = f(f(g(x)+x))

Β Ο μιγαδικός z = -2 + 3i να αναλυθεί σε άθροισμα δύο μιγαδικών z₁, z₂
που οι εικόνες τους βρίσκονται αντίστοιχα στις ευθείες y = x - 2 και y = 2x - 1.

ΘΕΜΑ4

Δίνεται η συνάρτηση f(x)=x³+x+2.
α) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται.
β) Να βρείτε (αν ορίζεται) το f ^-1(4).
γ) Να λύσετε τις εξισώσεις f(x)=12 και f ^-1(x)=-2 και
την ανίσωση f ^-1(x-1)> x+5.
δ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f ^-1 με τους άξονες
καθώς και με την ευθεία y=x.
ε) Να βρείτε το μέτρο του μιγαδικού z ώστε να ισχύει |z|=f ^-1(12)

Επιστροφή στα διαγωνίσματα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3

ΘΕΜΑ1

Ερωτήσεις του τύπου "Σωστό - Λάθος "

1. Αν ο < = f(χ) < =1 κοντά στο 0 τότε lim(χ². f(χ))=0 , x->0	Σ Λ
2. .=0	Σ Λ
3. .	Σ Λ
4. Η f(χ) είναι συνεχής στο [α,β] και υπάρχει χο στο (α,β) ώστε f(χο)=0 τότε απαραίτητα f(α). f(β)<0 .	Σ Λ
5. Η f(χ) είναι συνεχής στο [α,β] , f(α)=2003 f(β)=2008 τότε απαραίτητα υπάρχει χ_ο στο (α,β) ώστε f(χ_ο)=2004 .	Σ Λ

ΘΕΜΑ2
Βρείτε τα παρακάτω όρια

α)

β)

γ)

ΘΕΜΑ3

Βρείτε τους πραγματικούς α,β αν

ΘΕΜΑ4

Δίνεται |z-1|<|z+1|,z μιγαδικός

α) Να δείξετε ότι Re(z)>0 όπου Re(z) το πραγματικό μέρος του z
β) Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστο κ ανήκει (0,1) ώστε κ²+κ.Re(z)=1
γ) Αποδείξτε κατόπιν ότι το κ είναι μοναδικό

Επιστροφή στα διαγωνίσματα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 4

ΘΕΜΑ1

1. Αν x < = f(χ) < =x² κοντά στο 0 τότε lim(χ². f(χ))=0 , x->0	Σ Λ
2..	Σ Λ
3..	Σ Λ
4. Η f(χ) είναι συνεχής στο [α,β] και υπάρχει χο στο (α,β) ώστε f(χο)=0 τότε δεν είναι απαραίτητα f(α). f(β)<0 .	Σ Λ
5. Η f(χ) είναι συνεχής στο [1,2] , f(1)=3 f(2)=8 τότε απαραίτητα υπάρχει χο στο (1,2) ώστε f(χο)=4	Σ Λ

ΘΕΜΑ2

Βρείτε τα παρακάτω όρια

α)

β)

γ)

ΘΕΜΑ3

Βρείτε τους πραγματικούς κ,λ αν

ΘΕΜΑ4

Δίνεται |w+1|<|w-1|,w μιγαδικός

α)Να δείξετε ότι Re(w)<0 όπου Re(w) το πραγματικό μέρος του w
β)Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστο λ ανήκει (0,1) ώστε λ²-λ.Re(w)= 1
γ) Αποδείξτε κατόπιν ότι το λ είναι μοναδικό

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝ.ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΘΕΜΑ1 Α Ερωτήσεις του τύπου “Σωστό – Λάθος >>

1. Η παράγωγος f ΄ (x₀) μιας συνάρτησης f σ’ ένα σημείο x₀ του πεδίου ορισμού της ισούται με το
, h Ξ R, h Ή0. Σ Λ 1 μονάδα

2. Η παράγωγος f ΄ (x₀) μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης f σ’ ένα σημείο x₀ του πεδίου ορισμού της είναι πραγματικός αριθμός. Σ Λ 1 μονάδα

3. Έστω συνάρτηση f, ορισμένη και συνεχής σ’ ένα διάστημα Δ.
Τα εσωτερικά σημεία του Δ, στα οποία η f παραγωγίζεται και η παράγωγος ισούται με μηδέν, είναι θέσεις πιθανών τοπικών ακρότατων της. . Σ Λ 1 μονάδα

Β Δίνεται f που είναι άρτια στο R και είναι μέχρι τρεις φορές παραγωγίσιμη. Ποιο από τα παρακάτω ΔΕΝ ισχύει:

α) η f ΄ είναι περιττή β) η f ΄΄ είναι άρτια γ) f ΄΄΄ (-χ)= f ΄΄΄ (χ) δ) f ΄΄΄ (0)=0 2 μονάδες

ΘΕΜΑ2

Α Να συμπληρώσετε τις τιμές των παραγώγων των παρακάτω συναρτήσεων στα αντίστοιχα σημεία:

α) f (x) = τότε f ΄ (π/2) =………………… 1 μονάδα

β) f (x) = x² + 1 f ΄ (1) = 1 μονάδα

Β Στη στήλη Α δίνονται τύποι συναρτήσεων. Συμπληρώστε στη στήλη Β τους αντίστοιχους τύπους των πρώτων παραγώγων τους. 8 μονάδες

Στήλη Α *f (x)*	Στήλη Β *f ΄ (x)*

(x - 1)

ΘΕΜΑ3

Δίνεται η συνάρτηση f με f (x) = - 2x² + x - 3

α) Να βρείτε την f ΄ (1/4). 2 μονάδες

β)Να βρεθεί η γωνία που σχηματίζει με τον άξονα x΄x η εφαπτομένη της καμπύλης
της συνάρτησης f (x) = - 2x2 + x - 3 στο σημείο (1/4, f (1/4)). 3 μονάδες

γ) ) Εξετάστε αν η g(x)=f (αx) , α διάφορο 0 έχει ακρότατα (αν ναι βρείτε τα) 5 μονάδες

Επιστροφή στα διαγωνίσματα