Www.arithmoi.gr Λειτουργία του ιστοτόπου στη νέα δομή φιλοξενείας του Πανελλήνιου Σχολικού Δικτύου: http://shasapis.sites.sch.gr Διαγωνισμοί Μαθηματικών

ΣΥ7 - Συστήματα αλγεβρικών εξισώσεων

  • Print
Details
Category: Θέματα Προχωρημένων
Published on Saturday, 09 May 2015 18:56
Written by Super User
Hits: 616

Να λυθεί στους πραγματικούς το σύστημα:

x2=y3-3y2+2y x^2=y^3-3y^2+2y , 

y2=x3-3x2+2x y^2=x^3-3x^2+2x

Υποδείξεις - Λύσεις:

Read more: ΣΥ7 - Συστήματα αλγεβρικών εξισώσεων

Ανισότητα Αναδιάταξης

  • Print
Details
Category: Θέματα Προχωρημένων
Published on Saturday, 18 April 2015 18:47
Written by Super User
Hits: 1581

Ανισότητα αναδιάταξης (Rearrangement inequality)

Η ανισότητα αναδιάταξης αποτελεί φυσιολογική απάντηση στο πρόβλημα:

Αν έχουμε δύο ισοπληθείς ομάδες αριθμών και προσθέσουμε τα αθροίσματα των γινομένων ενός από τη μία με έναν αριθμό από την άλλη ομάδα, πότε αυτό το γινόμενο γίνεται μέγιστο και πότε ελάχιστό;

Παράδειγμα: Δίνονται οι ομάδες αριθμών: Α={1,2, 7 }, Β = { 4, -3 , 2}

Αν τους διατάξουμε σε κάθε ομάδα έχουμε :

1≥2≥7 1 \geq 2 \geq 7 και

-3≥2≥4 -3 \geq 2 \geq 4

Θεωρούμε τώρα τα αθροίσματα γινομένων:

α)  με την ίδια διάταξη: 1·(-3)+  2·2+7·4=29 1 \cdot (-3) +   2\cdot 2 + 7 \cdot 4 = 29

β) με αντίθετες διατάξεις: 1·4+  2·2+7· (-3)=-13 1 \cdot 4 +   2\cdot 2 + 7 \cdot (-3) = -13

γ) με ανακατεμένη διάταξη: 1·2+  2·(-3)+7·4=24 1 \cdot 2 +   2\cdot (-3) + 7 \cdot 4 = 24

Παρατηρούμε ότι: 29≥24≥-13 29 \geq 24 \geq -13 , δηλαδή α>γ>β.

Αυτό ισχύει γενικότερα, δηλαδή όταν πολλαπλασιάζουμε με την ίδια διάταξη και προσθέτουμε έχουμε τη μέγιστη τιμή, όταν πολλαπλασιάζουμε με την αντίθετη διάταξη και προσθέτουμε έχουμε την ελάχιστη τιμή και σε οποιαδήποτε ενδιαμέση περίπτωση λαμβάνουμε ενδιαμέσες τιμές του αθροίσματος.

Αναλυτική διατύπωση

Άσκηση AN5

  • Print
Details
Category: Θέματα Προχωρημένων
Published on Friday, 17 April 2015 11:11
Written by Super User
Hits: 516

Αν x,y,z>0 x,y,z > 0 , να αποδείξετε ότι:

x2+z2y+y2+x2z+z2+y2x≥2(x+y+z) \frac{x^2 +z^2}{y}+\frac{y^2 +x^2}{z}+\frac{z^2 +y^2}{x}\geq 2(x+y+z)

Read more: Άσκηση AN5

ΑΝ6 - Ανισότητα Nesbitt

  • Print
Details
Category: Θέματα Προχωρημένων
Published on Saturday, 18 April 2015 18:24
Written by Super User
Hits: 1263

Για κάθε a,b,c>0 a,b,c>0 να αποδειχθεί ότι:


ab+c+bc+a+cb+a≥32 \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{b+a} \geq \frac{3}{2}

 

Read more: ΑΝ6 - Ανισότητα Nesbitt

Επτάδες φυσικών αριθμών

  • Print
Details
Category: Θέματα Προχωρημένων
Published on Wednesday, 15 April 2015 23:54
Written by Super User
Hits: 640

Να αποδειχθεί ότι σε οποιαδήποτε επτάδα φυσικών αριθμών μικρότερων του 126, μπορούμε να βρούμε δύο απ' αυτούς, ώστε το πηλίκο τους να είναι αριθμός μεταξύ των 1 και 2.

 

Υπόδειξη.

 

Άσκηση 3.1, από το βιβλίο Αποτέλεσμα εικόνας για ο οιδίποδας και η σφίγγα Ο Οιδιποδας και η Σφίγγα του Σχ.Συμβούλου - Μαθηματικού Ανδρέα Πούλου.