Σύγκριση Αριθμών

Σύγκριση Αριθμών

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=30104 Άσκηση 2Να συγκριθούν οι αριθμοί...

Να βρεθούν τα άγνωστα ψηφία

Να βρεθούν τα άγνωστα ψηφία

  ΑΣΚΗΣΗ 4:   Να βρεθούν τα ψηφία , αν γνωρίζουμε ότι ο αριθμός διαιρείται με το , με το και...

Επτάδες φυσικών αριθμών

Επτάδες φυσικών αριθμών

Να αποδειχθεί ότι σε οποιαδήποτε επτάδα φυσικών αριθμών μικρότερων του 126, μπορούμε να βρούμε...

Άσκηση ΔΦ4

Να εξετάσετε αν υπάρχουν θετικοί ακέραιοι x,y,zτέτοιοι ώστε να ισχύει: 5x+6y=3·9z...

Άσκηση AN5

Αν x,y,z>0 x,y,z > 0 , να αποδείξετε ότι: x2+z2y+y2+x2z+z2+y2x≥2(x+y+z) \frac{x^2...

ΑΝ6 - Ανισότητα Nesbitt

Για κάθε a,b,c>0 a,b,c>0 να αποδειχθεί ότι: ab+c+bc+a+cb+a≥32 \frac{a}{b+c} +...

Ανισότητα Αναδιάταξης

Ανισότητα αναδιάταξης (Rearrangement inequality) Η ανισότητα αναδιάταξης αποτελεί φυσιολογική...

Πλήθος διαγωνίων κυρτού πολυγώνου

Σε ένα κυρτό πολύγωνο με n n πλευρές να βρεθεί το πλήθος των διαγωνίων του, ως συνάρτηση του n...

ΣΥ7 - Συστήματα αλγεβρικών εξισώσεων

Να λυθεί στους πραγματικούς το σύστημα: x2=y3-3y2+2y x^2=y^3-3y^2+2y ,  y2=x3-3x2+2x...

  • Σύγκριση Αριθμών

    Σύγκριση Αριθμών

    Tuesday, 14 April 2015 20:44
  • Να βρεθούν τα άγνωστα ψηφία

    Να βρεθούν τα άγνωστα ψηφία

    Tuesday, 14 April 2015 21:17
  • Επτάδες φυσικών αριθμών

    Επτάδες φυσικών αριθμών

    Wednesday, 15 April 2015 23:54
  • Άσκηση ΔΦ4

    Friday, 17 April 2015 10:57
  • Άσκηση AN5

    Friday, 17 April 2015 11:11
  • ΑΝ6 - Ανισότητα Nesbitt

    Saturday, 18 April 2015 18:24
  • Ανισότητα Αναδιάταξης

    Saturday, 18 April 2015 18:47
  • Πλήθος διαγωνίων κυρτού πολυγώνου

    Thursday, 23 April 2015 01:30
  • ΣΥ7 - Συστήματα αλγεβρικών εξισώσεων

    Saturday, 09 May 2015 18:56

Ανισότητα Αναδιάταξης

Ανισότητα αναδιάταξης (Rearrangement inequality)

Η ανισότητα αναδιάταξης αποτελεί φυσιολογική απάντηση στο πρόβλημα:

Αν έχουμε δύο ισοπληθείς ομάδες αριθμών και προσθέσουμε τα αθροίσματα των γινομένων ενός από τη μία με έναν αριθμό από την άλλη ομάδα, πότε αυτό το γινόμενο γίνεται μέγιστο και πότε ελάχιστό;

Παράδειγμα: Δίνονται οι ομάδες αριθμών: Α={1,2, 7 }, Β = { 4, -3 , 2}

Αν τους διατάξουμε σε κάθε ομάδα έχουμε :

127 1 \geq 2 \geq 7 και

-324 -3 \geq 2 \geq 4

Θεωρούμε τώρα τα αθροίσματα γινομένων:

α)  με την ίδια διάταξη: 1·(-3)+  2·2+7·4=29 1 \cdot (-3) +   2\cdot 2 + 7 \cdot 4 = 29

β) με αντίθετες διατάξεις: 1·4+  2·2+7· (-3)=-13 1 \cdot 4 +   2\cdot 2 + 7 \cdot (-3) = -13

γ) με ανακατεμένη διάταξη: 1·2+  2·(-3)+7·4=24 1 \cdot 2 +   2\cdot (-3) + 7 \cdot 4 = 24

Παρατηρούμε ότι: 2924-13 29 \geq 24 \geq -13 , δηλαδή α>γ>β.

Αυτό ισχύει γενικότερα, δηλαδή όταν πολλαπλασιάζουμε με την ίδια διάταξη και προσθέτουμε έχουμε τη μέγιστη τιμή, όταν πολλαπλασιάζουμε με την αντίθετη διάταξη και προσθέτουμε έχουμε την ελάχιστη τιμή και σε οποιαδήποτε ενδιαμέση περίπτωση λαμβάνουμε ενδιαμέσες τιμές του αθροίσματος.

Αναλυτική διατύπωση

Add comment


Security code
Refresh