ΕΝΗΜΕΡΩΣΗ-ΨΥΧΑΓΩΓΙΑ-ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ

Τους αριθμούς αυτούς ανακάλυψε ο Φερμάτ και σχετίζονται στενά με τους τέλειους που είχαν συνεπάρει τον Πυθαγόρα δύο χιλιάδες χρόνια πριν. Πρόκειται για ζευγάρια αριθμών, στα οποία καθένας ισούται με το άθροισμα των διαιρετών του άλλου.

Οι Πυθαγόρειοι είχαν κάνει την καταπληκτική ανακάλυψη ότι οι αριθμοί 220 και 284 είναι φίλοι. Οι διαιρέτες του 220 είναι οι αριθμοί 1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110 και το άθροισμα τους είναι ο αριθμός 284. Αντίστοιχα οι διαιρέτες του 284 είναι οι αριθμοί 1,2,4,71,142 και το άθροισμα τους είναι ο αριθμός 220! Το ζευγάρι των αριθμών αυτών έλεγαν ότι αποτελεί σύμβολο φιλίας.

Ο Μάρτιν Γκάρντνερ στο βιβλίο του Mathematical Magic Show αναφέρει ότι το Μεσαίωνα πουλιόνταν φυλαχτά που είχαν χαραγμένους αυτούς τους αριθμούς και ευνοούσαν ερωτικά όποιον τα φορούσε. Κάποιοι επίσης θεολόγοι των πρώιμων χρόνων σημείωσαν το γεγονός ότι στη Γένεση ο Ιακώβ έδωσε 220 κατσίκια στον Ησαύ, πιστεύοντας ότι ο αριθμός αυτός, το μισό του φιλικού ζευγαριού (220,284), αποτελούσε έκφραση αγάπης του Ιακώβ προς τον Ησαύ. Μέχρι το 1636, που ο Φερμάτ ανακάλυψε το ζευγάρι 17.296 και 18.416, δεν είχαν βρεθεί άλλοι φίλοι αριθμοί.

Ο Ντεκάρτ ανακάλυψε το τρίτο ζευγάρι (9.363.584 και 9.437.056) και ο Λέοναρτ Όιλερ πρόσθεσε 62 αγαπητά ζευγάρια. Το 1866 όμως ο δεκαεξάχρονος Ιταλός Νικολό Παγκανίνι ανακάλυψε το ζευγάρι 1.184 και 1.210 που το είχαν όλοι παραβλέψει.

Το Geogebra αναπτύχθηκε από τον αυστριακό μαθηματικό Markus Hohenwarter για εκπαιδευτικούς σκοπούς, σαν βοήθημα διδασκαλίας μαθηματικών στα σχολεία. Είναι ένα βραβευμένο πρόγραμμα ανοιχτού κώδικα το οποίο πρόσφατα έτυχε χορηγίας από την Αυστριακή Ακαδημία Επιστημών, την Αυστριακή κυβέρνηση και το Εθνικό Ίδρυμα Επιστημών των ΗΠΑ για την περαιτέρω ανάπτυξή του.

Το Geogebra είναι ένα πρόγραμμα που συνδυάζει χαρακτηριστικά προγραμμάτων δυναμικής γεωμετρίας (Geometer?s Sketchpad , Cabri, Cinderella, EucliDraw, WinGeom) και προγραμμάτων γραφικών παραστάσεων (Graphmat, WinPlot).

 

Επίσης,

• Δημιουργεί γραφικά σε γλώσσα Postscript.
• Παρέχει τη δυνατότητα δημιουργίας δυναμικού φύλλου εργασίας σε μορφή ιστοσελίδας.
• Τα γραφικά του μπορούν εξαχθούν σε μορφή εικόνας png.
• Οι φίλοι του Geogebra έχουν δημιουργήσει μία μεγάλη κοινότητα μαθηματικών από όλο τον κόσμο.

Μπορείτε να κατεβάσετε την τελευταία έκδοση του προγράμματος στη διεύθυνση, http://www.geogebra.org/cms/el/download όπου έχετε τις παρακάτω επιλογές εγκατάστασης:

Επομένως το 0 και το 1 δεν είναι πρώτοι αριθμοί.

Ο αριθμός 2 είναι ο μόνος ζυγός πρώτος αριθμός ενώ όλοι οι άλλοι πρώτοι αριθμοί είναι μονοί.

Οι πρώτοι αριθμοί είναι ένα από τα αντικείμενα της θεωρίας αριθμών. Διάσημες και άλυτες εικασίες, όπως η Υπόθεση του Ρίμαν και η Εικασία του Γκόλντμπαχ αφορούν πρώτους αριθμούς.

Το κόσκινο του Ερατοσθένη
Η πρόβλημα της εύρεσης πρώτων αριθμών απασχόλησε από τους αρχαίους χρόνους τους μαθηματικούς. Ένας απλός τρόπους για την εύρεση πρώτων αριθμών είναι το κόσκινο του Ερατοσθένη.

Είναι προφανές ότι η παραπάνω διαδικασία δεν μπορεί να εφαρμοστεί σε όλο το σύνολο των φυσικών αριθμών, αλλά σε ένα υποσύνολο της μορφής {2,3,4,5, ... ,ν} όπου ν οποιοσδήποτε φυσικός αριθμός.